книги из ГПНТБ / Егоров С.В. Элементы идентификации и оптимизации управляемых систем учеб. пособие

область Qu ограничена, то условие в) становится несущест­ венным, .поскольку в этом случае достаточно выполнения

\\VUG(U)\\< оо.

Поскольку градиентные алгоритмы (4-38) имеют ограни­ чения на параметры шага снизу (элементы матрицы Г долж­ ны быть неотрицательны) и 'сверху (условие (4-40)), причем и при малых, и при больших коэффициентах шага скорость

ный — для алгоритмов с большой ||Г||), естественно, что для стационарных алгоритмов имеется некоторая постоянная матрица Г, которая обеспечивает наилучший в определенном смысле процесс оптимизации, например, в смысле быстроты сходимости.

Таким образом замечаем, что хотя в условия задачи ста­ тической оптимизации время не входит, в 'Силу принятой итеративной (или соответствующей непрерывной) схемы оп­ тимизации этот процесс требует времени. Его можно наз­ вать переходным процессом при оптимизации. Выбором па­

раметров Г соответствующей схемы рис. 4-8 требуется обес­ печить оптимальный переход из .t/0 в U*- За критерий опти­

мальности можно взять, например, быстродействие (мини­ мальное число шагов в дискретном процессе), минимум по­ терь на поиск и т. д. Такая задача в основном соответствует классической задаче динамической оптимизации — задаче об оптимальном регуляторе (см. п. 10, § 1-2), когда заданы уравнения движения системы, например, (4-39), (при этом и* —точка равновесия), задан критерий оптимальности

/ = 2 g(r]M )-*-m in,g(-)>() t=1 г(0

и ограничения на Г отсутствуют. Оптимальный переход из Uqв U* для дискретной системы, очевидно, должен осущест­

вляться за один шаг. Однако тот факт, что конечное состоя­ ние U* при этом неизвестно, не позволяет решить эту зада­

чу. Вследствие этого возможна лишь локальная оптимизация, т. е. на один шаг, при переходе из точки U{t] в U[t +1], более близкую в некотором смысле к U*.

Рассмотрим вначале случай Г=уМЛ взяв за критерий ми­ нимум потерь на поиск на каждом шаге, соответствующий критерию (4-37) метода наискорейшего спуска. В этом слу­

162

чае y[t] можно найти как наименьший положительный корень

уравнения

Ограничиваясь квадратичным приближением, находим из (4-42) оптимальный коэффициент для (Н-1)-го шага

функций. Однако надо заметить, что автономные схемы оп­ тимизации с Г= у1 обычно являются малоэффективными:

ведь они получены в предположении малых приращений це­ левой функции на каждом шаге оптимизации. В силу этого

c T= H G-'(U[t]) или Г = H o~l {U0), которые обеспечивают

при весьма широких условиях устойчивость и быструю схо­ димость процесса оптимизации, а для квадратичных целевых

частными производными до третьего порядка в области Qu и выполняются условия:

1) существует обратная матрица Го = Н0-1 (1/0), где

IIГоII <ао,

2)||r0V uG(t/0) |<&о,

Указанные особенности вызывают дополнительные труд­ ности при оптимизации, преодоление которых осущест­ вляется специальными мерами.

Первая особенность приводит к использованию экспери­ ментальных методов оптимизации, которые составляют один

из предметов изучения целого раздела науки, называемого «планирование эксперимента».

Как указано в § 4-6, существующие методы оптимизации можно разделить на прямые и градиентные. Отсутствие ана­ литического выражения целевой функции наиболее сильно сказывается на градиентные методы, поскольку эксперимен­ тальное определение градиента превращается в самостоя­ тельную проблему идентификации. Первая особенность тре­ бует также дополнительного исследования (теоретического или экспериментального) о возможности существования в системе оптимального режима.

В настоящее время наличие таких режимов установлено для процессов со сжиганием топлива (нагревательные печи, двигатели внутреннего сгорания и др.), для контактно-ката­ литических и выпарных аппаратов в химической технологии, для отсадочные, флотационных, дробильных (с классифика­ торами) агрегатов в процессах добычи и обогащения полез­ ных ископаемых, для гидротранспортных установок, электро­ сварочных, электрогальванических процессов, в радиотехни­

ке и т. д.

