книги из ГПНТБ / Берзин Е.А. Оптимальное распределение ресурсов и элементы синтеза систем

Следует обратить внимание на то, что нарушение функциональ­ ных связей в рассматриваемой схеме учитывается только между элементом, подвергшимся внешнему воздействию SPj, и остальными элементами. Здесь не учитываются более глубокие, ветвящиеся связи, которые могли бы характеризоваться цепями Маркова [44].

Из всей цепи

Попытка непосредственно учесть всю глубину связей и даже толь­ ко связей второго порядка непомерно усложняет целевую функцию и тем более метод оптимизации. В то же время ряд практических задач может уложиться в рассмотренную формальную схему или быть сведен к ней. Одним из способов такого сведения может, повидимому, быть учет всей глубины связей через коэффициенты связи первого порядка путем моделирования системы [24].

Такой подход может позволить сравнительно просто получить, если не оптимальное, то по крайней мере одно из возможных решений по распределению ресурса, обеспечивающее целесообразное соотно­ шение характеристик элементов системы.

Это решение наряду с решениями, полученными другими метода­ ми, подлежит анализу и уточнению в ходе дальнейшего синтеза системы.

2. Метод оптимизации и алгоритм решения. Для оптимизаци критерия F (б) примёним метод двух функций. Получим выражения для функций Ff, Ff и их приращений для ^-го шага процесса, если k-e средство назначается по 1-й цели*.

Пусть к моменту ^-го шага уже распределено t — 1 единиц ре­

Используется интерпретация задачи, данная на стр. 59.

61

Неотрицательное приращение функции выигрыша будет равно

Сравнивая средние части равенств (2.82) и (2.79), можно получить рекуррентную формулу для вычисления значений А\1\ которые не­ обходимы для формирования алгоритма:

распределения /-го средства будет включать действие уже распределен­

62

Для функции F t в соответствии с (2.6) и на основе (2.63) по­ лучим*:

Ha основе формул (2.84) и (2.86) можно получить выражение для неположительного приращения функции потерь при 6hi= 1:

Поскольку положительный первый член в формуле (2.87) не зависит от индексов k и /, то он может быть опущен. Если учесть (2.72) и (2.82), то после некоторых преобразований получим оконча­

тельное выражение для максимизируемого элемента Л*/* ~ Д ы —

= А*/ — Аkü

А{0) = Аі,

* Здесь и далее опускаются хотя и громоздкие, но элементарные промежу­ точные выкладки.

63

чч 1

5°. Вычислить текущее значение функции F^~;

прекратить вычисления.

3. Оценка эффективности алгоритма. Для оценки среднеста­ тистической погрешности рассмотрим вначале два предельных по сте­ пени зависимости между элементами системы случая:

Первый случай (независимые элементы) целиком сводится к слу­ чаю, рассмотренному в § 2.1, и дает, как было показано, статистичес­ кую погрешность не более 3%. Для второго случая (максимально за­ висимые элементы) алг. 2.2 обеспечивает оптимальное решение. Пока­ жем справедливость обоих утверждений.

1) Н е з а в и с и м ы е э л е м е н т ы . Совпадение решений, по­ лучаемых с помощью алг. 2.1 и 2.2, при условиях (2.93) гарантирует-

* См. сноску на стр. 48.

64

Покажем, что алг. 2.2 обеспечивает такое же решение, как и опти­ мальный алгоритм, основанный на требовании (2.100).

Из формулы (2.88) при условии (2.94) получаем:

из средств по тому элементу (/*), на котором обеспечивается достиже­ ние максимума эффекта, а в целом обеспечивается также формирова­ ние оптимальной матрицы назначений 8 0. Порядок распределения средств может,отличаться от того, который дан условием (2.101).

