книги из ГПНТБ / Берзин Е.А. Оптимальное распределение ресурсов и элементы синтеза систем

13°. Лучший из полученных вариантов решений считать оптимальным.

боту так, чтобы он стал отличным от порядка оптимизации по методу скорейшего спуска (подъема), оптимальность которого известна. В остальных случаях получаемые оценки возможной погрешности позво­ ляют судить о степени оптимальности результата и принять решение о необходимости дальнейших уточнений.

Следует заметить, что в области значений оптимального решения, близких к нулю, формула (4.64) не дает нужного представления о ве­ личине погрешности и величина оценки относительной погрешности ß может быть недопустимо большой, в то время как абсолютная погреш­ ность мала или вообще отсутствует.

В силу аналогии алг. 4.1а и алг. 4.2 все, что было сказано в §4.1(3) в отношении объема счета и размерности решаемой задачи, остается справедливым и применительно к алг. 4.2.

4. Некоторые обобщения. Решение задачи § 4.2(1) позволя снять ограничение (4.5) с условий задачи максимизации § 4.1(1). Теперь это легко сделать путем сведения задачи максимизации к зада­ че минимизации путем перемены знака целевой функции. Кроме того, задачу § 4.1(1) можно решить теперь и иным способом*, при этом суть решения будет заключаться в следующем.

Решение начинается по алг. 4.1а и продолжается до тех пор, пока текущее значение целевой функции перестанет увеличиваться, а оче­ редной шаг уже приведет к ее уменьш ению (на этом этапе отрицатель­

* Возможна погрешность. О ее оценке см. (4.26), (4.64).

160

ные функции и убывающие участки кривых Fi(xt) в решении пока

не участвуют). Дальнейшее увеличение компонент хф было бы нежела­ тельно, так как компоненты «вытесняются» на убывающие участки кривых Fi(Xi). Однако поскольку жесткость ограничения (4.2) не по­ зволяет избежать этого, то необходимо, чтобы уменьшение целевой функции было по крайней мере минимальным, Для этого кривые Fi(Xi) нужно перенести параллельно им самим и совместить точками,

соответствующими компонентам ,г(Р текущего вектора с началом координат. Так как теперь все функции будут отрицательны, то до­ статочно изменить знак целевой функции на обратный и в дальнейшем решать задачу минимизации согласно алг. 4.2 до выполнения огра­ ничений (4.2).

В силу аналогии алгоритмов и задач § 4.1 и § 4.2 можно повторить все обоснования, указанные в §4.1(1), и без существенных изменений распространить приведенные там обобщения и на условия данной задачи. Так, обратная задача, которая будет состоять в определении максимального реализуемого ресурса X при ограниченном или фикси­

рованном уровне издержек F(X), может быть получена в ходе решения задачи (4.58)—(4.60).

Остановимся еще на одном обобщении, которое будет заключать­ ся в том, что вместо условия (4.59) вводится условие

ции целевой функции (4.58) может быть расчленена на две согласно выражению (4.75):

Оптимизация каждой из функций в фигурных скобках произво­ дится путем решения задачи (4.58)—(4.60) при жестком ограничении на ресурс. Если величину Х і полагать текущей, то можно рассчитать

—■—У

зависимости/^ ( X,), F2 (Х°), характеризующие изменение минималь­ ных значений обеих функций от величины ресурса, и тогда решение сведется к определению минимума функций одной переменной. Это легче всего сделать путем перебора по Х х (или по Х 2)'-

где оптимальным векторам приписан индекс 0 .

В случае снятия жесткости с ограничения с (4.74) заменой зна­ ка = знаком > область оптимизации увеличится. Метод оптимизации практически не изменится и будет проиллюстрирован примерами.

Аналогичным образом рассмотренное обобщение может быть при­ менено и к задаче максимизации § 4.1(1).

S. Примеры расчета. Пример 1. Рассмотрим задачу минимизации целевой

функции F (Х2), составленной из кривых F4 (х4), Fb (х5) и Ft (x„) рис. 12. По правилу скользящей точки вычислены элементы совмещенной матрицы || VjpАхи ||, представленной табл. 27. Элементы, соответствующие сопряженным точкам, вьпелены жирным шрифтом.

^ I X ° ) ; F Z (X°Z ) ; F ( X 0 )

По алг. 4.2 получено множество решений, записанное в табл. 28, согласно

которой на рис. 13 построена функция F2 (Х§) (кривая 1). Порядковые номера сопряженных решений в таблице выделены жирным шрифтом.

162

Нас больше будут интересовать несопряженные решения, поскольку в них возможно появление погрешности. Рассмотрим одно из них (b — 27 ед.).