Пример 4-4. Процесс топки наиболее экономичен, если температура ■бл в камере сгорания максимальна для заданного расхода топлива. Из уравнения теплового баланса для установившегося режима можно найти

©п — (К G r (- св,6п0 в Ц- cT©rGT) (Сп^п) *>

где Ф„, д г, 0„ —температуры соответственно воздуха, топлива, продуктов сгорания;

св, ст, с„ — соответствующие теплоемкости; Ов, 0Т— расходы воздуха и топлива;

X — теплотворная способность топлива.

Зависимость frn(GB) при .постоянных остальных параметрах показана на рис. 4-10. Она имеет экстремальный характер, легко объяснимый из физических соображений: при малом расходе воздуха топливо сго­ рает не полностью и, следовательно, выделяет меньше тепла, а при из­ бытке воздуха температура падает за счет нагрева избыточной массы воздуха. Таким образом, существует оптимальное соотношение расходов, при котором температура ■&„ максимальна. Это соотношение, к сожале­ нию, изменяется (пунктир на рис. 4-10), если изменяется качество топлива (его теплотворная способность), что приводит к необходимости автома­ тически регулировать соотношение расходов топлива и воздуха.

Пример 4-5 [4-13]. Передвижение транспортного экипажа, летатель­ ного аппарата и т. п, можно считать наиболее экономичным, если мини­

165

мален суммарный расход горючего для данного маршрута. Уравнение движения экипажа имеет вид

kix sign х).

При заданных начальной и конечной точках маршрута указанная за­ дача относится к задачам динамической оптимизации (см. § 1-2). Однако

166

горючего соизмерим с полетным весом, необходимо регулировать удель­ ный расход горючего.

Вторая особенность приводит к тому, что оптимальное

значение целевой функции и соответствующие ему опти­ мальные управления становятся функциями возмущений. Это приводит к необходимости регулирования оптимальных зна­ чений управлений, если скорость смещения экстремума под влиянием возмущений невелика (дрейф экстремума). Такие функции выполняют системы экстремального регулирования.

Впротивном случае отслеживание экстремума невозможно,

ив этом случае приходится изменять критерий оптимально­ сти. В частности, если возмущения являются случайными процессами, то при оптимизации можно минимизировать среднее по ансамблю возмущений значение целевой функ­

аналитических расчетах, когда известны статистические ха­ рактеристики возмущений, второй путь наиболее применим при экспериментальных методах оптимизации.

Третья особенность приводит к необходимости примене­

ния помехоустойчивых алгоритмов оптимизации, обеспечи­ вающих сходимость процесса поиска в условиях помех. Дело в том, что точные значения целевой функции и ее градиента неизвестны, а известны лишь эмпирические оценки (4-45). При этом в точке экстремума

Если принять, что для указанных оценок выполняются условия

V = A W )< o o , MC{V G (£/*)}-О,

то применение эмпирического (стохастического) градиент­ ного алгоритма, аналогичного (4-38),

может обеспечить сходимость процесса поиска лишь при оп­ ределенных ниже требованиях к коэффициенту шага.

Во-первых, очевидно, учитывая (4-486), что для обеспе­ чения сходимости U[t] к U* необходимо, чтобы

167

Однако слишком быстрое уменьшение коэффициента ша­

При быстром убывании y[t] перемещение может оказаться

ограниченным, и процесс оптимизации не дойдет до экстре­ мума даже при N-*-oo. Например, при выборе y[f] =Yoa‘-1»

где а < 1, получаем

n N

lim У . т[^]=То-Нт - 1~ — - = Го•—— <*>• л-*» /-1 N->« 1—а 1—а

Поэтому необходимо также, чтобы суммарное продвижение могло быть неограниченным:

2 у(/]= оо,

г-1

что .предполагает достаточно медленное убывание коэффи­ циента шага. Последнее благоприятно и в смысле помехо­ устойчивости алгоритма, так как при большом числе шагов начинает действовать закон больших чисел, в результате чего

ремуму. Установлено, что алгоритм (4-49) обеспечивает схо­ димость с вероятностью 1, т. е.

