книги из ГПНТБ / Берзин Е.А. Оптимальное распределение ресурсов и элементы синтеза систем

По аналогии (5.61) и (5.64) для указанного случая можно Записать функциональное выражение для коэффициентов конечной свертки:

Задача ЛП в рассмотренном случае сводится к определению экс­ тремума многомерной функции при одном линейном ограничении на неотрицательные переменные.

Можно показать, что просмотр допустимой области определения вектора { $j}m с шагом у потребует перебора количества вариантов,

равного числу сочетаний из т -\—^— 1 по min {т; — 1}. Это очень

быстро (по мере роста т и Му) начинает превышать возможности лю­ бых ЭВМ.

Более высокими возможностями для решения задачи (5.103)» (5.104), по-видимому, мог бы обладать метод статистических испыта­ ний, однако пока остается неясным вопрос, как обеспечить равно­ мерный просмотр области допустимых решений, ограниченной усло­ вием (5.104).

Для оптимизации могут быть применены также и градиентные методы. Пересечение гиперплоскостей в m-мерном пространстве образу­ ет симплексную поверхность с единственным максимумом (см. рис. 18), что упрощает его поиск.

В заключение укажем комбинированный метод решения крупно­ размерной задачи ЛП. Его укрупненный алгоритм включает элемент классического анализа и состоит в следующем.

Алгоритм 5.16.

1°. Нормировать задачу ЛП по вертикали и горизонтали. 2°. С помощью алг. 5.1а провести 2—3 цикла расчетов.

3°. Записать усеченную матрицу |а)?) ||/пп, в которой

і $ /- и / а / і ^ о ,

Матрица ||Ч/®>|| tnn должна быть квадратной: т — п.

210

Алг. 5.1 б не должен привести к недоразумениям, если преды­ дущий материал раздела «Оценка» был понят и не вызвал серьезных возражений.

Вотношении п. 3° следует сделать следующее предупреждение.

Висходной задаче содержится ряд ограничений, которые не влия­ ют на оптимальное решение, однако некоторые из них могут все же на первом цикле войти в (-свертку только потому, что они раньше

других, более сильных ограничений, комбинируются со сверткой. В последующих циклах такие ограничения, по-видимому, уже будут игнорироваться, так как в (-свертку уже включены и более сильные (доминирующие) ограничения, однако множители %t для ошибочно включенных ограничений теперь не могут быть равными нулю, а усе­ ченная матрица [| а)"’ \тКне окажется квадратной.

Чтобы уменьшить возможность ошибки при выполнении п. 3°, предусмотрено 2—3 цикла расчетов. В случае необходимости, чтобы сделать матрицу Ця/ГЦтл квадратной, можно отбросить то ограниче­ ние, которое не входит в (-свертку в последних циклах или для кото­ рого величина 5ßjt минимальна и убывает от цикла к циклу.

роны, степенью обоснованности вычислительных методов и приемов, используемых при решении конкретной задачи, с другой — важностью практических приложений этой задачи.

Любая крупноразмерная задача является формальным отобра­ жением некоторой реальной системы, включающей в себя большое количество подсистем и элементов и характеризующейся многообра­ зием и сложностью связей между ними. Указанные факторы являются основными признаками класса систем, именуемых в современной специальной литературе большими (сложными системами) [24].

В то же время большие размеры и уникальность задачи часто ис­ ключают возможность применения для ее решения классических мето­ дов и требуют разработки специальных приемов, основанных на учете особенностей конкретной задачи с помощью эвристики или даже толь­ ко интуиции. Метод НФ также включает в себя неформальные эле­ менты, и алгоритмы, основанные на нем, в общем случае не обеспечи­ вают строгую оптимальность.

Следовательно, требуется анализ и проверка решения. По-видимому, нельзя указать единый подход для анализа, конт­

роля и уточнения результатов, так как слишком большую роль при

311

этом может играть специфика конкретной задачи. «В настоящее время вся тема представляет собой скорее искусство, нежели науку»*, по­ этому многое зависит, прежде всего, от опыта и подготовки самого ис­ следователя. Можно лишь указать наиболее общий принцип, который должен быть руководящим при анализе и проверке результата: мно­ гократность и всесторонность проверок. Здесь исследователя можно сравнить с летчиком, который должен всегда стремиться определить

при этом он имеет право полагаться на интуицию, хотя именно с нее

окружающие ориентиры, он начинает думать, что его первое впечат­

тем более что дополнительно удалось подтвердить свои предположе­ ния с помощью радиотехнических средств. Вдруг на миг прояснилось небо, выглянуло солнце, но ... почему же оно светит в спину?

