книги из ГПНТБ / Егоров С.В. Элементы идентификации и оптимизации управляемых систем учеб. пособие

ная комбинация гладких функций является гладкой. Следо­ вательно, выбор гладких функций [4с| является регуляризующмм фактором.

§3-4. Регуляризация в задачах идентификации

В[3-3] было показано, что все задачи статистической дина­ мики систем, приводящие к решению интегральных уравне­ ний первого рода (типа (3-12), (3-14)), являются некоррект­

ными, ибо в них отсутствует непрерывная зависимость ре­ шения от вариации исходных данных. Аналогичное явление наблюдается и при решении систем алгебраических уравне­ ний (типа (3-15), (3-24)), коэффициенты при неизвестных у которых вычисляются статистически. Рассмотренные выше эффективные методы регуляризации приводили к требова­ нию диагонализации квадратных матриц коэффициентов си­ стемы алгебраических уравнений, что предполагало некор­ релированность входных воздействий между собой и равно­ мерность спектра в полосе частот пропускания объекта. Практически оба условия могут быть выполнены только при активном методе идентификации, имеющем ограниченную область применения. Рассмотрим поэтом некоторые приемы регуляризации при пассивной идентификации. Однако здесь следует отметить, что приемы регуляризации будут беспо­ лезны, если не выполняются необходимые и достаточные ус­ ловия идентифицируемости (см. § 3-1). В силу своего ха­ рактера при пассивной идентификации возникает проблема

достаточности входного воздействия для выявления всех ди­

намических особенностей системы. Практически, в силу того, что нас обычно удовлетворяет упрощенная модель, достаточным при пассивной идентификации воздействием можно считать такое, которое позволяет выявить динамичес­ кие особенности системы в интересующем нас диапазоне частот, что предполагает достаточную гиирокополосностъ и мощность входного воздействия. Действительно, из (3-17)

можно видеть, что при погрешностях A«Si, А5г в вычислении спектров (или статистических моментов) получаемая оценка динамической характеристики на частоте со* равна

Щ(74) = (S,0/(/4) + ASX) • ^ 4 ) + AS*)-1. (3-40)

Увеличение точности вычисления исходной информации, например, за счет увеличения времени усреднения, приво-

111

дящее к уменьшению ASi, А5г, будет эффективным лишь в том случае, если на исследуемой частоте S^(Mk)=£0.

Основными приемами регуляризации по Тихонову явля­ ются:

квазидиагонализация сигнальных матриц, приводящая к лучшей обусловленности системы алгебраических уравне­ ний;

сглаживание получаемого решения.

Рассмотрим первый прием.

При решении систем (3-15) или (3-24) предполагалось, что их сигнальная матрица является неособой. В случае пло­ хой обусловленности, когда величина det[S] мала, можно ее искусственно увеличить за счет усиления главной диагонали, приняв в качестве новой матрицы оистемы

где а > 0 — параметр регуляризации.

Сглаживание решения по Тихонову осуществляется при введении в критерий идентификации величины, характери­ зующей в некотором смысле негладкость получаемого реше­ ния. В частности, вместо критерия (3-3) можно выбрать новый

Понятно, что негладкие решения ш(0) типа изображен­ ного на рис. 3-2 уже не будут оптимальными по такому кри­ терию. Чтобы пояснить эффект сглаживания, рассмотрим идентификацию одномерного объекта (рис. 1-4). Для такой схемы при эргодическом воздействии v(t) получаем

00

112

Оценка wa динамической характеристики, 'найденная из

d J a

условия —— = 0, определяется как dw

wjj<s>)= S yV(jo)) • (S„(co) + асо5)-1 =

Первый сомножитель представляет оценку АФХ, найден­ ную по критерию (3-3) (см. § 3-2), второй — низкочастот­ ный нуль-фазовый фильтр, не искажающий действительной

ренность, что таких выбросов ,в действительной характери­ стике нет), но также и уменьшает влияние погрешностей Д5Ь AS2 при определении спектров на частотах, мощность которых незначительна.