168

Условия 6) и в) имеют смысл, аналогичный соответствую­ щим условиям >(4-41). Условия а) выполняются, например,

для уМ= —- —,t—0, 1, ... . К сожалению, условия (4-51а)

a+ t

имеют малую практическую ценность при дрейфе экстре­ мума, поскольку исключают .возможность .слежения за экст­ ремумом, начиная с некоторого t. В этом смысле алгоритм

(4-49) с yM—Yo более предпочтителен. Такой алгоритм, правда, даже при отсутствии дрейфа обеспечивает неасимп­ тотическую сходимость в смысле

lim Мх. { ||U [/] — U* |[ 2} < р (То, стс), t-+°°

причем р->0 при Yo ■►Оили о£—»-0. Такая сходимость (в среднеквадратичном) на практике нас всегда может удовлет­ ворить при выборе подходящего уо-

Четвертая особенность приводит к замедлению и затруд­

нению процесса поиска экстремума, что связано с конеч­ ностью скорости протекания переходных процессов в объек­ те при изменении управляющих воздействий. Дело в том, что при статической оптимизации объекта, описываемого операторным уравнением (4-46), подразумевается нахожде­ ние экстремума статической характеристики Gcr(U, Z). По­

этому при поиске экстремума информация о целевой функ­ ции GCT(U, Z) (в прямых методах оптимизации) или о ее

градиенте (в градиентных методах) должна получаться, строго говоря, только в установившихся режимах. Вслед­ ствие этого для весьма инерционных объектов часто прини­ мают меры либо по ускорению переходных процессов (обычно при шаговом движении к экстремуму), либо по компенсации влияния динамики (обычно при определении градиента с помощью синхронного детектирования). В пер­ вом случае решается задача максимального быстродействия (задача динамической оптимизации), во втором — задача выбора корректирующего (фазосдвигающего) устройства. В обоих 'случаях требуется знание динамических характери­ стик объекта по каналу управления. Поэтому при статичес­ кой оптимизации реальных объектов часто требуется пред­ варительно решать задачу идентификации. В настоящее вре­

мя удовлетворительное решение всего комплекса вышеука­ занных задач имеется лишь для некоторых классов объектов, например, представляющих последовательное соединение инерционной линейной части и безынерционной нелиней­ ной (объекты «ЛЧ —НЧ» (4-10]).

169

Таким образом, в реальных объектах процесс оптимиза­ ции обычно распадается на последовательность двух про­ цессов — получения информации о значении целевой функ­ ции или градиента и движения к экстремуму. Каждый из

них в условиях помех и инерционности объекта требует оп­ ределенного времени. Вследствие этого при дрейфе экстре­ мума возникает проблема ускорения поиска, или повышения быстродействия систем оптимизации.

§ 4-10. Промышленные системы" оптимизации

При оптимизации реальных объектов широко применяют экстремальные регуляторы (ЭР), которые автоматически отыскивают и поддерживают оптимальные значения управ­ ляющих воздействий. «Совместно с объектом оптимизации такой регулятор образует систему экстремального регулиро­ вания (СЭР). Последняя должна удовлетворять, помимо оче­ видного условия устойчивости, также условиям обеспечения требуемого качества оптимизации: точности и быстродейст­ вия.

В некоторых типах СЭР рабочим режимом является ав­ токолебательный, когда происходят колебания (рысканье) управляющих воздействий около оптимальных значений. В этом случае амплитуда автоколебаний и потери на рыс­ канье не должны превышать допустимых. Применение ЭР для оптимизации обосновано лишь тогда, если экстремум целевой функции смещается во времени, что приводит к не­ обходимости регулирования управляющих переменных. При неподвижном экстремуме целесообразнее использовать для оптимизации методы планирования эксперимента.

Рассмотренные ранее схемы оптимизации соответствова­ ли многоконтурным астатическим системам регулирования, поскольку в статическом режиме (т. е. при отсутствии дрей­ фа экстремума) установившаяся ошибка Д1/СТ=||{У*—

— £^уст11=0. При дрейфе экстремума ошибка в общем случае уже отлична от нуля. Для ее уменьшения используются те же методы, что и в системах автоматического регулирования.

Пункт 1.

В СЭР могут использоваться как прямые, так и градиентные методы

170