книги из ГПНТБ / Берзин Е.А. Оптимальное распределение ресурсов и элементы синтеза систем

Сведение задачи к постановке § 4.1(1) осуществляется по схеме, аналогичной схеме (4.91):

При этом следует иметь в виду, что в случае многозначности промежу­ точных функций 2 ; и уі необходимо вычислять значения gt для всех значений 2 ; и у% и из полученных значений gt выбирать максимальное,

если решается задача § 4.2(1), или минимальное для задачи § 4.1(1).

170

/

Поскольку сопряженно-минимальные элементы не равны (t»x = 0,914 ф Ф 0,138), то решение может быть улучшено. Их уравнивания требует условие (4.95). Улучшение производится путем дробления шага Аg; и увеличения компо-

ненты g1 (Ѵ] > ѵ2) на величину, равную половине шага

Чтобы не нарушилось условие (4.105), необходимо на столько же уменьшить компоненту g2.

В табл. 32 приведены текущие значения величин, получаемые в процессе улучшения решения. Оказалось достаточно трех итераций, чтобы получить оп­ тимальное решение. Хорошая сходимость процесса улучшения позволяет не

т. е. переменная gk уменьшается, а gr увеличивается на величину Аgk.

вом. Достаточным условием для такой замены, как отмечалось ранее, является наличие хотя бы одной неубывающей функции [<p2(g)]. Иск­

лючая одну из переменных, задачу сводим к обычной задаче математи­ ческого анализа.

В работе [20] рассмотренный пример решается методом аппрокси­ мации (см. [20], стр. 123).

* Имеется в виду, что функции ф* (g{) Еогнуты (заменены их выпуклыми

кверху оболочками).

171

§ 4.4. Задача синтеза оптимальной системы

при ограничении на ресурс и возможный состав

ееэлементов

1.Постановка задачи. В заключение главы рассмотрим задачу, решение которой в некоторой степени объединяет собой метод, из­ ложенный в данной главе, с материалом предыдущих глав. По своему смыслу и практической направленности рассматриваемая задача является типичным примером синтеза оптимальной системы.

Требуется определить матрицу Х0 = ЦлщЦ, доставляющую мак­ симум функции вида [см. (3.148)]:

Задача, по сути дела, является вариацией задачи § 1.3(1), или, что еще ближе, задачи § 2 . 1 (1 ), от которых она формально отличается

только видом ограничения (4.109).

По физическому содержанию задача может быть истолкована

брать состав средств из заданной совокупности т типов, не выходя за пределы ограничения по бюджету (4.109). Величина ад в этом слу­ чае рассматривается как стоимость одного образца /-го типа при сна­ ряжении его для воздействия по t-му объекту. Через величины aj и Xj будем обозначать соответственно полные затраты и общее коли­ чество задействованных средств /-го типа, вычисляя их по формулам:

172

Поскольку целевая функция не убывает, а ограничение линейно, то решение будет выполняться при знаке = в ограничении (4.109)

сточностью, определяемой дискретностью величин аjt.

2.Метод и алгоритм решения. Первым интуитивным движен ем, которое возникает на основе знаний материала гл. I, является попытка решить задачу методом МЭ, предварительно вычислив мат­ рицу I ид I!, где

Элемент Ѵц по своему смыслу означает прирост целевой функции на единицу затрат. Такой критерий нами уже неоднократно исполь­ зовался, однако в новых условиях применение его в неизменном виде обеспечивает лишь приближенное решение. Причину погрешности

сохраняется при любом конечном значении х21, т. е. Ь{. Следовательно, начиная с некоторого критического значения величины ресурса bt > >- bікР, становится выгоднее использовать по 1-му объекту средство первого типа (/ = 1). Формально условие целесообразности замены средства k-то типа средством /-го типа можно записать в виде:

Из примера видно, что увеличение ресурса Ь, отпускаемого на систему, или требование повышения ее эффективности неизбежно при­ водит к вытеснению менее эффективныхэлементов и замене их более эффективными, хотя и дорогими элементами. По мере развития сис­ темы ее элементы будут меняться не только количественно, но и ка­ чественно, если это качество не было определено и предусмотрено за­ ранее конечными требованиями к системе.

Аналогичные требования будут предъявляться и к синтезу на­ дежной системы, при этом условие (4.116) можно истолковать следую­ щим образом: резервирование малонадежных, но дешевых элементов

173

в системе целесообразно производить до определенного уровня, выше которого выгоднее повышать надежность элементов системы техноло­ гическим путем.

