книги из ГПНТБ / Егоров С.В. Элементы идентификации и оптимизации управляемых систем учеб. пособие

УУ представляет собой «сигнум-реле», в которое входит запоминающее устройство ( ЗУ) и реле, управляющее реверсом И Д . Запоминающее уст­ ройство сделано таким образом, что при снижении уровня сигнала, по­ ступающего в него, оно запоминает максимально достигнутое значение. Если целевая функция (показатель оптимальности) измеряется напряже­

колебания, амплитуда которых (рысканье) определяется (величиной ЛСД0П.

блок-схема (а), вариант ЗУ (6), диаграмма ра­ боты (в)

В схеме рис. 4-12,6 при каждом срабатывании «сигнум-реле» замыкается контакт реле.

При наличии в объекте инерционности или запаздывания рысканье, очевидно, возрастает тем больше, чем больше инерционность, поскольку

мальное значение (штрих-пунктир на рис. 4-12,я). Для снижения потерь на рысканье можно уменьшить скорость изменения и (<)■ однако это при­ водит к снижению быстродействия СЭР.

Недостатком рассмотренной схемы СЭР является также необходимость

прохождении экстремума, поскольку в последнем случае система начнет

171

изменением управляющего воздействия. В этом случае (при Gz > G u) вместо уменьшения сигнала на выходе (после момента (о) происходит его увеличение, поэтому реверса не происходит, и система удаляется от экстремума.

Для обеспечения устойчивости применяют различные способы стаби­ лизации: а) периодическое реверсирование ЯД независимо от «оипнумреле», осуществляемое специальным коммутатором поверочных реверсов,

Gz < 0,5 G u [4-11].

Способ в) применен в электронном регуляторе ЭРА-2 (схема регуля­ тора 1А01-1) [4-11]. С помощью специальной приставки регулятор ЭРА-2 может проводить оптимизацию по шести поочередно коммутируемым каналам управления, .при этом осуществляется поиск по методу Гаусса— Зайделя.

Пункт 2.

В градиентных СЭР получили распространение регуляторы с шаговым

172

стигнутое на предыдущем шаге. Этот сигнал подается на вход интегра­ тора. При достижении выходной величиной порогового значения ± v„ срабатывает реле блока формирования управляющего сигнала БФУС и

быть увеличено до шести. При этом используется временное разделение каналов, и траектория поиска совпадает с траекторией метода Гаусса—

А

пение G в пропорциональную частоту импульсов f a , которые поступают

Г л а в а 5

ДИНАМИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ

Движение есть изменение вообще.

(Г егель)

... Будущее, которое, как известно, бросает свою тень задолго перед тем, как войти, стучало в окно.

(А. Ахматова)

Как указано во введении, к динамической оптимизации отнесен круг проблем, возникающих .при экстремизации функционалов. В этой главе рассмотрены в основном неклаосические вариационные задачи (ом. § 1-3), возникающие при управлении системами в переходных режимах с ограни­ ченными возможностями управляющих воздействий, что проявляется либо в задании жестких ограничений типа не­ равенств, либо в задании стоимости управления в критерии оптимальности. При описании движения динамических си­ стем принята концепция состояния. Поэтому указанные за­ дачи можно сформулировать как задачи перевода системы из заданного начального в конечное состояние (или задан­ ное конечное множество), которое может быть фиксирован­ ным или подвижным. Естественно, при этом возникает во­ прос: можно ли с помощью допустимых управлений достиг­ нуть целевого состояния (множества) за ограниченное вре­ мя? Положительный ответ на этот вопрос позволяет перейти к следующему этапу — нахождению самого оптимального управления. Для этого используются различные условия, сформулированные или в виде уравнений (Веллмана, Га­ мильтона—Якоби и др.), или в виде вариационных принци­ пов (Гамильтона, максимума, экстремального выбора на­ правления и др.). Условия оптимальности в конечном итоге приводят к решению двухточечных краевых задач для диф­ ференциальных уравнений, которые лишь в простейших, правда, практически важных .случаях сводятся к стандарт­ ным одноточечным задачам. В этой связи значительный ин­ терес вызывают вычислительные аспекты решения таких за­ дач с помощью вычислительных машин и способы построе­

175

ния простых в реализации, .но близких к оптимальным сис­ темам.

В заключение рассмотрены проблемы управления систе­ мами, состояние которых зависит не только от управляющих, но и возмущающих воздействий. Характерной особенностью реализации оптимального управления в таких системах яв­ ляется необходимость прогнозирования возмущенного дви­ жения.

§ 5-1. Особенности задач динамической оптимизации

Далее будут рассматриваться динамические системы, в отношении которых предполагается существование единст­

начальном состоянии Xт и если па нее действовало управляющее воздействие U.

К таковым, в частности, относятся все системы, описывае­ мые обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Рассмотренное в § 2-2, 2-5 понятие управляемости необ­ ходимо уточнить для случая, когда на управление наложены жесткие ограничения. Дело в том, что управляемость сис­ темы в смысле'(2-11) (по Р. Калману) может достигаться при управлениях, не являющихся допустимыми, • т. е. не

удовлетворяющих ограничениям при переводе системы в за­ данное состояние. В этом плане критерий (2-46) имеет смысл критерия «потенциальной» управляемости, показывая, что при заданной структуре линейной системы, определяе­ мой парой матриц А и В, можно найти управление, перево­ дящее ее из начального состояния Хо в желаемое X* за ко­

нечное время. Однако такое управление может оказаться не­ реализуемым из-за ограничений, и, следовательно, пол­ ностью управляемая по Калману система может оказаться неуправляемой практически относительно некоторых со­ стояний. Очевидно, что для неуправляемых систем опти­ мальное управление не существует.

