книги из ГПНТБ / Берзин Е.А. Оптимальное распределение ресурсов и элементы синтеза систем

Найдем максимум функции (1.74) при ограничениях (1.72). Зна­ чение погрешности возрастает с увеличением первого члена в (1.74), который однако не может превысить величину

что следует из второго неравенства в (1.72). Подставив А 2со12 в (1.74), получим

При любом фиксированном со^ погрешность увеличивается по мере увеличения параметра со21, наибольшее значение которого согласно (1.72) равно

со 2 і = со 1 1 — а, а —»-+ 0.

После подстановки со21 в (1.75) будем иметь

Дф = Лісо2^ — б, б-> -р 0.

Подставив Л 2оз12 и со2і в формулу (1.70а), получим

Фо = 2А1а 1 — у*, 7-»--1-0.

Теперь видим, что наибольшая относительная погрешность ßM равна

ности еще мало говорит о точности метода. Случайное сочетание столь неблагоприятных значений ряда параметров — событие практически невозможное, поэтому в дальнейшем нас будет интересовать также

среднестатистическая погрешность как математическое ожидание ошибки при некотором случайном распределении параметров, влияю­ щих на ее величину.

Положим, что только величина соц является случайной, а все остальные параметры подбираются так, чтобы обеспечить наиболь­ шую погрешность. Положим также, что величина соц распределена

( = 1

** У нас нет оснований предпочесть какой-либо другой закон распределе­ ния, однако, если такие основания появятся, то уточнить результат будет не-

• сложно.

30

Предположим теперь, что « 21 и а>12 независимы, случайны и рас­ пределены по тому же закону, что и соц. В приложении III показано,

дела рассматриваются нами как реализации одной случайной величи­ ны, то можно считать, что оба условия (1.72), обеспечивающие нену­ левую погрешность, будут выполнены с вероятностью 0,52 (при А х =

дает оценку ожидаемой погрешности сверху. Эта оценка может быть уточнена путем отказа от условий со22 = 0, А х — А 2.

Известно, что законы статистики справедливы при массовых экс­ периментах, в то время как мы рассмотрели матрицу 2 x 2 . Доста­ точно ли этого? К дальнейшему обсуждению вопроса оценки точности мы возвратимся в § 2.1, где дается и более точный метод решения задачи при условии (1.70), а сейчас пока отметим следующее.

При многократной работе с матрицами малого размера устой­ чивость среднего результата возрастает. Однако и при однократном решении задачи с матрицей большого размера можно считать, что она набрана из множества матриц 2 x 2 и, значит, условие массовости соблюдается.

Появление погрешности обусловлено действием ограничения (1.55), следовательно, решение задачи без учета этого ограничения (считая N j^ N ) может служить оценкой сверху для решения, полу­ ченного по алг. 1.3. Совпадение решения и его оценки сверху говорит об оптимальности результата. Это достаточное, но не необходимое условие оптимальности. Его выполнение гарантируется, если в ходе оптимизации ни разу не возникала необходимость в том виде снаряже­ ния, которого уже нет.

Если точных методов нет, но имеются другие методы, явно не доминирующие над рассматриваемым, то следует получить решение также по алг. 1.3 и из всех решений выбрать лучшее. Это будет целесо­ образно, так как объем работы по алг. 1.3 определится примерно той же оценкой, что и для алг. 1.1, и, по-видимому, не намного увеличит общий объем вычислений.4

4. Примеры расчета. Для задачи, сформулированной в § І.З (1), рассмо­ трено решение двух примеров, исходные данные для которых приведены в табл.5. Примеры отличаются только ограничительными условиями, т. е. значениями Nj.

