книги из ГПНТБ / Берзин Е.А. Оптимальное распределение ресурсов и элементы синтеза систем

Из (2.30) следует, что при N = 1 область сбоя отсутствует, так как А; = Аг+, что видно, например, из (2.29).

При N -*■оо алг. 60 и б+ также совпадают и дают точное решение. Наибольшая вероятность сбоя будет иметь место при N = 2, что мы и примем для каждого шага процесса, снова завышая оценку

погрешности. Тогда условие сбоя запишется так:

(2.31)

Это следует из условия неотрицательности подкоренных выра­ жений (2.32) и (2.33).

Далее снова будем считать, что величины сог являются случай­ ными, равномерно распределенными на отрезке [0, 1].

На рис. 2 показаны области выполнения условий сбоя (2.31).

Так как А ^ 1 , а из (2.29) следует, что сог : <ог> А, то сбои возможны только в области со,.^сог.

При произвольном значении А ^ 1 вероятность сбоя Р (А) опре­ деляется как вероятность попадания случайной точки в область тре-

50

угольника ОВС. Р{А) равна отношению площадей S x = SobcuS = 1 . Исходя из геометрических соображений и зная координаты точек

В и С [определяются условием (2.32)], можно записать:

Вводя новое обозначение а (А)

после подстановок и элементарных преобразований получим выраже­ ние для вероятности сбоя Р (А) как функции параметра а:

Если сбой произошел, то это влечет за собой погрешность

где выражение в скобках — относительная погрешность ß (Л). Отношение параметров со / : мг, необходимое для определения

относительной погрешности ß (Л), примем равным его среднему зна­ чению в области сбоя (рис. 2):

Суммарная погрешность ДF (80) равна сумме математических ожиданий погрешностей за N шагов процесса*. Учитывая (2.37),полу­ чаем:

зависят от номера шага процесса (изменяется А), однако учесть это трудно, по­ этому, полагая их неизменными, мы выберем далее такое фиксированное значе­

ние А, при котором среднестатистическая погрешность наибольшая (рис. 3).

В работе [43, стр. 153] величина ДF определяется несколько иначе.

51

Поскольку максимальное значение функции F (б) получается

в двойном счете нет необходимости, так как вступают в силу законы статистики, и если ММЭ имеет оценку погрешности сверху не выше 6,3%, то для МДФ она еще меньше — не более 3% (см. рис. 3).

что следует из (2.17). Указанное обстоятельство, а также пересчет элементов матрицы от (t — 1)-го шага процесса к t-му позволяют создать экономные алгоритмы решения задачи.

* См. стр. 30.

52

Для решения задачи можно использовать алг. 1.2 со следующими изменениями:

элементы матрицы || Д 1 1| 2vs будут вычисляться по формуле

(2.47), вместо (2.21):

N

(2.47)

элемент xjt определяется как суммарное количество средств, назначенное от /-й группы (источника средств) для воздействия по і-й цели за все N шагов процесса распределения:

Так как N ^ N , то возможностьразделения средств по группам позволяет существенно увеличитьразмерность (по j) решаемой зада­ чи при том же объеме ОЗУ. Объем вычислений также сократится. Оценка по числу элементарных операций показывает, что для реше­ ния потребуется:

* См. § 1.3(1).

53

При большом количестве средств N объем расчетов может быть еще более сокращен. Это вытекает из того, что в этом случае О и поэтому [см. (2.47)]

для г-го (г = 1, ..., N) источника средств.

В этом случае средство г-го источника, которое привело к выпол­ нению равенства (2.51) возвращается в тот же источник и дальнейшее распределение ведется методом двух функций (алг. 2.1), причем сум­ марное приращение Aki вычисляется по формуле (2.21) в предполо­ жении, что в каждом источнике только единица средств.

Если после перехода к алг. 2.1 все же будет назначено средство

г-го источника, то можно снова перейти к алг. 6+ до выполнения условия (2.51) для какого-либо дугого источника.

Если после перехода к алг. 2.1 последнее средство г-го источника пока не назначается, то распределение ведется по алг. 2.1. Переход к этому алгоритму должен осуществляться с тем расчетом, чтобы ис­ ключить возможность распределения последнего из остающихся в каж­

дом источнике средств на основании алг. б+, т. е. без учета потерь, которые далее не смогут быть компенсированы другими средствами.

Физический смысл упрощенного алгоритма состоит в том, что основная часть средств распределяется с несколько большей воз­ можностью возникновения погрешности, чем при использовании алг.