Эта особенность характерна для задач динамической оп­ тимизации. В отличие от задач статической оптимизации, где отсутствие решения обычно наблюдалось там, где об­ ласть Qu оказывалась незамкнутой (противоречивость огра­ ничений обычно свидетельствует о некорректной постановке

176

задачи и в расчет не принимается), в задачах динамической оптимизации оптимальное решение находится проще всего именно при отсутствии ограничений на управления (при этом для управляемой по Калману системы вопрос о сущест­ вовании решения не ставится), и чем уже область, тем слабее возможности управления и тем более вероятна не­ управляемость системы. Здесь и встает вопрос о существова­ нии оптимального управления для заданной конкретной системы при заданных ограничениях и начальных и конеч­ ных состояниях. В связи с постановкой такого вопроса рас­ смотрим понятие достижимости в (п+1)-мерном простран­ стве с п координатами состояния системы Х=(х\, ..., хп) и

координатой времени (аналог четырехмерного пространства Минковского в физике).

Назовем состояние (Xr, Т) достижимым из состояния 1(Х0, /о) относительно Q„, где -to^ Т, если найдется такое

'I'fi 12ы, что

Хт=ц>(Т; Хо, to, U).

Множество D=D(Xo, to, Т, Qu), образованное множеством достижимых состояний (Хт, Т) при заданном Ии называется областью достижимости относительно Хо, to, Й„.

Если при этом Г есть время первого достижения, то разность Т—to называется временем перехода. По мере уве-

.личения Т при фиксированном to область достижимости рас­ ширяется (возможно, ограниченно) и образует при Т-

юбластъ управляемости D В дополнение к поня­

тию управляемости по Калману будем называть

оистему управляемой относительно многообразий

ным и свободным временем: если величина Т задана, то ис­

кать оптимальное управление имеет смысл лишь в случае, когда конечное состояние Xr eDr, в противном случае реше­ ние не существует; если же величина Т свободна, то необ­

ходимым условием существования решения является условие Хт е или Л ' Г г (конечно, везде предполагается управ

ляемость по Калману). Таким образом, выявление областей DI и (или l'i и Гг) является одним из предметов теорем

существования решения соответствующих вариационных задач.

В настоящее время теоремы существования доказаны в формах, требующих дополнительных исследований в прило­ жениях. Достаточно просто можно получить необходимые условия существования. Например, легко видеть, что усло­ вий

где 0 —пустое множество, является необходимым для су­

ществования оптимального управления относительно (ло, /о) и Qu. Значительно более сложно установить достаточ­ ные условия существования. Если без потери общности по­ ложить, что критерий оптимальности определяется лишь конечным состоянием <1* (Xr, Т) (для этого достаточно ввести

лунепрерывна снизу*. Тогда оптимальное управление отно­ сительно (Хо, to) и Qu существует.

Поскольку в приложениях условие полунепрерывное™

пукло, установление компактности Ът часто оказывается

достаточным для существования оптимального управления. Здесь могут быть полезными следующие теоремы.

Теорема 5-2 [5-10]. Для системы X —A (t)X + B(t)U, (5-5)

где управление U (t) состоит из кусочно-непрерывных функ­ ций U 6Qu(t), причем все множества Qu(0 содержатся в сфере 5(0, М) :|| U\\'h^ZM, множество DT ограничено для лю­ бого T^>to.

Теорема 5-3 [5-12]. Для системы (5-5) с A {i)—A, B (t)= B , где управление U(t) состоит из измеримых функций, удов­

* Множество называется компактным, если оно замкнуто и ограничено. Функция ([) называется полунепрерывной снизу в точке (Хт, Т) , если для t >0 найдется такое &>0, что

|(X, / ) - ( Х т , Г)||-.б=:Ф ( Х 1 I) < Ф (Х т , Т) у а.

178

летворяющих ограничению UsQu(t), где множества Q„(0:

1)выпуклы, 2) содержатся в некоторой сфере 5(0, М)е/?га,

3)замкнуты в R,„, множество DT замкнуто для любого

7>/0.

для избежания удара о станцию [5-1]. Уравнение движения ракеты имеет

вид

X= / (х, х, и),

J*l=*2,

*2= /(*1, *2. к)-

Рис. 5-1. К задаче наискорешнсго встречи ракеты с косми­

ческой станцией: схема встречи (а), траектории встречи и

облапь упраилнемопн (6)

§ 5-2. Динамическое программирование

Термин «динамическое программирование» (ДП) полу­ чил распространение после появления в 1957 г. работы того

же названия [5-2], в которой обобщались результаты Р. Велл­ мана по оптимизации различных классов систем. Предло­ женный им метод решения задач оптимизации базируется на

принципе оптимальности:

Для управляемой системы под «поведением» следует по­ нимать ее движение, а под «решением» — выбор управления ею. Получим условия оптимальности предположив, что опти­ мальная траектория и конечное состояние (Хт, Т) найдены.

Определим скалярную функцию, называемую в дальнейшем потенциалом управления или просто потенциалом (некоторые

авторы называют се функцией Ляпунова—Веллмана), как минимальное значение критерия оптимальности (1-27), ко­ торое получается для заданного в момент времени t состоя­ ния (X, t) при оптимальном управлении:

Предполагая, что потенциал является гладкой функцией состояния (что не всегда справедливо, например, в задачах линейного быстродействия), при разложении по Тейлору получаем

где 0(AX, At) содержит члены более высокого порядка.

Сократив в обеих частях равенства /*(Х, /), а также разде­

160