книги из ГПНТБ / Егоров С.В. Элементы идентификации и оптимизации управляемых систем учеб. пособие

числительных машинах, преобразуя их в систему линейных алгебраических введением дискретного аргумента [k]=k&T:

где N' — число вычисляемых ординат оценки импульсной ха­

рактеристики; АГ — интервал квантования.

Корреляционные функции, являющиеся исходными дан­ ными при решении уравнений (3-15), находят для эргодических процессов {«Д0)> y(t) как средние по времени, на­

пример,

т

Ryv.[m] = lim -L Г y(t) •ot (t + mAT)df.

Г-+00 I J

0

Понятно, что при вычислениях возникает погрешность за счет конечности времени Т усреднения.

помехой n(t), некоррелированной с воздействиями щ(/), ...,

«,((), поскольку

М {М [п (t) + у(/) I V (г)} • щ(х)} = М [у (/) • щ(s)}. (3-16)

Такая помехозащищенность корреляционного метода поз­ воляет идентифицировать каналы объекта независимо друг от друга, при высоком уровне шумов измерения и при не­ нулевых начальных условиях объекта.

Вряде случаев (при наличии спектральных анализаторов

ипри 4, Л/'5г10 (3-7]) уравнения (3-12) удобнее решать в частотной области. Используя Фурье — преобразование обеих частей (3-12), получаем выражение амплитудно-фазо­ вой характеристик i-го канала через спектральные плотно­ сти:

101

временные динамические характеристики и сглаживают по­ ступающие на них воздействия в силу интегрального харак­

Рис. 3-2. Характер решения некорректной задачи

на входе, на выходе получается довольно гладкая реакция. Преобразование (3-12) или подобные ему аналогичны пре­ образованиям «вход—выход» (сравни с (2-23)). Следователь­ но, если входной и выходной сигнал линейной системы име­ ют соизмеримые «пульсации», то это может быть только в том случае, если импульсная характеристика не является гладкой и содержит в себе импульаные функции. В силу не­ избежных погрешностей вычисления корреляционные функ­ ции в (3-12) содержат в себе подобные «пульсации», и по­ этому находимая импульсная характеристика должна быть весьма негладкой (типичный пример идентификации по (3-15) показан на рис. 3-2). Однако можно указать случай, когда погрешность получаемого решения одного порядка с погрешностью исходных данных, что свидетельствует о кор­

102

ректности задачи. Это наблюдается, когда процесс щ(/) яв­ ляется некоррелированным с другими воздействиями белым шумом. Поскольку в этом случае

то из (3-12) получаем

Однако простота указанного решения на практике недо­ стижима для пассивных методов идентификации, поскольку рабочие воздействия объекта Vi(t) обычно далеки даже от

технического белого шума (имеющего равномерный спектр

Рис. 3-3. Идентификация с пробным сиг­ налом

в полосе пропускания объекта). Поэтому получили большое распространение активные методы идентификации, связан­ ные с подачей на вход объекта пробного воздействия p,(t)

аддитивно рабочему, и имеющего корреляционную функцию типа (3-18) (рис. 3-3).

К сожалению, активные методы не могут быть применены для идентификации каналов возмущений. Поэтому проблема регуляризации задачи идентификации в этом случае остает­ ся. Но прежде чем перейти к ней, рассмотрим иной путь, свободный от некоторых недостатков корреляционного ме­ тода.

§ 3-3. Аппроксимационно-корреляционный метод

Характерный для предыдущего метода подход к объекту как «черному ящику», т. е. с полностью неизвестными харак­

103

теристиками, не является оправданным на практике. Поэто­ му при наличии некоторой минимальной информации о ди­ намике объекта — порядке (времени памяти, характере пере­ ходных процессор (апериодический, колебательный и т. д.)—целесообразно использовать аппроксимативные мето­ ды представления динамических характеристик, рассмотрен­ ные в § 2-6, 2-7. Рассмотрим линейные объекты, для которых искомая характеристика i-ro канала представляется как

пI

где И',,;} —подходящая система функций, выбор которой производится с учетом априорной информации о динамике объекта, и задача идентификации практически сводится к экспериментальному определению коэффициентов модели минимизирующих некоторую меру ошибки между объектом и моделью. Выбирая в качестве таковой (3-3), по­

лучаем

получаем систему линейных алгебраических уравнений (нор­ мальных уравнений) относительно искомых коэффициентов:

г N

104

решение которых может быть записано по формулам Кра­ мера

(3-24) легко видеть, что находимые коэффициенты должны удовлетворять условиям

что можно использовать для проверки правильности вычис­ лений. Для выявления свойств матрицы S ее удобно пред­ ставить разбитой на клетки (подматрицы); при этом ту часть матрицы, которая при упорядоченной записи имеет одинаковые индексы ij (индексы входов) в средних произ­ ведениях slJm, назовем ij — клеткой. Таких клеток, оче­

видно, ровно г2, и каждая из них является квадратной мат­ рицей размера (NXN). Далее удобно изобразить клеточную

матрицу S графически (рис. 3-4), при этом незаштрихован-

Рис. 3-4. Возможные структуры матрицы нормальных урав­ нений

ная часть матрицы означает, что ее элементами являются нули, а покрытая двойной штриховкой, — что элементы этой части матрицы необходимо вычислить, чтобы найти всю матрицу S. Как видно из рис. 3-46, в, г, при определен­

ных условиях, рассмотренных ниже, матрица 5 может быть полностью определена лишь небольшим количеством своих элементов, что весьма важно для сокращения объема вычис­ лений исходных данных по схеме рис. 3-5. Прежде всего за­ мечаем, что матрица S определяется лишь свойствами стан­

105

Назовем эту матрицу сигнальной. Эта матрица является сим­

метричной и, следовательно, полностью определена своей наддиагональной частью (рис. 3-4,а), при этом решения [сп{\ являются действительными числами.

