книги из ГПНТБ / Берзин Е.А. Оптимальное распределение ресурсов и элементы синтеза систем

Е .А .Б е р з и н

*

ОПТИМАЛЬНОЕ

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

РЕСУРСОВ

И

ЭЛЕМЕНТЫ

СИНТЕЗА

СИСТЕМ

Под редакцией член-корреспондента АН СССР

доктора технических наук профессора

Е. В. З о л о т о в а

Москва, «Советское радио» 1974

УДК 519.82

Б е р з и н Е. А. ОПТИМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЕСУРСОВ И ЭЛЕМЕНТЫ СИНТЕЗА СИСТЕМ. Под. ред Е. В. З о л о т о в а . М. , «Сов. радио», 1974, 304с.

В книге получили дальнейшее развитие методы математиче­ ского программирования применительно к требованиям анализа и синтеза систем. Основное внимание уделено проблемам целочис­ ленное™ и размерности решаемых задач. В основу разработки методов положен неформальный, содержательный подход.

Методы обладают достаточной общностью. Так, метод норми­ рованных функций практически одинаково удобен для решения широкого класса задач линейного, выпуклого и аддитивного цело­ численного программирования. Даются оценки алгоритмов по точности и объему вычислений. Сделана попытка показать те логи­ ческие пути, которые привели к появлению наиболее интересных, на наш взгляд, решений.

Книга будет полезна научным работникам экономических и технических специальностей, инженерам, студентам вузов, а также тем, кто, хорошо понимая важность количественных обос­ нований при принятии решений, стремится найти их. .

54 табл., 22 рис., библ. 58 назв.

30501-027

БЗ-40-73

Б 046 (01)-74

© Издательство «Советское радио», 1974.

Предисловие редактора

В директивах XXIV съезда КПСС по пятилетнему плану разви­ тия народного хозяйства СССР на 1971— 1975 годы указано:

«В целях совершенствования планирования народного хозяйства и управления обеспечить широкое применение экономико-математи­ ческих методов использования электронно-вычислительной и орга­ низационной техники и средств связи... Развернуть работы по созда­ нию и внедрению автоматизированных систем планирования и управ­ ления отраслями, территориальными организациями, объединениями, предприятиями, имея в виду создать в дальнейшем общегосударствен­ ную автоматизированную систему сбора и обработки информации для учета, планирования и управления народным хозяйством»...

Постановка подобной грандиозной задачи стала возможной бла­ годаря значительной работе, проделанной в последние годы в направ­ лении поиска путей совершенствования управления народным хозяй­ ством, и тем результатам, которых советская наука достигла в обла­ сти создания автоматизированных систем управления сложными народнохозяйственными объектами. Актуальность решения постав­ ленных проблем определяет необходимость развития современных методов исследования операций и прикладных математических методов оптимизации. Настоящая работа в целом ориентирована на развитие таких методов применительно к задачам распределения ресурсов при синтезе больших систем. Своеобразие методологического подхода ос­ новано на удачном сочетании эвристических и формальных приемов, что позволяет автору в целом ряде случаев не безуспешно решать проб­ лемы многомерности, целочисленности и нелинейности.

Для довольно широкого класса задач метод и решение доведены до конкретного вычислительного алгоритма, как правило, более про­ стого и менее трудоемкого, чем известные.

По-видимому, читателю будет интересно познакомиться и с неко­ торыми методами, основанными на неформальных приемах, значение которых все более возрастает в современных исследованиях.

Чтобы понять, нужно эмпирически начать понимание, изучение, от эм ­ пирии подниматься к общему.

Чтобы научиться плавать, надо лезт ь в воду.

В. И. Ленин. Поли. собр. соч., т. 29,

стр. 187.

Предисловие автора

Стремительный научно-технический прогресс является характер­ ной чертой современности, чертой, которая ведет к значительному повышению ответственности руководящих органов за качество при­ нимаемых решений в самых различных областях целенаправленной деятельности человека. Это является одной из главных причин, обус­ ловливающих необходимость научного обоснования принимаемых ре­ шений. В настоящее время за этой областью знаний прочно устано­ вился термин исследование операций.

