книги из ГПНТБ / Егоров С.В. Элементы идентификации и оптимизации управляемых систем учеб. пособие

П р и м е р 2-3 [2-4]. Рассмотрим аппроксимацию объекта

с передаточной функцией

+ Р

где $ —иТ — отношение постоянной времени объекта к по­

стоянной времени функций Лагерра. Снижение погрешно­ сти bN дри росте N для различных |3 при m—1, 2 показано

на рис. 2-7. Видно, что погрешность аппроксимации быстро

Рис. 2-7. Ошибка аппроксимации 5а(Р,УУ) для т<=1 (а),

т= 2 (б)

затухает с ростам N для широкого диапазона изменения (3. Ограничимся N=6. Если задаться допустимой погрешностью

аппроксимации 6Д0П, то из условия 6g(P) < 6Д0П можно

82

найти диапазон допустимого изменения постоянной времени объекта при выбранной величине параметра а. В частности,

вдоп —5 % I получаем:

m —1 0 , l 2 5 c r ' 8,0а-

т = 2 0,23 а ‘^ 7 ’^ 3,8а-

т —3 0,35 га-'^Г^З.Ои-

Понятно, что при £>д„п >5% или при N^>6 эти диапазоны расширяются, а при увеличении т — сужаются. Исследова­

ния показывают, что зависимость ошибки аппроксимации от выбора масштаба времени а имеет экстремальный характер с минимумом при а = Т. Поскольку параметр Т объекта

обычно неизвестен точно, то на практике, если имеется воз­ можность находить коэффициенты Фурье (2-58), выбор оп­ тимального и производят по критерию максимума величины

N

с?, . Аналогично поступают при выборе параметров дру-

п- 1

гих систем и для объектов, динамические характеристики ко­ торых ««известны [2-8]. Аппроксимация динамики объектов с запаздыванием, встречающихся в системах с распределен­ ными параметрами, обычно требует значительного увеличе­ ния числа N членов разложения, если время запаздывания /о сравнимо с временем памяти Ти (исключение составляет система функций задержки). Если величина t0 известна, то

целесообразно применять смещенные ортонормальные функ­ ции

Аппроксимацию многомерных объектов и оценку точно­ сти проводят аналогичным образом, если любой ik-й элемент

матричной импульсной характеристики принадлежит классу 7-2 функций с интегрируемым квадратом.

Аппроксимативная модель многомерного объекта пред­ ставлена на рис. 2-8 (показаны лишь цепи прохождения i-ro воздействия).

Представление характеристики в форме (2-50) можно рассматривать и как представление выходной переменной модели через набор «стандартных реакций» {sn(t) };

N

sn(t) = f %(T)u(t — x)dx.

о

Недостатком рассмотренных аппроксимаций является сложная связь коэффициентов {сп) с коэффициентами

дифференциальных уравнений (2-16). С этой точки зрения

представляется предпочтительной аппроксимация непосред­ ственно дифференциальных уравнений с помощью линейных комбинаций операторов дифференцирования или интегриро­ вания. Например, решение уравнения

V

11 < V,

/*0

84

можно аппроксимировать в виде (2-63), если за стандартные реакции взять

Поскольку часть стандартных реакций зависит от выход­ ной переменной, что затрудняет идентификацию при нали­ чии помех, а также ввиду известных -недостатков примене­ ния дифференциаторов указанный тип аппроксимации не получил распространения.

§2-7. Характеризация одного класса нелинейных систем

Вотличие от линейных систем, где принцип суперпози­ ции делает весьма эффективным описание с помощью вре­ менных или частотных характеристик, для нелинейных си-

МНЧ

Рис. 2-9. Простейший нелинейный объект

стем универсальной является только характеризация с по­ мощью дифференциальных уравнений. Однако для широко­ го класса нелинейных систем, представляющих последова­ тельное соединение устойчивой линейной части ЛЧ и безынерционной нелинейной части НЧ, у которой связь между входом и выходом дается аналитическими функциями, возможно применение аналогов рассмотренных временных и частотных характеристик.

Рассмотрим для простоты одномерный объект указанного класса (рис. 2-9), у которого линейная часть описывается импульсной характеристикой 1щ(т), а нелинейная может быть аппроксимирована с любой точностью в заданном диа­

85

пазоне изменения переменных некоторым полиномом. Тогда выражение

перепишем в виде функционального ряда Вольтерра

где = ао —постоянная, не зависящая от входного воздей­ ствия, Ш/,(ть ..., тл) — ядро Вольтерра k-ro порядка (й-мерная импульсная характеристика); в данном случае k-e ядро яв­

ляется сепарабельным (разделимым по аргументам т<):

Помимо указанных полиномиальных систем «ЛЧ —НЧ», точная характеризация с помощью рядов Вольтерра возмож­ на для нелинейных систем, описывающихся уравнением

где Л — линейный дифференциальный оператор, являющий-

d

ся полиномом отр = — , dt

/•’ — нелинейная аналитическая функция, производные которой удовлетворяют условиям экспоненциаль­ ной ограниченности Липшица [2-10].