Логика и последовательность действий исследователя примерно те же, что и у летчика.

Получив результат, исследователь сравнивает его с тем ожида­ емым решением, которое ему подсказывает опыт, интуиция и здравый смысл. Если результат не очень расходится с ожидаемым решением, то уверенность в его правильности несколько возрастает. Однако исследователь продолжает проверку другими известными или специ­ ально продуманными для этой цели способами, при этом он стремится, чтобы эти способы были по возможности и просты и достаточны, для безошибочного заключения о степени достоверности решения. Если такая проверка показала, что решение удовлетворяет практическим целям, в интересах которых решается задача, то анализ точности реше­ ния можно считать оконченным. В противном случае продолжается поиск достаточных условий, убеждающих в приемлемости решения.

Если поиск оказался безуспешным, следует предположить, что решение содержит грубую ошибку. Чтобы проверить эту гипотезу, надо попытаться показать, что нарушены необходимые условия опти­ мальности. Находя необходимые условия, проверяя их и убеждаясь, что они выполняются, исследователь, тем не менее, не может считать, что решение оптимально, хотя мера уверенности в этом возрастает. Однако достаточно нарушить хотя бы одно необходимое условие, чтобы

* Имеются в виду методы вычислений и подходы к решению задач (см. [31],

стр. 391).

212

считать решение неоптимальным*. Степень невыполнения условия в какой-то мере говорит и о величине возможной погрешности.

На этом этапе исследователь должен сделать выбор: продолжать ли дальше проверки или перейти к выяснению причин погрешности, к ее оценке и, если потребуется, к устранению. Характер этого выбора будет зависеть от опыта и интуиции исследователя и в конечном сче­ те повлияет на дальнейший объем работы.

Пусть выбран второй путь. Как оценить погрешность, выяснить причину и устранить ее? По сути дела, это вопрос не менее сложный, чем вопрос о том, как решить задачу.

Не будем пытаться здесь излагать общие принципы решения за­ тронутого вопроса (рекомендуем читателю обратиться к [28, 29, 30, 31], однако на конкретном примере попытаемся воспроизвести после­ довательность и логику рассуждений, которые были применены при анализе и уточнении ответа, полученного при решении задачи ЦЛП методом НФ.

Решение примера (5.84), полученное с помощью метода НФ (алг.

Оценка по методу СО равна ЦСО) = 30 (см. табл. 37). При наличии сомнений в точности метода СО можно было бы предполо­ жить, что решение завышено и, следовательно, возник бы вопрос: искать ли другие методы оценки или начать поиск ошибки в решении ЦНФ), рискуя при этом проделать бесполезную работу, если ошибка все-таки заключена в МСО.

П р и м е ч а н и е . При хорошем совпадении L (СО) и L (НФ) можно не сомневаться в приемлемости обоих решений, даже при отсутствии всяких га­ рантий точности решений каждого из методов, поскольку первый из них (/.(Н Ф )— прямая задача) дает оценку решения снизу, другой (двойственная задача) обеспечивает оценку сверху, а оптимальное решение заключено между ними.

По той же причине соотношение L (НФ) > L (СО) может говорить только об ошибках в вычислениях, допущенных, по крайней мере, в одном из указан­ ных методов.

Полагая, что метод СО обладает достаточными гарантиями точно­ сти, будем искать погрешность в решении ЦНФ).

Первое, что обращает на себя внимание, это значител ьные вели­ чины невязок [см. (5.106), (5.107)], т. е. остатков ресурсов:

С проблемой остатка ресурса мы уже встречались в § 4.1(3). Записанный там алг. 4.1 б позволяет, как правило, избежать погреш­

*Именно это и случилось с летчиком, когда он увидел, что солнце сзади,

вто время как при полете на юг в полдень оно должно быть строго по курсу.

213

ности или снизить ее путем дополнительного просмотра нескольких вариантов со специальными ненулевыми исходными планами решения.

Поскольку между методами ПП и НФ существует определенная общность, попытаемся распространить идею алг. 4.1 б на метод НФ, используя для этой цели пример (5.84).

После первого шага (Д*4 = 1, см. (5.106)) и г-нормировки* огра­ ничения (5.84) примут вид:

Согласно п. 3° алг. 5.1 далее следовало бы увеличить перемен­ ную *х, однако это нарушило бы ограничение / = 2. Тогда, выбирая новый исходный план

в соответствии с алг. 5.1, получим новое решение:

В дальнейшем улучшении оно не нуждается.

