книги из ГПНТБ / Егоров С.В. Элементы идентификации и оптимизации управляемых систем учеб. пособие

Указанные ограничения являются условными, в процессе

управления они могут и нарушаться.

Пункт 2. II этап — идентификация системы и характера

возмущений — является необходимым дополнением к поста­ новке задачи оптимизации. От данных, полученных на этом этапе, зависят как возможность решения, так и метод реше­ ния задачи оптимизации.

При идентификации определяются структура и парамет­ ры уравнений связи между переменными У, U, Z, которые

отражают объективные закономерности протекающих в си­ стеме процессов. В самом общем виде эта связь (математи­ ческая модель системы) может быть записана как

можно рассматривать как естественные (безусловные) огра­ ничения на переменные.

, В анализе часто применяют запись уравнений связи не в виде уравнений (1-3) между входными и выходными пере­ менными (уравнения «вход —выход»), а в форме уравнений для состояния X объекта:

F (X ,U ,Z )= О,

причем выходные переменные У функционально связаны с

часть прошлого и настоящего системы, которая необходима для определения ее будущего движения. Например, состоя­ ние искусственного спутника как материальной точки пол­ ностью характеризуется тремя координатами пространствен­ ного положения и тремя значениями скоростей по этим координатам. Знание этих величин в некоторый момент вре­ мени позволяет предсказать траекторию движения спутника на основе законов механики. К сожалению, для многих уцравляемых систем, особенно включающих в себя процессы переработки информации, определение переменных состоя­ ния и выявление имеющихся закономерностей является весь­ ма сложной в настоящее время задачей.

II

Запись -вида (1-3) применяют, когда известна связь воз­ мущений с остальными переменными. Если возмущения за­ даны как функции времени, то уравнения связи записывают в -неявной относительно возмущений форме

F (Y ,U ,t) = 0.

Такое параметрическое задание возмущений производит- ' ся «а основе опыта (экспериментальных данных), что пред­ полагает контролируемость возмущений. Если такого опыта нет или возмущения не контролируются, то при анализе час­ то применяют ту или иную модель возмущений, полагая их ступенчатыми, линейными, экспоненциальными или другими функциями времени, нормальными белыми шумами и т. д.

Действие возмущений на объект управления может быть аддитивным:

F(Y, U, Z) =F[(Y, U) +F2(Z) = 0,

или мультипликативным (влияющим на параметры и струк­ туру связи):

F{Y, U, Z)=Fz(Y, U )= 0.

Формально любое мультипликативное возмущение мож­ но -свести к эквивалентному аддитивному. Поэтому, если возмущения не контролируются или неизвестна их связь с остальными переменными, то модель системы с возмущения­ ми обычно принимается в виде

F(Y, f/)+Z = 0.

Объекты управления по характеру связи будем разделять

на:

1)статические (безынерционные), когда связь между пе­ ременными мгновенная (в этом случае F — функция);

2)динамические (инерционные), когда выходные пере­

менные (или переменные состояния) зависят не только о г значений входных воздействий в данный момент, но и от предшествующих значений (F —функционал или оператор).

Уравнения связи (1-3) чц-сто -называют также статически­ ми (для безынерционных) или динамическими (для инер­ ционных объектов) характеристиками.

Выявление возмущений и характера их действия на вы­ ходные переменные -и, следовательно, -на критерий оптималь­ ности весьма важно для выбора схемы оптимизации. Если бы возмущений не было, то задача оптимизации решалась бы

12

один раз и навсегда. Действие возмущений приводит к тому, что оптимальные управления надо корректировать, пересчи­ тывать. Поэтому к возмущениям в задачах оптимизации можно отнести все, что приводит к необходимости пересче­

та оптимальных управлений.

Если возмущения контролируются, то иногда целесообраз­ но применить их компенсацию с помощью введения в

управление составляющей Uz (рис. 1-2), нейтрализующей их

управления: ОУ— объект управления, БФК-блок формиройання критерия, УУ — управляющее устройство

действие (Щипанов Г. В., Петров Б. Н. и др.)*. Однако полная компенсация возмущений возможна довольно редко и не всегда полезна (см. § 5-6).

