книги из ГПНТБ / Егоров С.В. Элементы идентификации и оптимизации управляемых систем учеб. пособие

Следовательно, после следующего симплексного преобразования пере­ менная «г станет свободной. Продолжим вычисления в табличной форме:

ма в силу неограниченности снизу линейной формы.

141

§ 4-3. Аналоговое решение задач линейного программирования

Возможность решения задач ЛП на аналоговых вычисли­ тельных машинах (АВМ) была впервые указана Пайном (1956) [4-3]. Идея'метода заключается в том, что точка U с

координатами (го, ..., м„) перемещается вдоль гиперплоско-

П

(рис. 4-3), координаты которой являются решением задачи

ЛП. Рассмотрим изображающую точку U. Пусть в допусти-

П

мой области Q„, гдеЛ;= 2 а {}и}—Ь ^ 0, 1 = 1, ..., т , она дви-

/-1

жегся под действием некоторой силы Vo, перемещающей ее в направлении убывания линейной формы, т. е. в направле­ нии, противоположном ее градиенту. При этом вектор Vo имеет вид

V0= ( —YoCj, ..., —YoC„)T,

где знак минус показывает, что вектор Vo направлен в сторону убывания L(.U). Если же точка и нарушит границу до­

пустимой области и пересечет, например, г-ю шперплос-

142

кость hi —0 (точка U' «а рис. 4-3), то на нее начинает дей­

ствовать дополнительно возвращающая сила У,-, перпенди­ кулярная к «нарушенной» гиперплоскости и направленная внутрь допустимой области:

Vi— (—yOi\, .... —yain)T,

где знак минус означает, что вектор Vi направлен в сторону убывания hi(U), т. е. внутрь области допустимых решений.

В общем случае, когда нарушается несколько границ, дви­ жущая точку U сила равна

при этом функции «штрафа» б{{U) могут быть выбраны по-

разному, например:

Если принять, что скорость изменения координаты точки U пропорциональна соответствующей координате силы У,

то

Точка U всегда будет возвращаться В1нутрь области до­

пустимых решений, если возвращающие силы V, больше «минимизирующей» У<>:

i

что достигается выбором величины уо: например, для (4-19а) Получаем из условия (4-21)

То<

143

При попадании изображающей точки на гиперповерх­ ность ограничений (точка U" на рис. 4-3) происходит ее

скольжение по этой поверхности до попадания в точку ре­ шения 5 (напомним, что область допустимых решений яв­

ляется выпуклой)., Один из вариантов набора задачи ЛИ на АВМ показан

на рис. 4-4, где левая часть схемы — формирователи штраф-

Рис. 4-4. Схема для решения задач линейного программиро­ вания на АВМ

ных функций (4-19) (показано только для б■(£/)), причем R = оо для (а) и R < 50 для (6), у = 1. С учетом того, что некоторые atj могут быть отрицательными и, следовательно,

требовать инверторов, общее число потребных усилителей может достигать 2(п + т ) . Вопросы обеспечения устойчиво­

сти решения рассмотрены в [4-4].

§ 4-4 Понятие о двойственности в линейном программировании

Оказывается, что каждой прямой задаче ЛП соответствует

двойственная ей:

Обратим внимание, что:

число неизвестных одной задачи равно числу ограниче­ ний другой;

144

матрица коэффициентов в ограничениях одной задачи получается транспонированием матрицы в другой;

ограничения имеют противоположный смысл, при этом ограничения на знак переменных не изменяются;

свободные члены ограничений одной задачи являются коэффициентами линейной формы другой и 'наоборот;

направления акстремизации линейных форм в обоих за­ дачах противоположны.

Задачи ЛП, обладающие указанными свойствами, назы­ вают взаимно двойственными, поскольку они образуют сим­

метричную пару, и задача двойственная двойственной сов­ падает с прямой.

Имеет место основная теорема двойственности.

Если одна из взаимно двойственных задач имеет реше­ ние, то разрешима и другая задача, при этом экстремальные значения линейных форм равны

min L—max L.

иv

Если линейная форма одной из задач не ограничена, то система ограничений другой задачи противоречива.

Двойственность является фундаментальным понятием: она применяется для доказательства теорем, построения ме­ тодов решения и т. д. Особую важность решение двойст­ венных задач имеет в экономике.

Пример п. 6 § 1-2 иллюстрирует двойственные задачи. Экономическая интерпретация их такова.

Пусть имеется экономическая система, состоящая из двух частей, — производство и рынок. Экономическая политика производства — дороже продавать и дешевле покупать на рынке. Со стороны рынка политика противоположна. Устой­ чивое решение этих двух политик будет в том случае, если цены каждой из сторон будут обоснованы и процесс куп­ ли-продажи будет взаимовыгодным, т. е. максимальная прибыль предприятия будет совпадать с минимальными де­ нежными затратами рынка. Задача отыскания таких взаимо­ выгодных цен и есть двойственная задача ЛП. Правильное ее решение приводит к гармоничному развитию производ­ ства, поскольку совпадает с экономическими законами об­ щества. Наоборот, волюнтаристское решение в экономике может привести к застойным явлениям. Например, в после­ военные годы цены на промтовары были необоснованно за­ вышены по сравнению с ценами на сельскохозяйственную продукцию, что привело к застою в сельском хозяйстве.

