книги из ГПНТБ / Егоров С.В. Элементы идентификации и оптимизации управляемых систем учеб. пособие

, Заметим, что для устойчивых линейных систем послед­ нее равенство выполняется лишь приближенно, поскольку

wik(t, /„)->0 при t-+oo,

однако для любой малой величины е всегда можно указать в этом случае такое время Гп(е), что

поскольку в этом случае реакция на 6-импульс зави1сит лишь от разности (сдвига r= t'—tn) между моментом t наблюде­ ния реакции и моментом tn приложения воздействия.

Как найти реакцию системы на произвольное воздейст­

но не перекрывающихся 1Импульсов длительностью Д/„<С Т„

(рис. 2-1,а), можем записать для п-й составляющей выход­ ной переменной (реакции только на п-й импульс площадью

УпЩ — lim w,{t,tn)v{(tn)Atn.

По принципу суперпозиции и с учетом свойства (2-19) полная реакция в момент t на i-e воздействие равна

t

Для стационарной системы с учетом (2-22) получаем пос­ ле замены переменной tn = t—x

где значок * показывает свертку функций.

61

Все вышесказанное относилось к реакции только на i-e воздействие, при равных нулю остальных (одномерный слу­ чай). Для многомерной линейной системы по принципу су­ перпозиции реакцию на т воздействий найдем как

тоо

yk(t) = '£ i J wtk(T) vi(t — x) dx* k= l ’ ••••?•

или в векторно-матричной форме

'о

»

где W—[wik] —импульсная матричная характеристика систе­

мы.

Отметим, что на практике экспериментальный путь опре­ деления импульсных характеристик часто затруднителен в связи с трудностями получения мощных и коротких 'импуль­ сов (источник воздействия типа б-функции должен обла­ дать бесконечной мощностью). Достаточно точно можно оп­ ределить импульсную характеристику, если длительность импульса Л7П^С0,05 Тп. Однако на практике часто удобнее снять переходную характеристику h(t, tn) как реакцию не­

возбужденной системы на единичное ступенчатое воздейст­ вие 1(0, приложенное к 'системе в момент tn. Легко пока­

зать, что обе указанные характеристики связаны между со­ бой:

(2-26)

at

Пункт 4. Частотные характеристики.

Поскольку характеризация систем с помощью временных характеристик (импульсной или переходной) приводит при анализе к необходимости решать интегральные уравнения типа (2-25), рассмотрим иную характеристику линейной ста­ ционарной аистемы — передаточную функцию ik-ro канала

объекта

где L —• символ преобразования по Лапласу.

Смысл введения такой характеристики становится ясным при изучений свойств преобразования по Лапласу (краткий перечень этих свойств приведен в табл. 2-1).

62

левых НУ

n

Используя свойство 7 табл. 2-1, можем записать интег­ ральное соотношение (2-24) в виде алгебраического

иногда используется и как определение передаточной функ-

63

Ции в виде отношения изображений по Лапласу входного и выходного воздействий при нулевых НУ

где W(p) =[ыу<л(р)] — передаточная матрица системы.

Физический смысл передаточной функции становится более понятным, если рассмотреть весьма близкую к ней ди­ намическую характеристику — комплексный коэффициент усиления (ККУ)

tmax

где АДи) = j ш4(/ш) |— амплитудно-частотная характеристика, показывающая изменение по амплитуде между входной и

64

выходной гармониками; ф(ы) — фазо-частотная характерис­ тика, показывающая сдвиг по фазе между входной и выход­ ной гармониками.

Таким образом, наблюдая установившиеся гармоники раз­ ных частот па входе системы и ее выходе, можно опреде­ лить ее ККУ. На практике широко применяют графический способ характеризации с помощью амплитудно-фазовой ха­ рактеристики (АФХ), которую строят на комплексной плос­ кости (рис. 2-2). Она показывает, что гармоническое воз-

рактеристика

действие с частотой, например, оц дает в установившемся режиме на выходе гармоническую реакцию той же частоты, но измененную по амплитуде в А\ раз и сдвинутую по фазе

на угол ф1.

Аналогично (2-30) можно рассмотреть матричный комп­ лексный коэффициент усиления.