Если возмущения задаются в (1-1) и (1-3) как известныеt функции времени, то компенсационная составляющая Иг

также определяется как функция времени. Система в целом в этом случае является системой программного управления.

Если аналитический путь решения сложен, то можно приме­ нить поисковую систему оптимального управления. Этот

путь оказывается единственно возможным, если действие возмущений заранее не известно и они не контролируются.

* При ссылках на авторов см. библиографию к соответствующей

глав».

13

Схема оптимизации выбирается, таким образом, на основе информации о характере возмущений и их действии на вы­ ходные переменные системы и критерий оптимальности.

Пункт 3. III этап — решение задачи оптимизации — пре­

следует цель определения оптимального закона управления, а в автоматических системах управления — и синтеза управ­ ляющего устройства. Если при этом оптимальное управле­ ние найдено как функция времени U*(i), то говорят об оп­ тимальном программном управлении (управлении по разомк­

нутой схеме). Если же оно найдено как функция состояния X (Системы — U*{X), то говорят об оптимальном управле­ нии с обратной связью (управлении по замкнутой схеме).

Известные в (Настоящее время методы оптимизации мож­ но разделить на две группы:

1. Методы оптимизации при известной математической модели (заданной или полученной в результате идентифи­ кации) — методы математического программирования (Кан­ торович Л. В., Данциг Дж., Веллман Р., Понтряшн Л. С. и

АР-)- 2. Методы оптимизации при неизвестной модели непо­

средственно на объекте — методы планирования экстремаль­ ных экспериментов (Фишер Р., Бокс Г., Уилсон К. и др.).

Выбор метода решения задач оптимизации зависит также от типа задач, которые разделим на конечные и вариацион­ ные. Такое разделение проводится по виду критерия опти­ мальности (1-1) и тех ограничений (1-2) и связей (1-3), ко­ торые касаются управлений. Далее будет показано, как за­ дача на экстремум функции или функционала при наличии ограничений (условий) сводится к задаче не безусловный экстремум некоторой .новой функции или функционала. Доэтому, если критерий оптимальности и ограничения содер­ жат производные по времени от управления или состояния, то при оптимизации приходим в общем случае к задаче экс- ^гремизации функционала вида

<•

которая является вариационной задачей.

Весьма часто в выражение для критерия оптимальности и ограничения (1-2) производные не входят. В этом случае тип задачи определяется видом уравнений связи между У и U, т. е. характеристиками канала управления.

14

Если канал управления безынерционен и связь между Y и U дается конечным уравнением, то задача минимизации

функционала (1-1) при указанном типе связи приводит к задаче минимизации некоторой функции в каждый момент времени te [/0, Т]. Эюстремизация функций явХяетея основ­

ной задачей дифференциального исчисления, поэтому тако­ го типа задачи следует отнести к конечным, или статическим задачам оптимизации. К ним также относятся задачи, в ко­

торых время в явном виде не фигурирует.

Если же канал управления обладает инерцией (динами­ кой) и связь дается в виде неприводимого к конечному ин­ тегрального или дифференциального уравнения, то задача оптимизации в этом случае приводит к задаче минимизации функционал типа (1-4), которая относится к задачам вариа­ ционного исчисления. Такой тип задач будем называть ва­ риационными или динамическими задачами оптимизации.

Наконец, существует целый ряд задач оптимизации, в кото­ рых переплетаются оба указанных типа.