Выясним теперь, как зависит погрешность алг. б+, возникающая при решении задачи § 2.2 (1) от значений исходных величин (в том числе и коэффициентов связи а^). Это необходимо для того, чтобы показать монотонный характер изменения погрешности между двумя рассмотренными предельными случаями. Тогда оценка погреш­ ности определится одним из этих случаев. По аналогии с § 1.3 (3) рассмотрим задачу 2 x 2 , заданную матрицами

где для данных условий задачи в соответствии с формулой (2.82) имеем:

66

Теперь задача определения максимальной относительной по­ грешности ß формально будет состоять в максимизации функции

(2.110)

при условиях (2.107), которые соответственно примут вид:

А і(Оц + Л 2соиа 12 > А хю21 + А 2(о21а 12,

Следует отметить, что хотя неравенства (2.111) строгие (это гаранти­ рует однозначность решения), для оценки максимальной погрешности, переходя к пределу, можно заменить их равенствами (см. § 1.3 (3))*, ко­ торые после элементарных преобразований соответственно примут вид;

Производя подстановку, приводим формулу (2.110) к окончатель­ ному виду:

Впрочем этот результат не нов. Мы его предвидели при анализе случая (2.94). Именно поэтому ß = 0 является необходимым усло­ вием, которому должно удовлетворять выражение (2.113), если в ло­ гике его вывода и в преобразованиях не было допущено ошибки. Вы­

* В § 1.3 (3) стр. 30 мы вводили малые величины а > 0 и переходили к ра­ венствам.

деляя в знаменателе второго члена выражения (2.113) целую относи­

погрешность монотонно уменьшается при любых значениях осталь­ ных параметров.

Учитывая, что среднестатистическая погрешность является сум­ мой монотонно уменьшающихся от ан погрешностей, взятых с раз­ ными весами (вероятностями), мы приходим к выводу о том, что и среднестатистическая погрешность монотонно убывает по мере уве­ личения связей между элементами.

В силу аналогии структур алг. 6+ и 6 0 полученный вывод рас­ пространяется и на алг. 2.2.

Монотонный характер изменения погрешностей в зависимости от коэффициентов связи ап позволяет для оценок точности алг. 2.2 ограничиться худшим из двух рассмотренных предельных случаев

(2.93) и (2.94).

Согласно случаю (2.93) максимально возможная и среднестати­ стическая погрешности оцениваются сверху величинами 25 и 3%.

Для реализации алг. 2.2 требуется следующий оценочный объем элементарных операций:

По сравнению с предыдущей задачей требуемый объем вычисле­ ний увеличился. Это объясняется, прежде всего, усложнением задачи и увеличением объема исходной информации на S2 дополнительных величин. Однако для получения решения путем прямого перебора вариантов объем вычислений характеризуется оценкой S2NS.

Небольшого снижения объема вычислений можно достичь за счет некоторого ухудшения точности решения путем перехода к алг.

68

Использование обоих алгоритмов (б0 и 6+) дает надежную гаран­ тию в получении точного решения при любых сочетаниях исходных параметров.

4. Некоторые обобщения и частные случаи. Все обобщения и ча­ стные случаи, которые были описаны в разделе § 2.1(4), могут быть распространены и на эту задачу, так как то новое, что отличает ее от предыдущей задачи (зависимость элементов), ведет лишь к уменьше­ нию возможных погрешностей и тем в большей степени, чем сильнее связи между элементами рассматриваемой системы. Адресуясь к §2 Л (4), не будем останавливаться на возможных обобщениях задачи, но рассмотрим один ее частный случай, который может представлять интерес для решения некоторых практических задач.

Реальные системы часто могут иметь один основной элемент,

вто время как все другие выполняют лишь вспомогательную, обеспе­ чивающую роль. Рассматривая некоторую кибернетическую систему,

вкачестве такого элемента можно было бы назвать исполнительное звено (часть звена) и приписать ему значимость, отличную от нуля (As = 1), в то время как значимость информационного и управляю­ щего звеньев (их составных частей) формально приравнять нулю.

Тогда исходная задача выродится в задачу минимизации функции

F (б) = 1 — F (б):

при тех же исходных ограничениях и условиях (2.64) и (2.65). Матрицу связей lo /ils s при этом можно свести к вектору-столбцу [| ajs [| s.

Алгоритм решения несколько упрощается и уменьшается объем вычислений (за счет сокращения числа операций при вычислении суммарного приращения). На основании (2.88) будем иметь:

(2.118)*

Объем вычислений можно несколько сократить еще и за счет

того, что произведение П (в числителе), как видно из (2.118), не зависит

/

69