В процессе экономических реформ на основе научно обо снованных рекомендаций положение в дальнейшем было вы­ правлено.

§ 4-5. Параметрическое линейное программирование

Параметрическое ЛП является некоторым обобщением задачи, рассмотренной в § 4-1, и имеет большое практичес­ кое значение.

Ввиду того, что на практике коэффициенты {аг/}, (£>,}, {с,} зависят от целого ряда факторов, важно Изучить ха­ рактер решения основной задачи ЛП при изменении указан­

ных коэффициентов в некоторых диапазонах. Различают три типа задач параметрического ЛП.

I задача. Найти минимум линейной формы

П

L —hCjUj l=1

/= i

и}> 0, /— 1, ..., п,

146

Наиболее разработанными являются вторая и третья за­

дачи, причем задача (4-24) может быть сформулирована как двойственная по отношению к (4-23). Поэтому рассмотрим

Рис. 4-5. К геометрической интерпретации задачи па­ раметрического линейного программирования

t= t2). Изменение параметра t приводит к изменению на­ клона и ориентации плоскости L, в пространстве перемен­ ных ui, ..., и„, L,. Это приводит к тому, что вершины много­ гранника Qu, в которых функция L, минимальна, могут быть различными при разных,/: при t —t\ оптимальным решением является t/,*, а при t = t2 оптимально U2*.

Рассмотрим решение задачи (4-23). Применяй симплексметод, можно получить решение этой задачи для любого конкретного t из диапазона (т, О]. Предположим, что для не­

которого / = /об[т, ф] задача имеет оптимальное решение, т. е. все Aj(/o)=£^0. Чтобы исследовать задачу для других /, перепишем выражение (4-16) для <Д* в общем виде. Тогда получаем маргинальные значения в виде линейных функций параметра t

A, = p i + tq,, / = 1 п.

147

должна быть совместной в некотором диапазоне изменения t, включающем точку to. Найдем нижнюю t и верхнюю t

границы этого диапазона.

Очевидно, что /-е неравенства i(4-25) выполняется при

Все неравенства (4-25) выполняются в диапазоне изме­ нения /, гра1ницам1и которого являются значения

(4-26)

41 <0

, если все 97 >0.

Поэтому найденное при _t—to решение остается опти­

мальным и для других fe{<, /]. В ряде случаев удобно взять

в качестве начального значения to одно из крайних, напри­

мер, /о=т. Тогда возможны следующие случаи.

1.Если все коэффициенты а<,<;0, то линейная форма L

при t> t не ограничена снизу, поэтому процесс решения также закончен, поскольку при этих значениях параметра t

задача неразрешима.

U8

2. Если хотя бы один кЬэффициент та<«|>0, то процесс ре­ шения продолжается обычным способом, т. е. в число опор­ ных вводится новая переменная и„ а из их числа исклю­ чается некоторая переменная и, (для которой достигается

min и т- д-; процесс симплексных преобразований

продолжается до тех пор, пока :не будет найдено опорное решение, для которого все Л3<:0.

Найденное опорное решение является ^оптимальным на _новом отрезке [t\ t'\ причем, очевидно, t' —t. Если при этом t ' б, то весь отрезок [т, б1] разбивается на два отрезка

[т, ■/], [f, ■0'], каждый из которых 'имеет свое оптимальное ре­ шение. В точке t—t оба решения дают одинаковое значение

линейной форме. Если же t'<c&, то,вышеописанный процесс

повторяется. В результате получают разбиение всего отрезка [т, б] на отрезки |т, i 1], i, ы [th, О]. Величины tu i= 1,

..., k называют критическими значениями параметра t, по­

скольку при них происходит смена оптимальных решений.

II.НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

§4-6. Общая характеристика задач и методов нелинейного

функция (1-48) и (или) ограничения (1-49) нелинейны. Вве­ дением дополнительных переменных общую задачу НП мож­ но привести к форме с ограничениями — равенствами, од­

/= 1, ..., п,

при этом число ограничений (4-29) меньше п.

149

Эта задачи являются обобщением задач ЛП, однако в от­ личие от последних для них нет универсальных методов ре­ шения, подобных симплекс-методу в ЛП. Причиной это­ му являются существенные отличия этих задач:

1. В задаче АП оптимальное решение искалось в конеч­ ном числе крайних точек допустимой области Qu, а в задаче

точка, которая не является внутренней ни для какого отрез­ ка, целиком принадлежащего этому множеству).

2.Наибольшее значение линейной формы достигалось на границе области Qu, а в НП такое значение может дости­

гаться не только на границе, но и во внутренних точках множества Qu (рис. 4-6,6).

3.Задача ЛП является одноэкстремальной, а задача НП

вобщем случае может быть многоэкстремалъной (рис. 4-6,в).

Рис. 4-6. Особенности задач нелинейного программирования

На рис. 4-6,6, в нанесены линии уровня целевой функции (4-27), уравнение которых G(U) — C, где С —некоторая по­

стоянная.

Методы решения задач НП являются итеративными, од­ нако не всегда можно гарантировать сходимость итератив­ ного процесса к искомому решению. Эти методы могут быть реализованы двумя вычислительными схемами: дискретной,

осуществляемой по формуле

150