Оптимальное решение получено в результате проверки двух дополнитель­ ных вариантов (табл. 29). В табл. 27 оно выделено жирной линией. Первое ре­ шение, полученное согласно нулевому исходному плану, имеет оценку погреш­ ности

Таблиц а 29

где сопряженно-минимальное решение и остаток соответственно равны:

решений F2(X\) уже не имеет такого «корявого» вида, как исходные кривые Fi(Xi), причем она становится еще более гладкой по мере уве­ личения количества слагаемых функций п.

Пример 2. В данном примере проиллюстрируем решение задачи при ограничении (4.74).

Найдем максимум* функции F (X) шести переменных:

* Это равносильно определению минимума функции — F (X). В (4.83) фактически снято ограничение (4.5).

164

Задачи максимизации и минимизации указанных функций уже были реше­

ны нами ранее и соответствующие им кривые Fx (Xg) и F2 (Xg) оптимальных решений приведены на рис. 13 (кривые 2 и 1). Теперь решение состоит в определении оптимальной величины Х а = Xg, что делается путем перебора по переменной Х 2:

Графически перебор сводится к определению максимального расстояния (разности) между указанными суммарными кривыми, одна из которых (кривая 2), согласно (4.84), смещена на величину 6 влево. В табл. 30 представлены век­ торы решений и значения целевых функций для четырех значений величины 6, включая нулевое. Точка Е и участки MN соответствуют оптимальным решениям для различных значений 6 (рис. 13).

задачу максимизации прибыли в хозрасчетной системе предприятий (поступлений извне нет). Кривая 3 характеризует рост максимальной прибыли по мере уве­ личения ресурса 6.

Решение рассмотренных двух задач позволяет перейти к более широким обобщениям.

§ 4.3. Оптимизация аддитивной целевой функции

произвольного вида при одной ограничивающей

функции того же вида

1. Постановка задачи. Распространим полученные результаты на решение задачи следующего вида.

Требуется найти оптимальный вектор Х 0 = {х°}, доставляющий максимум функции вида:

/ = 1

165

Функция g(X) аддитивна, а ее компоненты gi{xt) обладают теми же свойствами, что и функция Fi{xi), и положительны.

При gi(Xi) = Хі приведенная формальная схема включает в себя задачу § 4.1(1) со всеми присущими ей физическими интерпретациями. Расширение круга практических задач, которые могут решаться с по­ мощью данной формальной схемы, происходит за счет получения воз­ можности более точного математического описания и учета физиче­ ского процесса, показателем эффективности которого является целе­

вая функция F(X). В каждом конкретном случае такое уточнение про­

изводится на основе анализа, прежде всего, физической стороны про­ цесса.

2. Метод и алгоритм решения. В предыдущих разделах мы под­ робно ознакомились с методом ПП, что позволяет теперь ограни­ читься изложением и обоснованием только метода сведения задачи (4.85)—(4.87) к задаче (4.1)—(4.3), эффективно решаемой мето­ дом ПП.

Идея сведения задачи к постановке (4.1)—(4.3) состоит в перемене ролей независимой переменной xt и функции gi{xi) (і = 1, ..., п). При этом условии задача перепишется в виде:

при линейном ограничении на компоненты вектора новых независимых переменных gg.

Реализация на практике такого метода затруднена, если хотя бы одна из функций gi(xi) неразрешима относительно хг в явном виде. Кроме того, переход к новой переменной gt грозит потерей целочис­

ленное™. Эти трудности легко преодолеваются средствами вычисли­ тельной математики. Имея в качестве независимой переменную gi,

ее значения задаем, тем не менее, не произвольно, а в соответствии со значениями х и что обеспечивает их целочисленное™. Так как для любого значения x t известны значения gi(xt) и F^xi), то, полагая вели­

чину gi независимой, можно считать, что известно и значение функ­

166

ции q>i(gi), так как оно равно значению Fi(Xi). Переход к задаче § 4.1(1) можно представить в виде схемы:

Дальнейшее решение осуществляется с помощью алг. 4.1а с учетом его доработки. Схему (4.91) нагляднее всего можно пред­ ставить графически.

На рис. 14 совмещены три системы координат, имеющих по одной общей оси. Исходные данные представлены в виде кривых Дг(х;) и gi(Xi), размещенных в квадрантах II и IV. Произвольная точка R

Рис. 14.

компоненты cp;(g"i) новой оптимизируемой функции в соответствии со схемой (4.91) определяется так, как показано стрелками для Хі — 7.