Легко заметить, что сглаживание по Тихонову вызывает смещение находимых оценок, и это в значительной мере снижает ценность такой регуляризации, так как уничтожая

Удовлетворительных результатов, но не более, поскольку из недостоверных статистических данных нельзя получить досто­ верный результат. А повышение достоверности исходных данных связано с увеличением или числа экспериментов, или времени усреднения.

§ 3-5. Идентификация с пробными воздействиями

Рассмотренные в предыдущем разделе приемы регуляри­ зации обычно .применяют лишь при идентификации каналов возмущений, используя данные нормальной эксплуатации объекта. При идентификации каналов управления целесооб­ разнее применять пробные воздействия \Pi\t) подаваемые

аддитивно управляющим, как это было указано в § 3-3. Из-за статистического характера обработки данных можно снизить Уровень пробных воздействий до величины, которая практи­ чески нс приводит к нарушению нормальной эксплуатации

■частотах, что оправдано на практике. Поскольку такой сиг­ нал лишь приближенно, с точностью до е удовлетворяет ус­ ловию ортогональности (3-35) при выборе ортогональной системы (ф„), то из условия

можно получить ограничение на величину То при заданных

параметрах системы {фп( (3-9]. В частности, для системы функций Лагерра (2-52), характеризуемой единственным па­ раметром а, получаем из (3-45) при е^0,06

(так при е= 5% получаем Та > (6а)~1. Интересно, что при

условии (3-46) наблюдается нормализация стандартных ре­ акций

оо

поэтому коэффициенты Фурье (3-39) могут быть найдены по схеме рис. 3-6:

"релейная стандартная реакция [3-9].

115

При технической [реализации схема рис. 3-6 может быть упрощена за счет:

использования одной периодически повторяющейся реа­

TN^ T n^>TN- i> T N- 2>..., где Тп — время памяти объекта;

применения N периодически повторяющих!ся реализаций релейных стандартных реакций (3-48) вместо N элементов

системы | }.

Указанные реализации записываются на (У+1)-й дорож­ ке кодирующего диска двумя признаками в соответствии со знаком пробного сигнала или релейной реакции [3-10]. В реализованном анализаторе АДХ-2М [3-11] количество од­

стигается смещением считывающего устройства для пробно­ го [сигнала, с помощью такого анализатора можно проводить анализ объектов с запаздыванием. Отметим, что за счет ко­ нечного времени усреднения при вычислении коэффициен­ тов (3-48) возникает ошибка

реднения из условия, что относительная дисперсия ошибки А(Г) не превышает допустимой величины е

Так, для нормальных процессов {sni(/)j, y(t) при отсут­

ствии помех время усреднения должно удовлетворять усло­ вию [3-11]

Т > _____2_____ у *е Л4* {у •s„/}

116

Для объектов, у которых j wt (/со) j < w{(0) ,с учетом (3-30)

и (3-44) получаем для ПДШ

В частности, для (системы функций Лагерра при условии ортогонализации и нормализации стандартных реакций (и70=1/6) получаем

Расчеты показывают, что время усреднения должно быть в десятки раз больше времени памяти при е= 5%. С учетом помехи, к которой следует отнести составляющую выхода, не обусловленную пробным сигналом, это время еще увели­ чивается. Его можно сократить, применяя детерминирован­ ные широкополосные пробные сигналы.

§ 3-6. Пробные сигналы для идентификации

Среди всевозможных пробных сигналов следует выбрать такие, которые минимизируют дисперсию ошибки иденти­ фикации (например, для ошибки (3-49) в вычисляемых ко­ эффициентах) при фиксированном времени усреднения Г и различных ограничениях на характеристики сигнала (мощ­ ность, амплитуду и др.), которые диктуются особенностями идентифицируемого объекта и применяемой аппаратуры. Такие сигналы можно считать /^оптимальными. Возможны и другие критерии оптимальности пробного сигнала в соот­ ветствии с выбранным критерием идентификации.

