книги из ГПНТБ / Берзин Е.А. Оптимальное распределение ресурсов и элементы синтеза систем

В отношении возможности дальнейших обобщений путем введения раз­ личного рода дополнительных ограничений на переменные остаются справедли­ выми замечания, высказанные в §3.1(3).

По сравнению со случаем § 3.2(3) объем вычислений увеличится примерно в S раз (за счет усложнения формулы весовых коэффициентов) и будет характери­ зоваться следующими оценками числа элементарных операций:

сложений ж S2N2M2,

умножений ж S2N2M2, сравнений ж NM2.

§ 3.4. Оптимизация системы с обобщенной

двухиндексной целевой функцией аддитивно-мультипликативного вида при наличии

связей между элементами системы

1.Постановка задачи. Запишем формальную постановку задачи.

120

но тому, как величины ajt характеризуют связи между 5 элементами системы (объектами).

Поскольку задача, по существу, является объединяющим итогом всего предыдущего материала*, в заключение дадим ее обобщенную физическую трактовку.

Имеется система, состоящая из 5 элементов. Составляющие ее элементы имеют веса А t ^ 0 и взаимосвязаны между собой, что коли­ чественно отражается матрицей коэффициентов связи Ца^Щз.

Каждый элемент системы испытывает внешнее воздействие со стороны N целей. Эффект воздействия р-й цели (р = 1, ..., Л') по /-му элемен­ ту системы количественно определяется матрицей || toц/1| jvs.

Действия целей на элементы системы независимы, так что суммар­ ное воздействие, например, двух целей на /-й элемент системы будет равно величине 1 — ( 1 — ®ю) ( 1 — «щ).

Цели взаимосвязаны между собой так, что состояние любой из них зависит от состояния остальных. Эта зависимость задается матри­ цей коэффициентов связи ЩпиЦлглг-

Имеется М единиц ресурса (средств), которые необходимо так распределить для воздействия по N целям (найти матрицу ||y“ri| atw), чтобы в максимальной степени (с учетом связей между элементами системы и связей между целями) уменьшить отрицательное влияние общего воздействия целей на элементы системы. Степень снижения влияния трй цели на систему при назначении для ее обстрела r-то сред­ ства задается матрицей Ц^ЛлшСуммарный (главный) показатель (критерий) качества функционирования системы определяется функ­

ся прежними, однако при формировании алгоритма для новых усло­

удовлетворяя всем прежним условиям, соответствующим образом учи­ тывала и новый фактор. В результате анализа задачи оказалось воз­

можным влияние нового фактора учесть через замену величины Ь(£}

* В зависимости от тех или иных условий [см., например, (3.123), (3.117), /ij = 1 и др.[ задача вырождается в любую из рассмотренных ранее задач, за исключением трехиндексных.

121

в формуле (3.110) выражением (3.122) и приращения (3.101) прираще­ нием, вычисляемым по формуле (см. (2 .8 8 )):

Формула весовых коэффициентов после указанной замены в фор­ муле (3.110) примет следующий вид:

122

4°. Пересчитать текущие значения величин по формулам:

прекратить вычисления.

В заключение может быть предпринята попытка улучшить реше­ ние путем проверки М (N — 1) дополнительных вариантов, возникаю­ щих за счет поочередного переназначения каждого из средств.

3. Оценка эффективности алгоритма. Чтобы выяснить влияние нового фактора на точность решения, оценим величину погрешности для двух предельных случаев:

Уже отмечалось, что формула для весовых коэффициентов в пер­ вом случае сводится к виду (3.110). В свою очередь, выражение для приращения (3.124) вырождается в формулу (3.101). Это было показано в § 2.2(3). Следовательно, алг. 3.4 и 3.3а совпадут.

Во втором случае для (3.122) будем иметь:

На основании этого для целевой функции (3.118) имеет место экви­ валентность соотношений (стр. 85):

что определяет точный алгоритм для данного случая: назначение каж­ дого средства в соответствии с максимальным элементом рГТ) матрицы ІІРгпІ (или минимальным элементом матрицы ІдУчІІлш).

123

К такому же решению приведет и алг. 3.4, причем в этом предель­ ном случае значения весовых коэффициентов не оказывают никакого влияния на решение. Это было показано в § 2.2(3).

Таким образом, после введения фактора, учитываемого величи­ нами ß,,^, точность алг. 3.4 будет, по крайней мере, не ниже, чем у лю­ бого из предыдущих алгоритмов, рассмотренных в данной главе*.

Объем вычислений характеризуют следующие оценочные величи­ ны числа элементарных операций:

Некоторого уменьшения объема вычислений (примерно в N раз)

можно добиться за счет перехода от алг. \ 0 к алг. у+. При этом поря­ док расчетов изменится лишь в той части, что при вычислении элемен­ тов матрицы I А*} I необходимо будет использовать формулу (3.124) без ее второго отрицательного члена. Большой потери точности при этом ожидать не следует.

§ 3.5. Некоторые нерешенные целочисленные

задачи в игровой постановке

1. Игровая постановка задачи § 3.1(1). Анализируя ранее рассмо­ тренные задачи, можно заметить, что если, определяя матрицу ||б;-г||, мы максимизировали целевую функцию F (б) (см. § 2.1), то ее миними­ зацию осуществляли нахождением соответствующей матрицы ||уГц| (см. § 3.1). Можно также заметить, что с ростом величин N и <д7-г зна­ чение функции F (б) все более увеличивается и стремится к пределу, равному 2 А, но с увеличением величин М и рГ11 (см. (3.1) ) значение

І

целевой функции все более приближается к нулю.

