книги из ГПНТБ / Берзин Е.А. Оптимальное распределение ресурсов и элементы синтеза систем

дать достаточно высокой точностью, так как между задачами суще­ ствует определенная аналогия.

Рассмотрим частный случай, который подтверждает аналогию и может дать представление о возможной погрешности. Этот случай со­

может поражать только і-й объект (точки прицеливания и объекты совмещены, а объекты находятся далеко друг от друга). По физичес­ кой постановке задача совпадает с задачей § 2.1(1) и остается прове­ рить, совпадут ли их алгоритмы. Для этого достаточно убедиться, что совпадут формальные выражения для приращений Ай и —А*).

То, что выражения для Ай совпадают, следует непосредственно из сравнения (2.188) и (2.7) при условии (2.200). Убедимся, что совпа­ дают и приращения — Айі.

тот факт, что и для условий данной задачи сохраняется ранее уста­

новленная тенденция к слиянию алг. 80 и 8+ по мере увеличения раз­ мерности задачи. Такой вывод можно сделать на основе анализа фор­

Требуемый для счета по алг. 2.5 объем вычислений характе­ ризуется следующими оценками количества элементарных операций:

умножений да SLN2,

сложений да SLN2,

сравнений да LN2.

* При і = I имеем (0 ;ъі = Шь/ и выражение в скобках обращается в нуль

(при іф і Bihi—1)> см. (2.200)).

90

Задача § 2.5(1) и алгоритм решения имеют много общего с неко­ торыми из предыдущих рассмотренных задач, что дает нам основание просить читателя обратиться к §2.1(4), где изложены возможные ва­ риации задачи и соответствующие им изменения в алгоритме, которые приемлемы, на наш взгляд, и для данной задачи.

Рассмотрим пример, исходные условия для которого заданы че­ тырьмя матрицами. Эти матрицы, по сути дела, являются одной из форм представления объемной матрицы ||e,-VJ- Цз/ѵП

Не будем приводить вычислительную схему, поскольку она до­ статочна проста и близка к тем, которые показаны в предыдущих за­ дачах, но остановимся на анализе полученного решения.

Ниже записано решение (матрица 1) и последовательность рас­ пределения средств, полученные в соответствии с алг. 2.5. Матрица 2 отображает оптимальное решение, а матрица 3 дает представление об одном из возможных худших вариантов решения. Соответствующие

Полученное решение отличается от оптимального примерно на 2,4%, причем других распределений, более близких к оптимальному,

нет. Интересно отметить, что и алг. 6+ дает в данном примере ту же

последовательность назначений, что и алг. 60.

Полученная погрешность в данном примере близка к своему мак­ симальному значению. Это следует из анализа матрицы |)Aw||wl д л я

первого шага процесса:

Из матрицы видно, что А33 = 48,2 и лишь немного меньше элемен­ та Д21 = 51,0. Незначительное уменьшение параметра е121 = 0,4 или увеличение параметра е133 = 0,2 [см. (2.205) и (2.203), жирный шрифт] приведет еще к некоторому увеличению погрешности и затем к нару­ шению условия

91

Г л а в а т р е т ь я

МЕТОД ВЕСОВЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

И я больше всего дорожу Аналогиями, моими са­ мыми верными учителями, Они знают все секреты Природы и ими меньше всего следует пренебрегать в Геометрии.

Кеплер

По-видимому (а может быть, — тем более), не следует пренебре­ гать аналогиями и в современной математике. Аналогиями мы окру­ жены в повседневной жизни и часто пользуемся ими, даже не замечая этого. Однако при решении трудных задач нужно искать аналогии. Удачно найденная аналогия может явиться ключом к решению про­ блемы.

Решения задач § 3.2, 3.3, 3.4 получены на основе формальной ана­ логии с задачей §3.1(1). Проведенные оценки лишь подтверждают, что точность решения по сравнению с § 3.1(3) по крайней мере не ухуд­ шилась.

§ 3.1. Оптимизация системы с нелинейной

двухиндексной целевой функцией аддитивно-мультипликативного вида

при независимых элементах системы и метод ВК

t'= l, ..., S.

93

В соответствии с принятыми обозначениями будем иметь в виду,

что

\\Ргі\\лш задана).