Решение динамических задач, безусловно, более сложно, чем решение статических задач оптимизации, поэтому на практике иногда не учитывают производные в критериях оп­ тимальности и ограничениях. Так как выбор критерия яв­ ляется субъективным, не будем обсуждать, насколько такое пренебрежение производными в нем законно. Что касается уравнений связи управляемой системы, то в них можно пре­ небречь производными, если коэффициенты при них (по­ стоянные времени) малы по сравнению с интервалом опти­ мизации Т—■/0. Однако в общем случае критерием такого

пренебрежения (вообще — упрощения задачи), приводящего к неоптимальному решению, может служить показатель не-

оптималъности

Aj = \ j ; ~ j * \ < A j Am

или

где J *, /о* — значения критериев при оптимальном управле­

нии, найденные из решения соответственно исходной и уп­ рощенной задач. Такого рода показатели неоптимальности могут быть просчитаны заранее для некоторого класса объек­ тов управления с заданным критерием оптимальности, про­ ясняя вопрос о возможности упрощения уравнений связи конкретного объекта из этого класса.

15

Помимо упрощения модели управляемого объекта, воз­ можны и другие пути упрощения задачи оптимизации; уп­ рощение критерия оптимальности, упрощение структуры ис­ комого оптимального управления и т. д. В наиболее простых случаях можно представить оптимальное значение критерия

случае исследование чувствительности оптимума к измене­ нию указанных параметров может быть проведено аналити­

тальным путем, давая приращения указанным параметром и фиксируя приращения критерия оптимальности. Заметим, что для оптимальных управлений величина д]*1дщ=0,поэто­

му чувствительность здесь исследуется с помощью вторых частных производных.

При любой оптимизации нас в конечном счете интересует направление, в котором надо изменить управляющее воздей­ ствие, чтобы получить минимальное значение критерия оп­

стемы можно найти аналитическое выражение для этого на­ правления (с помощью функций чувствительности, вспомо­ гательных операторов и т. п,), либо определить его экспери­ ментально, например, с. помощью модели. В последнем слу­ чае для инерционных объектов управления целесообразно в целях сокращения времени поиска оптимального решения применять модели, имеющие увеличенный по сравнению с реальным объектом масштаб времени (быстрые модели). Та­ кие системы управления с моделями находят широкое при­

менение при оптимизации сложных динамических систем.

Если модель отсутствует, указанное направление опре­ деляется в результате эксперимента непосредственно на са­ мом объекте управления, при этом обычно проводится пода­ ча на объект специальных пробных воздействий. Одновре­ менно при этом может проводиться и идентификация объек­ та, т. е. этапы 2 и 3 совмещаются во времени.

Заметим, что при оптимизации на реальном объекте не всегда возникает необходимость в идентификации. Извест­ но немало примеров успешного управления даже сравни­ тельно сложными системами, математическая модель кото­ рых неизвестна. Фактически человечество сравнительно не-

1о

давно стало пользоваться математическими моделями объек­ тов, управляя до этого с помощью некоторых неформали­ зованных, эвристических методов, а также с помощью мето­ да проб и ошибок. Как указывал В. С. Пугачев, летчик не знает дифференциальных уравнений самолета, но тем не ме-

Рис. 1-3. Последовательность решения задачи оптимизации

нее успешно управляет им. Понятно, что в этих условиях успешное управление возможно лишь после некоторого обу­ чения, которое требует известной потери времени. Очевид­ но, что использование математических моделей быстрее и лучше приведет к успеху.

Последовательность этапов при оптимизации показана на рис. 1-3.

§ 1-2. Примеры задач идентификации и оптимизации

Вначале рассмотрим задачи идентификации (,пп. 1-3), приводящие .к построению математической модели.

Далее рассмотрены типичные задачи оптимизации (пп. 4-11), когда математическая модель управляемой систе­ мы известна из теоретических предпосылок или в результа­ те идентификации.

а—1зоз го с .

ИЛУ';:-/ . БиЯ-»;: *

Пункт 1. Задача построения Статической модели управляемой системы

Многие управляемые системы нормально функционируют в установившихся-режимах или фактор времени в них прак­ тически отсутствует. При анализе таких систем обычно ог­ раничиваются рассмотрением статической модели.