Основные требования к пробным сигналам легко полу­ чаются из условий (3-34) и (3-35) ортогонализации сигналь­

ной матрицы |Snm) по верхним и нижним индексам. С уче­ том конечности времени Тп памяти идентифицируемых объектов эти условия можно ослабить, поэтому условие (3-34) следует заменить условием некоррелированности за время памяти пробных сигналов с другими воздействиями

объекта. Для записи этого условия удобно приведенную к выходу объекта помеху измерения, т. е. составляющую, не обусловленную пробным сигналом, представить на интерва-

117

ле 'времени усреднения (О, Т] в виде полинома по 'степеням t

или рядом Фурье. Тогда условия некоррелированное™ за время памяти пробных сигналов с другими воздействиями примут вид:

г

где индекс k относится к составляющим приведенной поме­

хи;

Установлено, что оптамальные пробные сигналы следует искать в классе функций с неслучайными параметрами. Этим объясняется широкое применение детерминированных сигналов — гармонических, прямоугольных или треугольных периодических, сигналов Хаффмена, Йенсена, Баркера и др. Среди негармонических сигналов наибольшее применение нашли сигналы Хаффмена — «сигналы, эквивалентные им­ пульсу», корреляционная функция которых R„(т) близка к

6-функции в некотором диапазоне |т| <То [3-12]. Такие сиг­ налы являются периодическими шумоподобными последова­ тельностями и могут иметь различные плотное™ распреде­ ления по амплитуде при одинаковой корреляционной функ­ ции. Из теории интерполяции известно, что число уровней независимой переменной должно быть на единицу больше степени интерполяционного полинома. Поэтому для иден­ тификации линейных объектов достаточно иметь два уровня пробного сигнала; для нелинейных объектов с квадратич­

ными членами — три и т. д. Вследствие этого для получения линейной модели объекта широко применяются пробные

118

сигналы Хаффмена с двумя уровнями -t- псевдослучайные двоичные сигналы (ПСДС), внешне совершенно аналогич­ ные ПДШ (см. § 3-5). Уровни такого сигнала в основном и определяют диапазон линеаризации идентифицируемого объекта при малоизменяющемся рабочем сигнале. Время ана­ лиза обычно выбирается кратным периоду сигнала, который, как это следует из (3-53), должен быть больше времени па­

этом N= 4k±l, где k — целое, N — простое число.

3.Я —сигналы (последовательности Холла), N—4&2 + 27, где k — целое число.

4.С —сигналы, N = k(k + 2), где k, k + 2 —простые числа. Наиболее полно исследованы свойства М — сигналов, лег­

ко получаемых с помощью регистров с логическими обрат-

Рис. 3-7. Корреляционная функция (а) и спектр (б) М - сиг­ нала

ными связями [3-15]. Легко заметить, что все указанные сиг­ налы имеют нечетное число квантов N в периоде, поэтому

содержат постоянную составляющую, что противоречит ус­ ловию (3-53а) для к —0, которая правда, исчезает при

Л/-у ос. В силу этого и корреляционная функция, например, Я-аигнала (рис. 3-7,а) отлична от нуля при |т| >Го, что при­ водит к нарушению условия (3-54). Спектр такого сигнала

119

зависит рт числа- v периодов повторения, и при v-> превращается в линейчатый с частотами гармоник

®h—2nk(NTo)~\ /е = 1, 2, ... (рис. 3-7,6). Однако вносимые

при этом ошибки, связанные с конечностью периода сигна­ ла, могут быть, либо оценены заранее, либо уменьшены до допустимых величин при увеличении N и подборе О-опти­

мальной реализации. Первый путь обычно используется при определении ординат импульсной характеристики w(kTo), k — 0, 1, ..., Та/То, а второй при вычислении коэффициентов

Фурье разложения по ортонормальным функциям (ф„). Например, при реализации анализатора АДХ—2МЭИ раз­

т. е. регистра сдвига с обратной связью, включающей схему

двоичными разрядами равно 2"*, однако надо исключить слу­ чай, когда во всех разрядах имеется нуль, и схема не может изменить этого состояния. Поэтому наибольший период М-сигнала равен 2m— 1 тактов. Из рассмотрения работы ре­ гистра следует, что значение М-сигнала на k-м такте пол­ ностью определяется состоянием регистра на т предшест­

120