По-видимому, и здесь может быть найдена формула для оценки погрешности, аналогичная (4.25), при этом наличие многих ограниче­ ний повлечет за собой дополнительные особенности и трудности при ее получении. Однако и при отсутствии оценочной формулы нетрудно записать аналог алг. 4.1 б для проверки возможности улучшения ре­

Алг. 5.1, даже с учетом возможной доработки его, даст нулевое ре­ шение. Однако решение, полученное методом СО, позволяет предпо­ лагать, что решение ЦНФ) = 0 ошибочно:

Напомним, что дробное решение прямой задачи ЛП может дать только верхнюю оценку для задачи ЦЛП, однако столь сильное расхож­

* При ручном счете удобнее величину Ь менять от шага к шагу. В данном случае это потребует пересчета коэффициентов только у ограничения / = 3 умножением их на 2, так как на 2-м шаге выбрано новое значение приведенного ресурса ( b ^ = 8 ).

*14

дение результатов всегда настораживает. Анализ условий задачи (5.111) показывает, что в принципе решение может быть лучше, чем нулевое,

если разрешить временный выход конца текущего вектора решения Хй) за пределы области допустимых решений (это не предусматри­ вается в алг. 5.1). Согласно (5.26) имеем:

Из (5.113) следует, что наиболее целесообразно на первом шаге дать единичное приращение переменной хи однако при этом будет нарушено ограничение / = 1 [подмножество Rt [см. (5.21)] пере­ станет быть пустым (R~ = {1})]. Чтобы решить, следует ли пытаться делать назначение Axx = 1, необходимо быть уверенным в том, что при этом возможность возвращения конца вектора текущих решений в пределы области допустимых решений по крайней мере не исключа­ ется. Достаточным для этого является условие:

которым возможно дальнейшее улучшение решения, полученного на основе алг. 5.1 (или улучшение самого алг. 5.1). Изменение алг. 5.1 при этом сведется, в основном, к просмотру ряда дополнительных вариантов с различными исходными планами.

В заключение обратим внимание еще на одну возможность улучшить решение путем введения комбинированных переменных. Та­ кие переменные (хп+8) образуются как линейные комбинации от переменных xt исходной задачи с неотрицательными коэффициен­

тами T]}s):

П

где не менее двух коэффициентов т]г отличны от нуля. Полное мно­ жество 5 дополнительных переменных содержит N элементов:

215

если полагать, что для каждого набора переменных хг с ненулевыми

множителями r||s) выбирается только один, оптимальный вектор =

{л***}-

Дополнительным переменным в линейной форме и в ограничениях

Целесообразность введения (n + s)-ft комбинированной переменной в условия исходной задачи будет определяться тем условием, чтобы

Смысл условия (5.120) нетрудно понять, если вспомнить физическое

достаточно вместо yn+s рассматривать только коэффициенты a ^ s.

Вцелочисленном варианте задачи, по-видимому, будет удобнее иметь дело

сцелыми значениями r)/S^

Угрожающий характер формулы (5.117) способен был бы погасить интерес к комбинированным переменным, если бы на практике дело не обстояло проще. В примере (5.111) достаточно было ввести только одну такую переменную (х5):

Теперь исходная задача исправлена и удобна для решения по алг. 5.1. Более неприятным является тот факт, что оптимальные векторы

t)<s) в общем случае могут изменяться в ходе процесса оптимизации.

4. Некоторые обобщения. Задача ЛП является одним из пре дельно-частных случаев общей задачи математического программиро­ вания, поэтому любые попытки обобщения фактически выводят ее

216

из класса задач ЛП. Рассмотрим, например, три вида наиболее про­ стых дополнительных ограничений на переменные:

1)х г6{0;1}, Fu (xt e {0, 1, ...}),

Условие целочисленности (1) принято вводить путем перевода выпук­ лой области допустимых решений задачи ЛП в разряд невыпуклых и несвязных, что порождает трудности принципиального характера

(см. [221, стр. 16). Однако такой способ учета целочисленности, да и вообще двусторонних ограничений типа (3), не является единствен­ ным. В данном случае, деформации области допустимых решений удобнее предпочесть деформацию целевой функции*. В задаче ЛП при дополнительном условии (1) линейная целевая функция:

* По существу это способ наложения «штрафа» (см. [58]) за нарушение условий.