Надо отметить, что указанный тип систем весьма широко распространен на практике: сюда относятся многие сущест­ венно нелинейные технологические процессы [2-8], лине­ аризуемые процессы с вычислительными устройствами, у которых выходные переменные получаются в результате ко­ нечных преобразований F над переменными процесса, на­

пример,

j X =АХ + BV,

I Y = F(X),

а также целый ряд других [2-9, 2-10]. Хотя до сих пор не вы­ явлены все классы нелинейных систем, допускающих точное

86

представление рядами Вольтерра, практически считают, сле­ дуя Винеру, что сюда можно отнести большинство нелиней­ ных систем «спокойного типа» (без самовозбуждения и ав­ токолебаний), имеющих конечную память.

Как и в линейном случае (2-50), представим k-e ядро в

виде

Однако в отличие от линейных систем, являющихся част­ ным случаем рассматриваемых (с ядрами только первого по­ рядка), синтез функций {"ФмС*)} от нескольких переменных сопряжен со значительными трудностями. Дело в том, что

ядра в общем случае произвольны и поэтому не могут быть представлены в форме (2-65), допускающей их простое мо­ делирование (рис. 2-10,а). Известно несколько методов син­

теза ядер произвольной структуры.

По Винеру [2-9], многомерное ядро разлагается в беско­ нечный ряд по ортонормальным функциям и аппроксими­ руется линейной комбинацией сепарабельных ядер:

87

где коэффициенты Фурье функции Wk в системах

находятся как

ею

Схема синтеза ядра при этом аналогична рис. 2-10,а. Другой метод состоит в использовании свертки функций

[2-11], когда, 'например, ядро второго порядка представляется в виде

(схема моделирования дана на рис. 2-10,6). Такой синтез ядер является более общим, чем по Винеру: например, для к —2 схема (а) получается из схемы (б) при ta»ic(т) = б(т);

в то же время такой синтез расширяет класс нелинейных систем, описываемых рядом Вольтерра, позволяя включить сюда системы типа «НЧ—ЛЧ», обычно описываемые функ­ циональным уравнением Хаммерштейна:

y(t) = H[v(l)) = ]w(t, x).F(v(x), х) dx.

О

Преимущества схем типа (6) становятся очевидными на простейшем примере.

Рассмотрим две одномерные нелинейные системы, пред­ ставляющие последовательное соединение ЛЧ с импульсной характеристикой w(x) и НЧ в виде квадратора и различаю­

щиеся лишь последовательностью соединения. Для системы «ЛЧ —НЧ» обе схемы моделирования получаются эквива­ лентными (в схеме (б) при этом, как указано выше, до1с(т)=> = 6(т)), но для системы «НЧ—ЛЧ» схема (а) требует бес­

88

ложняются я допускают неединственное представление [2-11]. Поэтому получил распространение метод Винера, тем более, что для реальных систем обычно ограничиваются не­ линейной моделью второго порядка (это позволяет анали­ зировать системы с экстремальными характеристиками) и ог­ раниченным числом N членов аппроксимации, поскольку

коэффициенты (2-68) весьма быстро затухают с ростом их номера. Таким образом, будем далее рассматривать нелиней­ ные системы с ядрами первого и второго порядков, когда модель ядер представляется в виде, аналогичном (2-50):

N

Рис. 2-11. Структура модели многомерной нели­ нейной системы

искомые коэффициенты разложения могут быть найдены наиболее просто:

89

JM L w{i) ( а )

I !

Для систем, передаточная функция линейной части ко­ торых имеет простые полюса, как показывает анализ, доста­ точно ограничиться в (2-68) Л ^ 6 , при этом члены с (v + p)>*6 дают лишь незначительное улучшение точности модели. Это обстоятельство может быть использовано при упрощенной характеризации нелинейных систем.

Аналогично линейным системам характеризация рассмат­ риваемого класса нелинейных систем возможна также с по­ мощью многомерной передаточной функции, определяемой как многомерное преобразование Лапласа от соответствую­ щего ядра

Щ(Р1. Рк)==

во «•

оо

Как и iB линейном случае, введение передаточной функ­ ции упрощает математические преобразования при анализе. Так, если во временной области

Обратный переход во временную область осуществляется с помощью обратного многомерного преобразования Лап­ ласа, при этом действительная реакция находится как

90