книги из ГПНТБ / Берзин Е.А. Оптимальное распределение ресурсов и элементы синтеза систем

П р и м е р 2*. Пусть имеется система из пяти элементов, соединенных последовательно. Вероятности отказов qj и стоимости Gj элементов даны в табл. 9. Требуется зарезервировать систему так, чтобы ее суммарная стоимость не превысила 60 ед., а вероятность исправной работы (надежность) была бы максимальной.

формула (1.112)—аналог для (1.7), как и табл. 10—аналог табл. 2.

Пример взят из работы [40, стр. 125].

40

Г л а в а в т о р а я

МЕТОД ДВУХ ФУНКЦИЙ И ЭЛЕМЕНТЫ СИНТЕЗА

СИСТЕМЫ

Да и нет. Математик подобно натуралисту, про­ веряя некоторые следствия предполагаемого общего закона с помощью нового наблюдения, обращается с вопросом к Природе: «Я подозреваю, что этот закон верен. Верен ли он? Если следствие ясно опровергает­ ся, то закон не может быть верен. Если следствие ясно подтверждается, то имеется некоторое указание, что закон может быть верен. Природа может ответить «да» или «нет»; но она шепчет один ответ и громоглас­ но произносит другой; ее «да» условно, ее «нет» опре­ деленно.

Д. Пойа

Приступая к решению новой группы задач, следует прежде всего отметить, что здесь мы лишаемся метода МЭ как метода точного. Практически лишены мы будем и некоторых приемов формальных обоснований оптимальности того или иного алгоритма. Однако остает­ ся еще довольно сильное средство для оценки алгоритмов — теоре­ тическая оценка точности. Проведенные оценки основаны на вероят­ ностном подходе и в значительной мере могут заменить статисти­ ческий эксперимент. Помимо таких оценок, в арсенале наших средств еще остаются предельные и частные оценки, аналогии и любые другие логические приемы, к которым придется обращаться в более сложных ситуациях. Однако никогда не забывая об условности «да», в ходе проверок будем всегда стремиться найти такие условия, при которых вероятность услышать «нет» наибольшая. Если все-таки этого не происходит, то такой проверке можно доверять с большим осно­ ванием.

Переходя к изложению метода ДФ, рассмотрим его на примере, являющемся предельным случаем задачи § 1.3 (1) [см. (1.70)]. Будем использовать физическую интерпретацию, данную в § 1.1 (I), уточняя ее по мере необходимости.

§ 2.1. Простейшая нелинейная задача оптимального распределения неоднородного ресурса между

независимыми элементами системы и метод ДФ

1.Постановка задачи. Формальную постановку задачи запиш

в следующем виде. Требуется найти оптимальную матрицу 60 = 1 Ijvs, доставляющую максимум функции

2. 1)

42

возможных практических задач, сводимых к данной схеме, они до­ вольно подробно описаны в ряде работ (см. [3, 42] и др.). Отметим лишь ту основную особенность, которая отличает физическую по­ становку данной задачи от задачи, рассмотренной в § 1.1 (1), и которая существенно влияет на решение.

Если в первой задаче все средства однородны (взаимозаменяемы) и для их задания достаточно указать общее количество и единый для

за і-й целью, то в данной задаче вопрос о назначении должен быть решен в отношении каждого средства. Для этого каждому средству

öji = 1 (èji=0—в противном случае). Ответ, получаемый в вид&матрицы назначений || || NS, содержит в себе указания о закреплении каждого средства.

Обладая хорошей наглядностью, такая запись решения может оказаться несколько громоздкой, поэтому иногда будем записывать решение и в виде цепочки N пар индексов (kf, U)n подобно тому, как это делали ранее [см. (1.52)]. Запись решения в виде цепочки назначений удобна и тем, что в ней может быть указана последова­ тельность распределения средств. Впрочем, последовательность рас­

распределения средств.

Таким образом, в данной задаче ставится вопрос оптимального в смысле выбранного критерия (2.1) распределения неделимых, неод­ нородных единиц ресурса между S независимыми элементами неко­ торой системы. Независимость элементов системы состоит в том, что состояние ее і-го элемента никак не отражается на состоянии любого из остальных элементов.

2.Метод двух функций и алгоритм решения задачи. Выясни

43

Рассмотрим пример (1.71) в численном виде:*

Действительно, согласно методу МЭ первое средство следует наз­ начить для воздействия по первой цели, так как приращение Д*г функции Ff в этом случае будет максимальным:

Однако, как видно из примера (2.4), решение не оптимально, при этом погрешность может составлять 50%. Причиной является тот факт, что не была учтена уникальность каждого конкретного средства, вытекающая из их разноэффективности. Закрепляя данное средство за некоторой целью, мы теряем возможность в дальнейшем исполь­ зовать это средство по любой из других целей, поскольку алгоритм

не предусматривает последующего перераспределения средств. Сум­ марные потери, возникающие при этом, складываются из потерь на отдельных целях. На той цели (1-й цели), на которую решено назна­ чить k-e средство, потери отсутствуют, поскольку рассматриваемое средство не лишается возможности воздействовать по ней. Потери возникают за счет остальных целей (і = 1, ..., S, іфі) и в данном Случае — за счет второй. Величина этой потери равна 90 ед. и вы­ числяется как разность между ущербом, который мог бы быть нане­ сен 2-й цели всеми незадействованными средствами, и ущербом, на­ носимым ей теми же средствами, кроме I-го, так как это средство на­ значено на k-ю цель.