Систематическое накопление теоретического и практического опы­ та в области исследования операций началось в годы второй мировой войны. Первым обобщающим результатом явилась работа американ­ ских ученых Ф. М. Морза и Д. Е. Кщмбелла [1].

Пока еще нет устоявшихся взглядов на определение понятия ис­ следование операций. В ряде работ [2—5 и др. ] делаются попытки обобщить и уточнить это определение. Мы не будем этого делать, так как предлагаемая работа, хотя и принадлежит к области исследова­

Впервые элементы математической теории оптимального распре­ деления ресурсов для ряда экономических задач были сформулиро­ ваны в 1939 г. советским математиком Л. В. Канторовичем [6]. Однако новое направление фактически заглохло. Возродилось оно лишь в 1947 г., когда американским ученым Дж. Данцигом был разра­ ботан численный метод решения задачи линейного программирования (ЛП) — симплекс-метод, получивший широкое распространение после опубликования в 1951 г. его работы [7]. В настоящее время теория линейного программирования является одной из наиболее разрабо­ танных областей оптимального распределения ресурсов (оптималь­ ного планирования) и ей посвящена обширная литература. Достаточ­ но указать хотя бы на работы [8— 13].

Несмотря на широкое разнообразие практических задач, решае­ мых методами ЛП, они охватывают лишь узкую область подобного

5

рода проблем. Существенным ограничением задач ЛП является тре­ бование линейности оптимизируемой (целевой) функции, в то время как во многих реальных ситуациях'не наблюдается пропорциональной зависимости между затратами ресурсов и приростом прибыли (т. е. целевой функции). Кроме того, и ограничения на ресурсы часто могут быть нелинейными. Все это побуждает развивать нелинейные методы математического программирования. В качестве первых в этом направлении могут быть указаны работы [14— 17].

Выпуклое программирование (ВП), как часть нелинейного, вы­ деляется в самостоятельную область благодаря специфическому виду целевой и ограничивающих функций. Выпуклый (выпуклость вниз)* или вогнутый (выпуклость вверх) вид этих функций позволил разра­ ботать относительно простые методы и алгоритмы решения задач ВП.

С некоторыми из них можно ознакомиться в работе [18].

Еще меньшим арсеналом средств располагает нелинейное програм­ мирование [17, 19—21].

Решение как линейных, так и нелинейных задач математического программирования усложняется, если на переменные наложено усло­ вие целочисленности (дискретности). Вопросы дискретного програм­ мирования рассматриваются в работах [22, 13, 20] и др.

Перечисленным направлениям математического программирова­ ния в работе уделено определенное внимание. Все рассматриваемые в ней экстремальные задачи имеют целевую и ограничивающие функ­ ции аддитивного вида**. Решение подобной задачи можно рассматри­ вать как вариант приближенного решения задачи бесконечномерного программирования, относящейся к группе неклассических вариацион­ ных задач.

Главное внимание при разработке методов оптимизации уделено вопросам нелинейности функций, их многомерности и целочислен­ ности аргументов. Методы детерминированы и конечны. Иногда они носят комбинированный характер, однако статистические приемы в

можно рассматривать как формализованную модель некоторой реаль­ но существующей или проектируемой системы, а сам процесс оптими­ зации — как процесс определения наилучших способов ее функцио­ нирования или синтеза. Интенсивно развивающаяся в последние годы системотехника (техника больших систем) пока не дает единого и до­ статочно полного определения понятия системы [23—25]. В данной работе под системой будем понимать некоторую совокупность эле­ ментов, выполняющих определенные функции и связанных единым назначением. Степень функциональных связей между элементами системы будет говорить о степени их взаимозависимости.

*Подробнее об этом см. в приложении I.

**Подобная задача в дальнейшем именуется задачей аддитивного програм­

мирования.