Таким образом, мы имеем две противоположные тенденции изме­ нения целевой функции F (б, у) в зависимости от параметров б и у, что говорит о наличии конфликтной ситуации и целесообразности пои­ ска гарантированного решения.

Условимся считать, что существуют две соревнующиеся сторо­ ны — А и Б. Сторона А управляет параметром (матрицей) у и заинте­ ресована в минимизации функции F (б, у), а сторона Б управляет параметром б и максимизирует значение целевой функции F (б, у).

Итак, наметилось основное отличие новой постановки задачи от

и Уо = у (б). На формальной постановке задачи это отразится следую­ щим образом.

* Данный алгоритм в силу своей общности пригоден и для решения задач гл. 1 и 2, однако использовать его там явно невыгодно, так как частные алгоритмы экономнее, а в иных случаях и точнее.

124

объектам при любом варианте удара стороны Б (матрица б). Требует­ ся найти такой вариант действий стороны Б (у0), чтобы ущерб был ма­ ксимален.

Если матрица б фиксирована и не зависит от у, то будем иметь-

§2. 1( 1).

2.Игровая постановка задачи § 2.5 (1). По аналогии с 3.5(1) за­

при ограничениях на переменные

тN

действии по t'-му объекту.

125

зическую интерпретацию данной задачи. Задача существенно услож­ нится, если величины qrj поставить в зависимость от индекса k (qrih).

3. Игровая постановка задачи § 3.3(1). Требуется найти матриц б0 и у0, доставляющие значение max min функции F (б, у):

бу

щими задачами запишем формальную постановку и данной задачи. Требуется определить матрицы б0 и у0, доставляющие значение

max min функции F (б, у):

бY

126

Г л а в а ч е т в е р т а я

МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИРАЩЕНИЙ

(МЕТОД ВЫПУКЛЫХ ОБОЛОЧЕК)

Максимизация достаточно хорошо ведущей себя функции представляется сравнительно простой зада­ чей...

Однако здесь приходится считаться с некоторыми осложняющими дело обстоятельствами. Прежде всего, эффективное аналитическое решение систем, состоящих из большого числа даже простых уравнений (например, линейных), является весьма нелегким де­ лом. Омрачая наши перспективы еще более, напомним, что численное решение даже таких систем обычно на­ талкивается на целый ряд трудностей — как техниче­ ских, так и принципиальных. Следовательно, когда число переменных велико, определение этого максиму­ ма отнюдь не является шаблонным.

Все это дает нам право говорить о «проклятии многомерности». И хотя это проклятие много лет тяготело над головами физиков и астрономов, все же не следует терять надежду на получение вопреки ему важных результатов.

Р. Веллман

Однако и получение таких результатов не снимает проблему мно­ гомерности. Это и понятно, если она возникает, то всегда является препятствием при получении этих результатов. Особо важное зна­ чение проблема многомерности приобретает тогда, когда приходится иметь дело с оптимизацией систем, состоящих из большого числа эле­ ментов, а потери, связанные с неоптимальностью построения или функ­ ционирования системы, могут быть очень велики. В качестве примера можно привести систему народного хозяйства страны или даже отдель­ ных ее отраслей. Никакая сколь-либо разумная степень централиза­ ции управления такой системой с применением экономико-математи­ ческих методов не может не столкнуться с проблемой многомерности. Борьба за размерность — это одна из задач, которая ставится в данной главе.

Другая задача будет состоять в обобщении вида целевой и ограни­ чивающей функций при сохранении, однако, условия аддитивности. Необходимость такого обобщения на практике определяется сложно­ стью реальных процессов, протекающих в системах, в связи с чем кри­ териальные и ограничивающие функции также могут иметь довольно произвольный вид.

* В гл. 4 нам будет удобнее обозначать вектор в виде X в отличие от

X = (xj}n, как это делалось раньше. Теперь X — сумма компонент вектора X •

128

§4.1, Максимизация аддитивной целевой функции произвольного вида при линейном ограничении на переменные и метод ПП

при условии их целочисленности и неотрицательности:

венства (4.2) равенством. (Это условие не является необходимым.) Каждая из слагаемых функций Ft (xt) является однозначной функ­

цией своего аргумента хг. В случае многозначности берется ее наиболь­ шее значение, что соответствует требованию максимизации. В отноше­ нии функций Fi (Хі) будем предполагать, что они проходят через на­

В дальнейшем (§ 4.2) от условия (4.5) откажемся.

Условие (4.4) не сужает общности задачи, что видно из следующих эквивалентных преобразований:

К рассмотренной формальной схеме могут сводиться многие задачи, встречающиеся на практике и связанные с оптимальным, в не­ котором смысле, распределением ограниченного количества однородно­ го ресурса между различными возможными областями его исполь­ зования. Такие задачи могут встречаться как в технико-экономической (распределение сырья между различными предприятиями; оптималь­ ное обеспечение запасов; вопросы надежности средств и др.), так и в военной областях (целесообразное применение боевых и обеспечи­ вающих средств, их размещение ит. д.). Не будем останавливаться на возможных сферах приложения данной задачи и на ее возможных