Причина погрешности метода МЭ ясна, остается только форма­ лизовать учет потерь, для чего наряду с функцией выигрыша Ft вве­ дем понятие функции потерь*** Ff. Обе функции получаются из функ­ ц и и )^ . 1) для соответствующих матриц назначений 16« || и || 6*} ||:

44

Две левые матрицы соответствуют значениям функции выигрыша, которые она принимает до назначения k-го средства для воздействия по 1-й цели и после его назначения. Функция Ff неубывающая и по ана­ логии с (1.11) имеет неотрицательное приращение А*}:

Две правые матрицы при подстановке их элементов в формулу (2.1) обеспечивают получение значений Ft—і и Ff функции потерь. Функция потерь по мере распределения средств не возрастает. Ее неположительное приращение —Aft может быть найдено по фор­ муле:

Найдем аналитические выражения указанных значений функции потерь. Положим, что к t-му шагу процесса распределения каждая

из целей уже поражается с вероятностью Зь?~1) = 1 — Подставляя соответствующую матрицу (2.6) в (2.1), получим:

после подстановки и элементарных преобразований получим:

Теперь можно записать окончательное выражение для неполо­ жительного приращения функции потерь, получаемого ею на t-м шаге процесса за счет пробного назначения k-ro средства по 1-й цели*:

* Напомним, что пробные назначения используются для вычисления эле­ ментов Ам на t-м шаге процесса. От реального назначения на t-м шаге мы будем отличать их по индексам k; I — для первого случая и kt; It — для второго.

45

Формула (2.13) получена путем подстановки (2.9) и (2.12) в фор­

Формула (2.13) позволяет количественно учесть требование, предъ­ являемое к оптимальному процессу распределения средств — требо­ вание учета неоднородности средств.

Теперь будет естественным потребовать от процесса оптимизации обеспечения такого порядка распределения средств, чтобы на каждом его шаге гарантировался наибольший прирост Л*і функции выигрыша при возможно меньших потерях Л*}.

Эти требования к процессу могут быть противоречивы, поэтому для их количественного учета необходимо пойти на компромисс. В качестве такого компромиссного решения выберем процесс после­ довательного распределения средств из условия максимизации на каждом его шаге алгебраической суммы приращений функции выигры­ ша и функции потерь:

П р и м е ч а н и е . Если есть основание отдать предпочтение той или иной из двух указанных функций, то их приращения могут быть взяты с разными ко­ эффициентами.

С учетом (2.7) и (2.13) теперь можно записать в окончательном виде выражение (2.16) для суммарного приращения:

количеству средств (2.2). От шага к шагу количество средств для

46

свести исходную задачу распределения разнородных средств путем почти эквивалентных (квазиэквивалентных) преобразований (реше­

ние не всегда оптимально) к задаче распределения, решаемую тем же методом, что и задача распределения однородных средств — мето­ дом максимального элемента.

На основании сказанного выше можно сформулировать алгоритм решения задачи.

Алгоритм 2.1 (алг. 60).

1°. Вычислить элементы текущей матрицы || А * /! WS по формуле

/= 1

—множество номеров средств, неиспользованных к t-му шагу процесса.

47

Алг. б о, как следует из предыдущего, учитывает два логически целесообразных для оптимального процесса условия. Покажем, что этого достаточно для обеспечения его высокой точности во всей обла­ сти изменения значений величин АІУ <a7i, N и S.

Логично предположить, что максимальной погрешности от алг.

б0 следует ожидать в случае его использования для распределения однородных средств. Как известно из предыдущего (см. § 1.1 (1)),для

этих условий алгоритм б+ (т. е. алг. 1.1) обеспечивает точное реше­ ние, поэтому учет приращения —Аіі играет только отрицательную роль.

Матрица ||Айг||дг5 при однородных средствах вырождается в век­ тор-строку {Aj}s с компонентами

Поскольку третий член в правой части равенства не зависит от I, то он не повлияет на порядок распределения средств и может быть опущен. Тогда индекс цели lt, на которую следует назначить еди­

48

ничное средство на t-м шаге процесса, как следует из алг. б 0, опреде­ лится согласно условию

В то же время заведомо известно, что один из оптимальных алгорит­

Если на каждом шаге процесса будем иметь совпадение назна­

будем именовать сбоями. Наличие сбоев обусловливает погрешность

алг. б о, однако заметим, что наличие сбоев еще не является достаточ­ ным условием появления погрешности, так как существует N1 спо­ собов последовательного формирования оптимальной матрицы назна­ чений б 0, различающихся между собой только последовательностью распределения средств.

Заведомо завышая оценку погрешности, не будем учитывать возможность компенсации погрешностей, допускаемых на предыдущих шагах. Будем считать, что при каждом сбое суммарная погрешность только увеличивается.

Определим оценку для вероятности сбоя на произвольном шаге процесса.

Область изменения значений Лг, сог и N, при которых происходят сбои, определяется теми условиями, что алгоритм б+ требует назна­

* Далее субиндекс t опускается.

49