б о, однако распределение средств в конце процесса обеспечивает компенсацию допущенных ошибок, что в целом влияет лишь на поря­ док распределения средств, но практически не сказывается на точ­ ности.

При таких ограничениях задача сводится к задаче о назначениях

[ 10].

Алгоритм решения изменится лишь в том, что после каждого шага процесса уменьшается на единицу не только количество средств, но исключается из дальнейших расчетов и цель, на которую назна­

Задача может быть названа задачей о назначениях с отбором целей

(незамкнутая задача о назначениях).

54

По сравнению с предыдущим случаем область оптимизации рас­ ширена, зависимость между назначениями ослаблена и вероятность

Задача может быть названа задачей о назначениях с отбором средств. Алгоритм распределения средств практически не меняется. Процесс заканчивается после выбора и распределения 5 средств. После окончания процесса необходимо попытаться улучшить реше­ ние путем замены назначенных средств, менее эффективных, чем те, которые не вошли в решение, если таковые окажутся.

Формальным условием для замены &г го средства г-м (не вошед­ шим в решение) является неравенство:

Номер г наиболее эффективного из множества остающихся не­ использованными N' средств определяется из условия

Это более общий случай, включающий все предыдущие (кроме а).

Если ^ v ^ N , то в алг. 2.1 необходимо проверять дополнитель-

і

ные условия (2.57) и по мере их выполнения исключать из дальней­ шего рассмотрения соответствующие им цели.

Если 2 к г < N, то задача решается с «отбором средств» и требует

І

последующей проверки условий (2.55), как и в случае г).

е) Алг. 2.1 позволяет решать обратную задачу, которая формули­ руется следующим образом. Выбрать минимально необходимое число

средств из N их типов для обеспечения требуемого общего эффекта при возможных ограничениях эффекта на отдельных целях, т. е. найти

Следует иметь в виду, что область возможных решений существует только при условии

Задача будет окончательно определена после указания совокуп­ ности средств, из которой производится выборка. Если указаны только

55

типы средств без ограничений на количества по типам, то задача упрощается и сводится к обратной по отношению к рассмотренной

в § 1.3 (1). Она решается на основе.алг. б+.

При ограничении числа средств каждого типа следует исполь­ зовать алг. 2.1 или его обобщение а). После достижения требуемого эффекта (2.59) полезно убедиться, что оставшиеся средства не могут улучшить решение путем замены согласно условию (2.55).

Рассмотренные выше видоизменения задачи не влекут за собой снижения точности решения, так как по отношению к ним практически

Вычислительная схема, соответствующая алг. 2.1, представлена табл. 11, элементы которой записаны в виде пар чисел (число без скобок и число в скоб­ ках). Каждая пара чисел вычисляется по формулам:

Первое число позволяет определить индекс Ц .максимального элемента Ам в данной строке (жирный шрифт). Вычитая из этого элемента все числа дан­ ной строки, стоящие в скобках (второе число), получаем значение элемента Akl

[см. (2.21)], которое записывается в предпоследнем столбце таблицы. Максималь­ ный элемент этого столбца определяет второй индекс — индекс средства (&<), распределяемого на t-м шаге процесса. Максимальные элементы столбцов также выделены жирным шрифтом.

Характер изменений функций F f, Fp и F f уже был показан на рис. 1. Матрицами б0 и 6+ представлены решения, полученные с помощью алгоритмов б0 и 6+:

56

57

Текущие матрицы назначений, соответствующие алг. б0, представлены

ниже.

Пример хорошо иллюстрирует «чувствительность» алг. б0, которым «замечена» разница решений в 0,55%:

Решение также оптимально. Последовательность назначений и отбора средств при этом следующая:

(kt, /() = (2; 1 -у 4-, 2-*3; 3 ^ 5 ; 4).

Средства / = 1 и / = 6 при этом оказались забракованными. Улучшения решения путем замены средств достигнуть не удалось.

58

§ 2.2. Обобщенная задача оптимального распределения неоднородного ресурса между взаимозависимыми элементами системы

®U= !•

Данная формальная схема как частный случай включает в себя постановку задачи § 2.1 (1), поэтому физическую интерпретацию мож­ но записать в виде некоторого усложения условий задачи § 2.1.

ром { Л;}5. Если в результате обстрела /-й объект (цель) уничтожен, то

симостей, существующих между объектами. Это требует рассмотрения

59