П р и м е ч а н и е . Анализ примера (вытеснение малоэффективных средств, элементов) позволяет предложить условия для предварительной оценки и от­ бора средств на основе принципа доминирования.

Средство типа k может быть исключено из рассмотрения для возможности его использования по г-му объекту, если

Средство типа k может быть вообще исключено из рассмотрения, если условия (4.117) для него выполняются при всех і.

Таким образом, если известны условия оптимальной замены средств,то может быть определена зависимость изменения оптимального состава средств и максимального уровня достигаемого эффекта от вели­ чины бюджета Ьі, выделяемого для организации воздействия по t-му объекту — фі(Ьі). При наличии таких функций исходная задача мо­ жет быть записана как задача максимизации функции

174

нйя для проверки всех элементов одного столбца в худшем случае (если не будет «отсеивания» элементов) составит величину

Если учесть, что подобная процедура проделывается и для мат­ рицы И(itjj |, а в каждой из них по п столбцов, то общее число опера­ ций оценится сверху величиной

При больших размерах матрицы такая проверка может стать бо­ лее обременительной, чем в случае ее игнорирования*, поэтому п. 2° алг. 4.4 может быть опущен. Достаточно очевидно, что отсеивание явно невыгодных элементов не сможет повлиять на точность решения задачи.

Второй этап (п. 3° алг. 4.4) расчленен на S циклов, в каждом из которых решается одна и та же промежуточная задача с размер­ ностью, в S раз меньшей, чем размерность исходной задачи. Какихлибо трудностей или неожиданностей на этом этапе ожидать, по-ви­ димому, не следует.

Третий этап (п. 4° алг. 4.4 — собственно метод ПП) подробно рассмотрен в § 4.1. Поскольку характер функций ф;(6 г) известен

(выпуклы кверху), то объем вычислений при составлении совмещенной

Условие (4.122) означает, что имеется только по одной единице средств каждого типа. При этом естественно предполагать, что общая стои­ мость всех средств при самом дорогом варианте использования боль­ ше выделенного ресурса Ь:

/= 1 ‘ £ 's

Впротивном случае ограничение по ресурсу (4.109) становится несущественным, и задача вырождается в задачу § 2 . 1 (1 ).

££■ Однако если условие (4.123) и соблюдено, то все же при ограни­ чении (4.122) придется отойти от алг. 4.4., так как кривые срг(&г) в си­ лу жесткой ограниченности количества средств каждого типа не

могут быть определены заранее. В этом случае более удобным ока­

* Подробнее о подходе к оценке целесообразности проверки на доминиро­ вание см. в приложении III.

175

Процесс оптимизации должен прекращаться после израсходования ресурса Ь. Подход, примененный к решению задачи § 4.4(1), может быть распространен и на многие другие задачи, рассмотренные в предыду­ щих главах. Подобные обобщения в случае необходимости читатель сможет проделать самостоятельно. Некоторые детали решения рассмот­ рим на числовом примере.

по стоимости b ед. (b пока не фиксировано), чтобы при оптимальном их распре­

176

оптимальных решений, поскольку две единицы средства третьего типа обеспечи-

5 0

вают величину ш = 1 — е§2, ббльшую чем одно средство / = 2 (і = 2), при рав­ ных затратах. Это позволяет обобщить условия доминирования (4.117), приме­ няя их к комбинациям средств. Однако это и увеличивает объем счета на первом этапе, что будет оправданным, если увеличение счета компенсируется со­ кращением вычислений на втором этапе.

9

Точные уіешения

200

Приближенные

решения

100

Из табл. 33 видно, что по мере увеличения ресурса изменяется и качест­ венный состав средств (см. третий столбец — {/}).

Решение третьего этапа представлено табл. 34* (точное решение) и 35 (при­ ближенное решение). В соответствии с этими таблицами на рис. 16 построены кривые решений (зависимости максимальных значений целевой функции от общего ресурса 6).

* Табл. 34 содержит элементы совмещенной матрицы, полученной на осно­ вании табл. 33, например, с21 = (80—50): (40—20)= 1,5 = Дф2і-Д62і.

То же относится к табл. 35.

177

Выделенным в табл. 33 вариантам соответствуют следующие решения для

ЪX 136 ед.:

Распределение и состав средств представлены матрицами (см. также табл. 33 — жирный шрифт):

Из рис. 16 видно, что максимальные расхождения между точным и при­ ближенным решениями для условий данной задачи невелики и практически не превышают 8—9%. Однако при определении минимальных затрат для обес­ печения требуемого значения целевой функции (обратная задача) относительная погрешность существенно увеличивается. Так, например, для фзад = 204 ед.

178