Полагая, что вероятности <а^ известны, а также известно, какой объект атакует каждая цель, необходимо так распределить средства, для воздействия по целям (найти матрицу назначений у0). чтобы об­ щий ущерб объектам, выражаемый формулой (3.1), был минимален*. При S = 1 задача вырождается в задачу § 2.3(1). Рис. 4 поясняет при­ веденные обозначения.

Другая интерпретация может состоять в оптимизации надежной системы, состоящей из 5 подсистем. В этом случае под величиной Аі следует понимать условную вероятность выхода из строя всей системы, если прекращает функционировать ее і-я подсистема.

Оптимизация надежности состоит в оптимальном резервировании элементов подсистем.

Основное отличие данной задачи от задачи надежности, рассмот­ ренной в § 2.3(1), состоит в том, что здесь не учитывается в явном виде влияние структурной схемы системы на ее надежность. Такое влияние может учитываться через условные вероятности Аі? получаемые на ос­ нове моделирования системы. Меньшая степень зависимости матема­ тической формулировки данной задачи от структурной схемы оптими­

* По смыслу задана строго противоположна задаче §2.1(1), где ущерб максимизируется путем оптимального распределения атакующих средств.

94

зируемой системы говорит о большей ее общности и пригодности для синтеза надежных систем со структурой более общего вида.

2.Метод весовых коэффициентов и алгоритм решения задачи

Существенное отличие функции (3.1) от ранее рассмотренных состоит в том, что она является выпукло-вогнутой. Непосредственное примене­ ние изложенных выше методов для ее оптимизации невозможно хо­ тя бы уже потому, что функция не может быть так просто (логарифми­ рованием) сведена к аддитивной, что позволило бы применить для ее

Рис. 4.

При этом мы будем использовать первую содержательную поста­ новку задачи, приведенную в § 3.1(1). За основу преобразования возь­ мем соотношение (2.149), которое процесс максимизации произведения функций позволяет заменить максимизацией суммы функций [(см. (2.149)]. Опираясь на физическое содержание задачи, можно сказать, что процесс минимизации ущерба объектам заменяется процессом мак­ симизации числа сбитых целей, атакующих эти объекты, с учетом важ­ ностей (весов) этих целей. Подставим (2.149) в (3.1):

тельную важность /-й цели в составе группы пі, то коэффициент В% определяет относительный вес всей группы целей в.составе остальных группы (см. рис. 4).

С учетом (3.4)и (3.5)выражение (3.8) приводится к окончательному виду.

95

Таким образом, исходная задача распределения М средств для воздействия по N целям из условия обеспечения минимума эффекта на S объектах заменена задачей определения матрицы 1у"/||млг = у0, обеспечивающей максимум эффекта на N целях с учетом их важно­ стей Bj. Остается теперь так определить значения коэффициентов В}

в зависимости от исходных параметров, чтобы для обеих задач реше­ ния (уо) совпадали. Формальными методами этого достигнуть невоз­ можно, так как, по сути дела, здесь мы касаемся вопроса выбора и обо­ снования непротиворечивости различных критериев для решения од­ ной и той же задачи. Обратимся к анализу физической стороны задачи.

Факторы, определяющие величину Вщ), должны зависеть по крайней мере:

от эффекта, который может обеспечить данная цель на «своем» объекте (Л ,©,(«);

суммарного эффекта (ущерба), достигаемого группой пь целей на

Таким образом, если величины Bj определены, то решение сво­ дится к максимизации функции (3.1 0 ), что и достигается с помощью ме­

тода ДФ. Однако в ходе проведения вычислительного эксперимента было установлено, что в некоторых случаях использование формулы (3.11) приводит к значительным погрешностям. Анализ исходных дан­ ных таких задач показал, что погрешность возникает в тех случаях,

Подробнее о весовых коэффициентах см. в приложении II.

96

і -м шаге процесса в результате пробного назначения k-то средства по I-й цели:

аналогии можно получить на основе предыдущего, поэтому здесь мы запишем их без выводов в виде рекуррентных соотношений*:

Начальные значения весовых коэффициентов определяются по формуле

Теперь можно сформулировать алгоритм решения задачи.

* Эти соотношения получаются из (3.15) путем сравнения (3.15) дои после назначения на t -м шаге процесса fty-го средства по /у-й цели.

** соО) = Q [°< i> j (2.177), 6<° = П ?г и т. д. rW^

98