§ 2-4. Связь различных форм характеризации

На практике часто требуется перейти от одной формы математического описания к другой.

Пункт. 1. Переход от стандартной формы (2-16) к нор­ мальной (2-18) является классической задачей, многообразие

решений которой определяется тем, что при выборе пере­ менных состояния (координат) имеется произвол [2-2, 2-3]. Ее решение весьма просто, если правые части уравнений (2-16) не содержат производных входных воздействий. В этом случае указанный переход осуществляется выбором координат в виде самих выходных переменных и их произ­ водных до порядка (v*—1) включительно (метод пониже­

ния порядка переменных — см. (2-4) ). Решение существен­ но усложняется, если правые части (2-16) содержат произ­ водные.

Опишем процедуру решения указанной задачи, следуя [2-3], поскольку она не связана с нахождением корней характеристическшо уравнения системы, присущего многим другим способам (см. например, [2-2, 2-4, 2-5]). Последняя задача, хотя и является весьма полезной, представляет боль­ шую самостоятельную проблему.

Перепишем уравнение (2-166) в иной форме:

Необходимо отметить, что для любой реальной системы степень полинома D(p), по крайней мере, на единицу меньше

степени С(р), что связано с отсутствием в природе систем, выполняющих операцию идеального дифференцирования.

Для решения задачи введем новые переменные

(далее =

= C.Y,

X v - i ^ C 4.xY + C , p Y - D ^ V ,

Xv_2 = C^2Y + Cv_, pY + CvpW -

, —■{ D 4- 2V -4- Dv_ipV), (2-34)

X. = C t Y + ••• + C ^ - l Y -

где вектора групп координат равныХ, = (лф>, . . . , x{ql))T, . • •,

Х„ = (x[v), .. . , л4ч))т (очевидно, общее число вводимых коор­

66

динат в этом случае равно n = q\). Удобно переписать (2-34)

в форме

Xv = С, Y

Xv_i = Cv-i Y + Xv — Dj-\ V

X, = C\ Y -f X2 — D, У,

при этом исходное уравнение (2-33) с учетом последнего из соотношений (2-35а) запишется в виде

Ёсли detCv= 6, то формулы (2-34), (2-35) не теряю!'

смысла и в этом случае, хотя и не удается в явном виде за­ вершить переход к нормальной форме, так как соотношения (2-37) теряют смысл. Однако в каждом конкретном случае задача доводится до конца методом последовательного ис­ ключения ук из (2-35) с учетом свойств матриц Cs [2-3]. При

( X = AX + BV

1 Y = YX-\-HV,

однако матрица Н равна нулю для систем, у которых эле­ менты передаточных матриц имеют степень числителя мень­ ше степени знаменателя (если имеются экспериментальные характеристики, то для указанных систем ш(А(т)|г_0= 0 или

^ift(/oi) |ш**оо ====0) .

68

Из уравнений (2-35а), (2-356) в данном случае следует

При этом выходные переменные связаны с координатами таким об­ разом:

Нетрудно проверить, что ранг матрицы

равен четырем, т. е. порядку системы.

Во многих приложениях удобно иметь нормальные урав­ нения (2-18) в канонической (диагональной) форме

69

Из этого следует и способ записи уравнений (2-18) в ка­ нонической форме: найдя корни уравнения (2-40), тем са­ мым определяем и матрицу Л. Переход от (2-18) к диаго­ нальной форме (2-39) можно рассматривать как переход к новым (каноническим) координатам Х° с помощью неособого линейного преобразования Х= МХ°. В самом деле, из

(2-18) получаем

цами которой являются собственные вектора матрицы А, на­ зывается модальной. Ее легко найти, если известны собст­ венные значения ?.i, ..., л„ матрицы А (корни характеристи­

ческого уравнения (2-40).

Надо отметить, что диагональная форма (2-39) получает­ ся лишь для случая простых корней уравнения (2-40). При кратных корнях вышеописанная диагонализация матрицы А

приводит к канонической форме Жордана.

к канонической форме.

Решая характеристическое уравнение системы

находим собственные числа матрицы А: к , = —1 ф у , к , = — 1 - /.

Координаты первого собственного вектора определим из решения урав­ нений

70