Хотя идентификация в данном случае представляет собой достаточно трудоемкую задачу при больших N и г, однако

основная опасность кроется в возможной некорректности метода, обусловленной повышением чувствительности реше­ ния к неизбежным погрешностям вычисления элементов сигнальной матрицы при возрастании N, г, и возможностью

плохой обусловленности системы (3-24). С целью регуляри­ зации задачи для заданного числа г входов модели можно говорить только о целесообразности снижения N, т. е. о применении быстросходящихся подходящих систем функций

Кроме того, для регуляризации задачи при разно­ родных входных воздействиях, имеющих ненулевое среднее

P, = У М { ( у - М { у ) У ) ,

В результате система (нормальных уравнений принимает вид

106

ляции между стандартными реакциями (3-22). При этом возможно, что строки (столбцы) матрицы S будут практи­ чески линейно зависимыми (элементы соответствующих строк матрицы So системы (3-28) близки к единице). Оче-

Рис. 3-5. Схема получения элементов сигнальной матрицы

видно, в атом случае определитель Грама det[S] становится близким к нулю, и система нормальных уравнений плохо обусловлена.

Поскольку на практике при анализе единичных объектов используют усреднение по времени, то для эргодических процессов V\(t), ..., vr(t) по теореме Парсеваля находим вы­

ражение для общего члена матрицы S:

107

Анализ показывает, что система (3-28) и тем более (3-24) будет плохо обусловленной и в случае, если малы коэффи­ циенты вариации

\ = V M {щ - М {о,})*)' • (М {У,})-1, п = 1...... Г. (3-31)

Физически это объясняется тем, что при сигналах с ма­ лыми коэффициентами вариации объект функционирует практически в статическом режиме и на фоне неизбежных погрешностей обработки данных и помех почти не прояв­ ляет своих динамических особенностей. Следовательно, для хорошей обусловленности системы нормальных уравнений необходимо, чтобы воздействия объекта были широкополос­ ными с достаточно большими коэффициентами вариации.

Анализируя (3-30), легко установить, что для систем {Фл/!> У которых 1/'-клетки при / =f=i обладают свойством

т. е. являются теплицевыми матрицами, их элементы опре­

только первой строкой. К таким системам относятся функ­ ции Лагерра (2-52), временной задержки (2-57) и другие.

Для снижения чувствительности решения к вариациям элементов сигнальной матрицы S из-за погрешностей их вы­

числения целесообразно понизить ее порядок. Так как сни­ жение N или г ведет к снижению точности модели, прове­

дем «ортогонализацию» (диагонализацию) аигнальной мат­ рицы 5 = [ s i] , которая может быть осуществлена по клет­ кам и внутри клеток:

Как видно из (3-30), клеточная диагонализация приводит к условию некоррелированности входных воздействий:

108

При виутриклеточной диагонализации оставшихся и-кле- ток (рис. 3-4,г) приходим к условию ортогональности систе-

мы №„|) с i-м входным воздействием:

в) система {ф^} получена в процессе ортогонализации по Шмидту с весом 5 t<(to) некоторой произвольной системы линейно независимых функций [3-5].

Случаи б, в имеют очевидные недостатки, поскольку ха­

рактеристики аппроксимирующей системы выбираются в за­ висимости от входного сигнала, а не предполагаемых харак­ теристик объекта (заметим, что задача нахождения такой системы не всегда имеет решение). Кроме того, найденная динамическая характеристика может значительно отличаться от искомой для узкополосных воздействий. Поясним это на примере одномерного объекта, когда минимизация квад­ ратичной ошибки для эргодического воздействия v{t) экви­

валентна минимизации величины

109

Следовательно, при минимизации СКВО (3-5) можно получить хорошее совпадение характеристик модели и объек­ та только для частот, которые имеются в спектре входного воздействия. Таким образом, для узкополосных воздействий, особенно имеющих большую мощность постоянных состав­ ляющих, происходит потеря информации о динамике объек­ та. Случай (З-Зба) свободен от всех указанных недостатков,

однако предполагает использование активного метода иден­ тификации, по схеме рис. 3-3. Отметим, что при выполнении (3-35) задача идентификации корректна, и коэффициенты определяются весьма просто:

причем для функций типа (2-52), (2-57), для которых

—

|Фл(/ю) |= I ф! (/©)| для всех О), п

Сравним корреляционный и аппроксимационный методы для случая некоррелированных воздействий.

Оба метода практически приводят к решению системы линейных алгебраических уравнений (3-15) или (3-24), при этом матрица системы может быть плохо обусловленной. Ре­ гуляризация и упрощение задачи достигаются при белых шумах на входах объекта, при этом аппроксимационный ме­ тод совпадает с корреляционным для системы (2-57). Однако при выборе иных систем функций, чем (2-57), обладающих непрерывной зависимостью от аргумента (гладкостью) и су­ щественно перекрывающихся во временной области, аппрок­ симационный метод предпочтительнее корреляционного, поскольку:

1) объем вычислений меньше, так как при одинаковой точности модели N<C.N' (обычно N—4-г-6, Лг = 12-г20);

2) получаемое при небелых воздействиях решение являет­ ся значительно более гладким, так как при малом N линей-

ПО