Для простоты примем, что имеется одна выходная вели­ чина у, которой в частности может быть и величина крите­

рия оптимальности системы. Если уравнения связи (1-3) для системы неизвестны, но наблюдается непрерывная зависи­ мость выходной переменной от управляющих воздействий, то можно предположить, что функция у{и\,,..., ит), допус­

кает разложение в ряд Тейлора в окрестностях заданной точки Uq (далее для простоты записи примем U0 = 0):

У(«1 . ., «„) = 0 <О,.\.,О) + 2 ( - ^ ) оИ,+

В- таком случае можно искать статическую модель систе­ мы в виде

ной связи между переменными, а может выполняться лишь в среднем, точнее, уравнение (1-6) является уравнением ре­ грессии выходной переменной относительно переменных

Wlj Um*

тт

(На практике в уравнении (1-7) ограничиваются квадратич­ ным приближением.)

Задача построения статической модели системы состоит в нахождении коэффициентов [Ьщ)}, дающих минимум

некоторой мере р несоответствия получаемой модели реаль­

18

ной системе. Часто за такую меру (критерий) берут величи­ ну среднего квадрата ошибки

Получаемую при этом модель называют оптимальной в смысле принятого критерия. Обратим внимание «а то, что в данном случае задача идентификации сведена к задаче оп­ тимизационной.

В ряде случаев в статическую модель для увеличения точ­

входных воздействий. Получение такой модели не отличает­ ся .существенно от рассмотренной выше задачи. Однако надо отмстить, что выделение переменных, наиболее существенно влияющих на выходную величину, с целью упрощения мо­ дели (1-8) для сложного многофакторного процесса пред­ ставляет собой самостоятельную задачу идентификации (за­ дача выделения существенностей), решаемую перед выше­ указанной.

Решение указанных задач основывается на обработке экс­ периментальных данных, которые могут быть получены по результатам нормальной эксплуатации управляемой системы (пассивной эксперимент), либо при изменении входных пе­ ременных (очевидно, только управляемых) но определенным законам (активный эксперимент).

Пункт 2. Задача определения функций чувствительности

При построении автоматических систем, обладающих ма­ лым реагированием на неизбежные разбросы конструктив­ ных параметров системы или на изменения возмущающих воздействий, а также при создании беспоисковых самона­

страивающихся систем, возникает задача определения функ­ ций чувствительности, с помощью которых получается необ­ ходимая для проектирования или настройки системы инфор­ мация о градиенте интересующей исследователя выходной переменной (в частном случае — критерия оптимальности) относительно управляемых (настраиваемых) параметров и возмущений.

Определение функций чувствительности может быть про­ ведено аналитически методом построения модели чувстви­ тельности, если известна математическая модель (1-3) ис­ ходной системы (Быховский М. Л., Мейоингер X., Мил­ лер К. и Мюррей Ф. и др.), или экспериментально, если та­ кая модель отсутствует (Красовский А. А. и др.). Рассмот­ рим вначале первый случай.

Пусть уравнение связи (1-3) (имеет вид

Y=F(Y, и, t),

где и — управляемый параметр из области Я„ допустимых

управлений, и пусть для любого заданного начального усло­ вия У(^о) = УобЯо, где Я0 — область допустимых начальных условий, существует единственное решение Y(/, t0, Yо, и),

причем в общем случае Yo(u) — некоторая однозначная функция параметра и, такая, что для всех и в Я„ выполняется условие YqBЯо.

Для однопараметричеокого семейства решений Y(t, и) — = Y(t, t0, Y0(u), и) определим функцию чувствительности

(уравнение модели чувствительности).

Если математическая модель системы отсутствует, то за­ дача экспериментального получения функций чувствительно­ сти относится к задачам идентификации.

Для рассмотренной в п. 1 задачи получение функции чувствительности (1-9), очевидно, совпадает с задачей опре­ деления коэффициентов bt(i = 1, пг) статической модели

(1-6), являющихся компонентами 'вектора градиента функ­ ции у(ии ..., Wm) в точке Uо; в этом частном случае указан­

ная в заголовке п. 2 задача формулируется как задача опре­

20