Вычислительная схема и результаты вычислений для первого примера приведены в табл. 6. Вектор {Д^}^* для каждого шага процесса вычислен по

формуле (1.64). Максимальная его компонента (выделено жирным шрифтом) определяет номер обстреливаемой цели (Ір на данном шаге процесса. В скобках,

рядом с компонентой текущего вектора {Д ц^, записан соответствующий номер оптимального комплекта снаряжения / = /;. В матричной форме полученное

31

Решение оптимально, так как достаточное условие выполнено и даже име

ются остатки комплектов (табл. 6,

Данный пример решен также с помощью метода возможных направлений

[3, алг. 8, стр. 267], при этом тоже получено оптимальное решение. Применение алг. 4 [см. 3, стр. 233] дает нецелочисленное решение, для

округления которого применяются специальные алгоритмы, при этом возможна

погрешность. Второй пример (N = 6), вычислительная схема которого приве­

дена в табл. 7, подтверждает сказанное.

Решения, полученные на основе алг. 1.3 и методом, изложенным в работе

32

В заключение следует отметить, что для данного примера точное решение может быть получено путем округления нецелочисленного решения до бли­ жайших целых чисел:

Однако в общем случае такой метод округления может привести к погреш­ ности.

§ 1.4. Оптимизация нелинейной одноиндексной

функции мультипликативного вида

1. Постановка задачи. Рассмотренный в предыдущих параграфах метод МЭ позволяет найти оптимальное решение следующей задачи.

Требуется найти вектор Y 0 = {г/°}п, доставляющий максимум функции f (Y):

при линейном ограничении на его компоненты

п

(1.80)

і= 1

ипри дополнительных условиях:

^ е {0, 1, т),

(1.81)

l ^ ( ( O j = l ---Ej)^: 0, .

Одна из возможных физических интерпретаций задачи может быть следующей. Некоторый объект атакуют п активных единиц (целей) так, что /-я цель может уничтожить его с вероятностью со>. Требуется

распределить т единиц однородного ресурса (средств) для воздействия по п целям так, чтобы обеспечить наибольшую вероятность сохране­ ния объекта, выражаемую формулой (1.79). Вероятность уничтоже­ ния /-й цели каждым из назначенных средств равна р,- = 1 — q}.

Другая физическая постановка может быть сформулирована в виде задачи о надежности. Техническое устройство состоит из п по­ следовательно соединенных элементов. Надежность (вероятность без­ отказной работы в течение заданного промежутка времени) /-го элемен­ та задана величиной е, = 1 — со./.

Требуется распределить т единиц ресурса для повышения на­ дежности отдельных элементов так, чтобы суммарная надежность устройства была наибольшей (т. е. необходимо оптимально зарезер­ вировать элементы системы). Вероятность со, выхода /-го элемента из строя снижается по степенному закону q y.i в зависимости от количест­

ва tjj выделенных единиц ресурса.

Возможны и другие практические задачи, сводимые к данной математической схеме.

2. Метод и алгоритм решения. До сих пор мы имели дело с ад­ дитивными вогнутыми функциями, применение к которым метода МЭ давало хороший результат. Сведем функцию (1.79) также к аддитив­ ному виду.

Известно, что вместо (1.79) при прочих равных условиях можно

Функция (1.82), как и функция (1.1), строго вогнута, а поэтому по аналогии с задачей § 1.1 (1) к ней применйм метод последовательного распределения средств в соответствии с максимумом прироста целе­ вой функции на каждом шаге процесса.

Пусть на ^-м шаге процесса в результате распределения (t— 1)-й единицы средств по целям (используется первая из предложенных физическая интерпретация задачи) /-я цель поражается с вероятно­

34

На основании (1.83) и (1.84) получим выражение для неотрица­ тельного приращения функции R f :

Поскольку назначение t-й единицы средств будет производиться из условия шах Д/", то вместо (1.85) можно использовать более удобное

выражение:

1 — (о[*

вероятности поражения объекта 1-й целью с учетом прохода ее к объ­

числения.

35

3. Оценка эффективности алгоритма. Алг. 1.4 обеспечивает т ное решение задачи, поскольку все обоснования по оценке точности алг. 1.1 в той же последовательности могут быть приведены и для оценки эффективности алг. 1.4.