217

Аналогичным образом учитывается условие 2) — условие двузнач­ ности переменных. При этом задача ЛП вырождается в обобщенную

ветствует функция произвольного вида (линия ОС СДЕ). Единствен­ ная особенность, свойственная указанным трем функциям, состоит в том, что линия Li{Xi) входит в начальные звенья выпуклых кверху оболочек всех указанных функций и имеет с ними общие (сопряжен­ ные) участки и точки.

В заключение заметим, что в современной литературе достаточно подробно указываются различия задач ЛП и ЦЛП и методов их ре­ шения. Однако следует помнить и об общности, существующей между ними, которая заключается в том, что задачу ЛП можно рассматривать как предельный случай задачи ЦЛП, когда шаг дискретности стремит­ ся к нулю. Это означает, что по мере убывания шага дискретности расхождение в результатах рёшений, полученных специальными мето­ дами (алг. Гомори, см. [22]) и классическими с последующим округле­ нием, будет все более убывать. Хорошее совпадение ряда решений, получаемых по алг. 5.1 при варьировании шагом дискретности, яв­ ляется признаком близости к оптимальному решению.

П р и м е ч а н и е . Чтобы уменьшить шаг дискретности по всем перемен­ ным в k раз, следует вектор-столбец ||6Ц[т увеличить, а вектор-строку {c*}n уменьшить в k раз. Чтобы уменьшить в k раз шаг дискретности только по I-й

В табл. 38 приведены соответствующие вычисления и результаты. Исходные условия задачи записаны в первой рубрике таблицы (t = 0).

Знак неравенств проставлен в предпоследнем столбце табл. 38. Характер оптимизации указан в таблице знаком max (или min), который ставится в пра­ вом верхнем углу таблицы. Последующие примеры будут записываться в по­ добной же форме. Согласно алг. 5.1 расчеты начинаются с нормировки задачи. В данном примере проводится только г-нормировка, что способствует лучшему

Другим, также несущественным отличием от основного алгоритма являет­ ся то, что величина приведенного ресурса b не остается постоянной от шага к шагу, а выбирается, исходя из удобства вычислений. Для каждого шага вы-

218

бранная величина выделена среди величин Ь^-~^ в крайнем правом столбце жирным шрифтом. Если эту величину не выделять, то она легко определяется

В соответствии с наибольшим значением величины ѵР дается единичное

приращение компоненте искомого вектора решения (&х2 = 1).

Далее уточняется остаток ресурсов [элементы ар вычитаются из соответст­ вующих элементов Ьр см. (5.29)], после этого задача сведена к исходной. Процесс

повторяется, пока не исчерпывается хотя бы один вид ресурса ( / ^ = 0 ) .

примечанию к п. 2° алг. 5.1 так, чтобы распределять ресурс возможно меньшими

В иных случаях ухудшения может и не быть. В последних строках таблицы за­ писаны полученные решения, которые в данном случае строго оптимальны (к пер­ вому варианту решения приводит также один из алгоритмов, реализующий метод отсечений Гомори [22]). Приведенное в нижней строке «дробное» решение убеж­ дает в бесполезности дальнейших попыток улучшения целочисленного решения.

Оптимизацию на каждом шаге процесса можно вести лишь по тем перемен­

Условие (5.125) гарантирует соблюдение ограничений, в силу чего уже для t = 7 первые две переменные исключены из процесса оптимизации, а на последнем (t = 8) шаге оптимизация возможна только по 3-й и 5-й переменным.

На основе рассмотренного примера можно заключить, что для вычислений достаточна весьма невысокая точность промежуточных расчетов. Это важно для ускорения решения.

Взаключение получим оценки для числа шагов. Согласно (5.39)

ипервой из двух формул (5.41) имеем:

Ь,\

dt = min — l = {4; 5; 3; 6; 7}, т. е.

1 < Г < т ар]

dmin=*3, dnaX= 7, Н = min {5, 6} = 5

Для верхней границы максимального числа шагов из (5.42) получим: dm«* = 0,5.(7 + 2 5 ) = 16.

Средний результат в данном случае не сильно отклоняется от полу­ ченного (d—8):

d = 0,5(dmoiC + dmin) = 0)5(16 + 3 )« 1 0 .

б) В табл. 39 представлены условия и решение другого примера, который отличается от первого только тем, что у некоторых случайно выбранных ко­ эффициентов ар изменен знак. Порядок вычислений соответствует алг. 5.1

снекоторыми несущественными изменениями.

*Каждый раз нормируются коэффициенты ар (рубрика для t = 0).

219