*

которых подчинено вполне определенным целям, вытекающим из основного их назначения. В формализованной модели системы ее основное назначение будет отражаться единым критерием, записан­ ным в форме целевой (критериальной) функции*.

Под элементом системы, следуя [24], будем понимать часть си­ стемы, объект, не подлежащий дальнейшему расчленению на части при данном уровне рассмотрения системы.

Принятое определение понятия системы удовлетворяет нашим потребностям, если иметь в виду его относительность в том смысле, что практически каждая система может рассматриваться как подсис­ тема (элемент) более крупной системы. Столь же относительно понятие элемент.

Говоря о любой управляемой системе, нельзя обойти понятие ре­ сурса, необходимого для ее функционирования и синтеза. Под ре­ сурсом в каждом конкретном случае будем понимать определенные материалы, трудозатраты, деньги, физические единицы (детали, радио­ электронные блоки, транспортные средства, станки, единицы воору­ жения и т. д.).

Однородным ресурсом будем называть любой вид ресурса, кото­ рый обладает всеми одинаковыми характеристиками, представляющи­ ми интерес в данном рассмотрении. В остальных случаях ресурс будем называть неоднородным. Если ресурс будут составлять некоторые фи­ зические единицы (станки, транспортные единицы и др.), то, наряду с понятиями однородного и неоднородного ресурса, в качестве сино­ нимов будем употреблять понятия равноэффективных и разноэффек­ тивных средств.

Другие понятия, по мере надобности, будем вводить в ходе изло­ жения материала.

Работа состоит из пяти глав и шести приложений. Каждому из методов посвящается глава из 4—5 параграфов, в каждом из которых рассматривается одна достаточно общая задача, требующая специаль­ ного алгоритма решения. Все параграфы построены по общей схеме и включают в себя вопросы, выделенные в отдельные разделы: 1. по­ становка задачи; 2. метод и алгоритм решения; 3. оценка эффектив­ ности алгоритма; 4. некоторые обобщения; 5. примеры расчета.

Название главы соответствует рассматриваемому в ней методу.

Глава 1. Метод максимального элемента (МЭ) известен по работам

[26, 3] и др. Привлекательна предельная простота этого метода, кото­ рый в данной книге является основой для развития всех последующих методов. В главе решен ряд задач распределения однородного ресурса, расширяющих область применения метода МЭ.

Глава 2. Метод двух функций (ДФ) является дальнейшим раз­ витием метода МЭ, применительно к решению задач распределе­ ния неоднородного ресурса. Приводится анализ содержательной постановки задачи §2.1 (1), описывается эвристический прием, состав­ ляющий суть метода ДФ, и дается оценка точности алгоритма.

* Вопросы выбора критериев и оптимизации системы при нескольких критериях здесь не рассматриваются.

7

Постановка некоторых новых целочисленных задач и алгоритмы их решения относятся к вопросам синтеза систем с учетом функцио­ нальных связей между их элементами.

Глава 3. Метод весовых коэффициентов (ВК) позволяет оптими­ зировать новый класс функций — выпукло-вогнутых. Это дает воз­ можность решать новую группу прикладных задач, укладывающихся в новую формальную схему. Решение получено благодаря обоснова­ нию и введению весовых коэффициентов, позволяющих свести задачу к виду, удобному для решения ее методом ДФ. Обоснование весовых коэффициентов целиком основано на анализе содержательной постановки задачи § 3.1 (1). Дальнейшее формальное применение ме­ тода ВК к более сложным задачам обеспечивает их достаточно точное решение, что подтверждается проводимыми оценками.

В главе 3 сформулирован также ряд игровых задач, методы реше­ ния которых в настоящее время не известны.

Глава 4. Метод последовательных приращений (ПП) обеспечи­ вает достаточно эффективные алгоритмы оптимизации аддитивной це­ левой функции произвольного вида при одной ограничивающей функ­ ции такого же вида. Метод удобен также и для решения комбинатор­ ных задач типа задачи о ранце.