Однако мы видели, что для сведения рассматриваемой задачи к уже известной необходимо было сделать формальное преобразование (логарифмирование), причем полученная эквивалентная задача утра­ тила или, во всяком случае, изменила («замаскировала») свой перво­ начальный физический смысл.

Пример данной задачи говорит о том, что в общем случае формаль­ ные преобразования могут скрыть физический смысл задачи и тогда для ее решения может быть применен только набор уже известных формальных методов, опирающихся на предыдущий опыт. Это су­ щественно снижает возможности получения решения задачи. Учиты­ вая важность физического подхода для решения любой нестандартной задачи, покажем, что и данная задача может быть решена непосред­ ственно без предварительных формальных преобразований.

Такая запись, обладая хорошей наглядностью, позволяет сразу увидеть, что для обеспечения максимального увеличения функций рѵ—і) и /4—!> на каждом шаге процесса в первом случае единичное средство следует закреплять за той целью, где обеспечивается мак­ симум абсолютного прироста целевой функции

а во втором — за l-й целью, на которой достигается максимум отно­ сительного прироста А+, так как это обеспечивает и максимум аб­ солютного прироста целевой функции

Сравнивая (1.95) и (1.86), убеждаемся, что и в данном случае при­ ходим к решению, которое было получено ранее при несколько фор­ мализованном на основе предыдущего опыта подходе.

f\l) = 1 — ®zQ(/ ° ? z = 1—cözQj0 .

36

/= 1

Физический смысл ограничения (1.96) можно истолковать как ограничение на суммарную стоимость т неделимых единиц ресурса. Тогда G j соответственно будет стоимостью одной единицы ресурса при использовании ее по /-й цели. Исходя из этого, логично при распреде­ лении ресурса потребовать обеспечения максимума прироста целе­ вой функции на каждую расходуемую единицу средств G, т. е. рас­ пределение каждой порции ресурса G;( на ^-м шаге процесса произво­

4К « л G; ( l — со(/ - І ) )

Вцелом алгоритм запишется следующим образом.

* Критерий прироста эффективности на единицу затрат известен по многим работам [48, 55 и др]. Интересно, что применение в качестве Д;+ (1.86) и тем

более (1.85) порождало бы погрешность, значит, метод логарифмирования здесь не

безгрешен.

37

Алг. 1.4а обеспечивает оптимальное решение, что видно из сле­ дующего. На основании (1.79) и (1.96) составим функцию Лагранжа, полагая, что ys (/ == 1, ..., п) непрерывны:

где к — множитель Лагранжа.

Согласно условиям оптимальности имеем:

Распределяя ресурс согласно условию (1.98), тем самым мы при­ водим в соответствие условия оптимальности (1.108).

См. сноску *** на стр. 17.

38

5. Примеры расчета. П р и м е р 1. Поскольку вычислительная схема достаточно близка к схемам решения предыдущих задач, под­ робно рассмотренных ранее, мы не будем ее иллюстрировать, но рассмотрим пример, позволяющий отметить некоторые особенности, характерные для данной задачи.

В соответствии с физической постановкой задачи, приведенной в начале параграфа, примем следующие исходные данные, записанные в верхней части

с максимальным элементом которого следует назначить средство по первой цели. Вероятность сохранения объекта при этом максимальна и равна 0,224 (третья строка), в 2,24 раза выше, чем в случае воздействия по второй цели.

Из второй строки видно, что математическое ожидание уничтоженных целей с учетом их важностей (Оу будет, однако, больше в другом случае ((02р2 ^

= 0, 20).

Пример показывает, что если для обеспечения наибольшей сохранности объекта будем стремиться максимизировать число уничтоженных целей с уче­ том их важности (логически это вполне оправдано), т. е. будем максимизиро­ вать функцию (см. § 1.1(1)):

утверждению об их эквивалентности. Однако возможность появления погреш­ ности решения опровергает такое утверждение, поэтому вместо термина «эквива­

лентный» и соответствующего ему знака — там, где строгой эквивалентности

может и не быть, будем применять термин «квазиэквивалентный» и соответствую­ щий ему знак

39