Процесс сведения задачи § 4.3(1) к задаче § 4.1(1) по существу состоит в однозначном отображении множества функций {/-Дх;)}» ' множество {ф/(^г)}п- Требование максимизации вынуждает в случае многозначности функции / гі(хі) всегда выбирать ее наибольшее значе­ ние, а условие ограниченности ресурса сверху вынуждает в случае неоднозначности функции gi(xt) выбирать ее наименьшее значение

(для задачи минимизации условия обеспечения однозначности будут противоположными). На рис. 14 это учтено тем, что для кривых Fi(xt) и gi(Xi) многозначные участки, не участвующие в решении, отсечены пунктирными отрезками АБ, ВГ и ДЕ. Отображением именно этой «исправленной» функции и является функция Ф;(^г)- В точках, соответ­ ствующих началу области неоднозначных решений (для Дг(хг) — точка Д), функция фг(хг) терпит разрывы (точка М), но однозначно зависит от нового аргумента gi.

Таким образом, задача с нелинейным ограничением сведена к за­ даче § 4.1(1) с линейным ограничением.

167

Если в задаче не наложено условие целочисленности переменных Хі, то на этапе применения алг. 4.1а удобно исследовать функцию cpifeO по переменной gi с некоторым постоянным заданным шагом (еди­ ничный шаг обеспечивает при этом целочисленное решение по пере­ менной gi).

Для получения «непрерывного» решения должны быть исследова­ ны также особые точки, соответствующие локальным экстремумам, разрывам и т. д.

При требовании целочисленности переменной xt в решении, долж­ ны участвовать только соответствующие им дискретные значения функций Fi(Xi) и gi(Xi). Одновременное требование целочисленности Хі и gi недопустимо. В некоторых случаях можно избавиться от ус­ ловия положительности ограничивающих функций gi(xt). Например,

если некоторые функции gi(Xi) при всех допустимых значениях аргу­ мента Хі неположительны, то, переходя к независимым переменным gi, можно считать все gt неотрицательными, если ограничение (4.89)

представить в виде двух подмножеств по типу (4.74). Дальнейшее ре­ шение не представляет трудностей.

Итак, сведение задачи §4.3(1) к задаче § 4.1(1) осуществляется

отображением множества {Ег(д:г)}п в множество {фг^г)}n. что равно­ сильно деформации (масштабированию) оси 0xt по закону функции

St (хі).

3. Оценка эффективности метода. В данном параграфе не пред­ лагался новый алгоритм, поэтому достаточно показать, что рассмот­ ренный прием сведения задачи к уже известной (§ 4.1) не нарушает условий оптимальности. Запишем функцию Лагранжа, рассматривая ограничение (4.86) как жесткое:

Дифференцируя ее как сложную функцию, получим:

Участкам с неизменяющимися* значениями функций gi(xt) соот­

ветствуют разрывы функций (pi(gi), где берется только одно макси­ мальное (для задачи максимизации) значение, поэтому можно счи­ тать, что

dxi

С учетом неотрицательности функций gi(xi) (или возможности их свести к такому виду), а также имея в виду, что оптимизация идет по выпуклым кверху оболочкам (кр. СЩЗ), из (4.93) после деления на (4.94) окончательно получим условия оптимальности:

* Или с неоднозначными.

168

Когда решение соответствует сопряженным участкам, условия (4.95), к реализации которых и приводит алг. 4.1а, являются необ­ ходимыми и достаточными условиями оптимальности. Замена кривых <Pi(gj) их выпуклыми кверху оболочками и выбор длины шага обеспе­ чивают «глобальность» решения (в исходной постановке задачи гл. 4 являются многоэкстремальными). Если последний шаг процесса не обеспечивает получение сопряженного решения, то возникает пробле­ ма «остатка», которая решена в § 4.1(3).

Увеличение объема вычислений по сравнению с предыдущими за­ дачами гл. 4 несущественно. Основным (техническим) ограничением размерности решаемой задачи остается объем оперативной памяти ЭВМ. Объем исходной информации увеличивается (за счет общего вида ограничивающей функции) примерно в два раза. Это ограниче­ ние легко обойти путем расчленения задачи, как указано в § 4.1(3).

4. Некоторые обобщения. Поскольку рассмотренная задача сво­ дится к задаче § 4.1(1), то к ней применимы и все обобщения, описан­ ные в § 4.1(4). Однако в силу большей общности данной задачи она будет иметь и более широкую область применения.

Укажем по крайней мере на два обобщения, связанные с видом

ограничивающей функции g(X).

Помимо ограничения вида (4.2) задача решается и при ограниче­ нии мультипликативного вида:

(4.100)

169