Глава 5. Метод нормированных функций (НФ) является обобще­ нием метода ПП на случай многих ограничений. Такое обобщение по­ требовало введения некоторых ограничений на вид целевой и ограни­ чивающих функций. Глава 5 состоит из трех разделов, посвященных реализации метода НФ соответственно для решения целочисленных задач линейного, выпуклого и аддитивного программирования.

В приложения вынесен вспомогательный материал.

М е т о д о л о г и я разработки методов и алгоритмов решения экстремальных задач включает в себя принципы эвристических (прав­ доподобных) рассуждений, которые могут быть представлены сле­ дующей примерной схемой:

подбор физической интерпретации, соответствующей формальной постановке задачи;

качественный анализ содержательной постановки, анализ целей и выявление условий, которым предположительно должен удовлетво­ рять оптимальный процесс или метод решения;

подбор (вывод) аналитических выражений, учитывающих найден­ ные условия оптимальности, формулировка алгоритма;

проверка алгоритма на специально подбираемых примерах, вы­ явление условий появления возможной погрешности, получение теоретической оценки погрешности;

доработка алгоритма путем устранения выявленных причин по­ грешностей, повторная проверка, формулировка ограничений на применение.

Приведенная схема хорошо иллюстрируется процессом разработ­

однако для его применения есть и более веские основания.

8

Любая наука, какой бы она абстрактной не представлялась ß на* стоящий момент, всегда исходит из опыта и наблюдений. Исследо­ вание операций и его составная часть — математическое програм­ мирование являются новыми научными направлениями, еще находя­ щимися на начальной стадии развития — стадии накопления опыта. Однако накопление опыта в решении принципиально новых задач практически невозможно при использовании только старых методов и подходов, так как в этом случае творческий процесс направляется по заведомо известному руслу, где многое в основном уже изучено и в лучшем случае можно ожидать более или менее удачного приспо­ собления старого для нужд нового. Только по мере накопления нового опыта возможны теоретические обобщения, в настоящее же время многие поиски ведутся наощупь, с привлечением прежде всего интуи­ тивных представлений. В этом смысле и данную работу можно рас­ сматривать как дальнейший этап накопления опыта, этап, опираю­ щийся на результаты предшествующих исследований. Метод МЭ, идея весовых коэффициентов, применение выпуклых оболочек для целей оптимизации, нормировка величин — все это широко приме­ няется в современных исследованиях.

Однако ценность накопленного опыта определяется в конечном счете тем, что он сможет дать для практики. Применительно к данной работе этот вопрос в первую очередь сводится к вопросу эффективности предлагаемых методов и алгоритмов.

Э ф ф е к т и в н о с т ь а л г о р и т м о в принято оценивать по трем основным показателям: определенность, массовость и резуль­ тативность*. Под результативностью понимается возможность полу­ чения решения за конечное число операций. Как правило, для полу­ ченных алгоритмов удается оценить требуемый объем вычислений. Конечность алгоритмов обусловливает их результативность.

Каждый из алгоритмов позволяет решать некоторый класс задач и, следовательно, удовлетворяет требованию массовости.

Детерминированность (определенность) алгоритмов обеспечивает однозначность решения, вопрос об их определенности сводится только к вопросу о точности. Ныне установлено, что эвристические и фор­ мальные методы имеют единую родовую основу, а потому решение, полученное на основе хорошей эвристики, может не отличаться от оптимального или быть близким к нему. Степень такой близости может быть установлена: доказательством того, что алгоритм при­ водит к удовлетворению известных формальных условий оптималь­ ности; теоретической оценкой величины погрешности; эксперимен­ тальной оценкой погрешности.

Первый из указанных путей применен в гл. 1,4 и частично в гл. 5. Теоретические оценки точности типичны для гл. 2 и 3. В анализе эв­ ристических методов не последняя роль принадлежит сравнительным, предельным и частным оценкам, а также аналогиям, увеличивающим правдоподобность суждений. С ними читатель неоднократно будет встречаться в книге.

* Подробнее об этом см. в [53, стр. 115; 56, стр. 14].