книги из ГПНТБ / Егоров С.В. Элементы идентификации и оптимизации управляемых систем учеб. пособие

лив обе части равенства на Д/, получаем при Д/->-0 диффе­ ренциальное уравнение Веллмана относительно потенциала

дает необходимое и достаточное условие оптимальности, по­ скольку управление, доставляющее минимум выражению в фигурных скобках, является искомым оптимальным управле­ нием. Если выражение в скобках непрерывно по У и на него не наложено ограничений (это соответствует постановке классической задачи динамической оптимизации — см. п. 4 § 1-3), то из необходимого условия минимума

которое дает управление как функцию от состояния систе­ мы (управление типа обратной связи), поскольку потенциал сам является функцией состояния. Однако пока мы не мо­ жем указать явное выражение для экстремального управле­ ния, поскольку уравнение Веллмана (5-8) еще не решено и потенциал J*(X, t) не найден. Однако, если найденное из

(5-9) управление действительно минимизирует правую часть

позволяют найти оптимальное управление и потенциал. Оче­ видно, они являются лишь необходимыми условиями опти­

мальности. Решение уравнения (5-11) возможно лишь в про­ стейших случаях, поскольку оно в общем случае нелинейно. Удобно представить его в иной форме, как это было сдела-

181

mo с уравнением Эйлера—Лагранжа в и. 4 § 1-3, когда урав­

нение системы имеет вид X= F(X, U, i).

Определим скалярную функцию—гамильтониан:

Тогда от (ууного скалярного уравнения (5-11) в частных производных можно перейти к двум векторным (или 2п ска­

лярным) обыкновенным дифференциальным уравнениям Га­ мильтона относительно состояния и градиента потенциала,

Как и (5-11), уравнения (5-13) дают лишь необходимые условия оптимальности, причем более удобные, чем (5-11), поскольку градиент потенциала входит в оптимальное управ­ ление (5-10). Градиент потенциала называют также сопря­ женным состоянием, так как по форме уравнения для .него имеют характер сопряженных уравнениям состояния, как это видно из (5-13). Отметим, что в задаче без ограничений последние уравнения эквивалентны уравнениям (1-46), при этом вектор ф совпадает с вектором множителей Лагранжа. Показано (5-1], что уравнения Гамильтона (5-13) остаются справедливыми не только при наличии ограничений, но и в случае, если условия гладкости функции /*(Х, t) не вынол-

182

няются на некотором множестве состояний. Поэтому урав­ нения Гамильтона (5-13) играют большую роль во всей тео­ рии оптимального управления динамическими системами. Решение уравнений Гамильтона, как и уравнений ЭйлераЛагранжа (1-40), приводит к двухточечной краевой задаче (ДКЗ) (см. п. 4 § 1-3). В следующем разделе будет рассмот­ рен практически важный случай, когда ДКЗ можно свести к несравненно более простой одноточечной задаче и получить явное выражение для оптимального управления типа обрат­ ной связи.

В заключение заметим, что уравнение Веллмана в прило­ жениях может иметь вид иной, чем (5-8). Например, для за­ дачи оптимального по быстродействии! перевода стационар­ ной системы в заданное состояние Хт, уравнение (5-8) при­

нимает вид

i/eiiu ал

где Т — минимальное время указанного перевода.

§ 5-3. Аналитическое конструирование регуляторов

Термин «аналитическое конструирование регуляторов» был введен в 1960 г. в работах А. М. Летова и Н. Н. Красов­ ского ,[5-3—5-5]. Он относится к методике аналитического выражения оптимального управления системой как функции ее состояния, что позволяет легко решить задачу синтеза оп­ тимального регулятора. Получаемая при этом система авто­ матического регулирования оптимальным образом ликвиди­ рует начальные отклонения от состояния равновесия и яв­ ляется асимптотически устойчивой при бесконечном интер­ вале оптимизации.

Дальнейшее изложение здесь следует работам Р. Калмана |5-6, 5-7], который также занимался указанной проблемой.

Пункт 1. Задача стабилизации

Рассмотрим линейную, управляемую но Килману систему

ров (пХп), (пХ.т ), которую требуется перевести за время

183

(Т—to) из состояния Х0 в равновесное состояние или близкое

ему таким образом, чтобы минимизировать функционал

т

У = 1 х т(Г)Ф(7’)Л(7,) + -iJ(XTQ(0 X + mR(t) U)dt, (5-17>

где Q, R — симметричные /положительно определенные маг рицы коэффициентов (пХ п ), (mXm) • Решение этой задачи дается теоремой 5-4. [5-7].

Для любых Хо, t0 задача регулирования в пространстве состояний имеет решения. Оптимальное управление для этой задачи задается в виде функции состояния

где K(t) —единственное решение уравнения Риккати

k —KBR~'BTK—ATK—KA —Q,

удовлетворяющее условию К(Т) = Ф (Т). Оптимальная, тра ектория системы определяется решением дифференциального уравнения

X= (A -B R -'B TK)X

сначальным условием Х(10) —Хо. Наконец оптимальное ка­ чество вычисляется по формуле

J*(Xo, t0) = ± - X o TK(to)X.

Для доказательства рассмотрим функционал (5-17). Мож­ но показать, что решением уравнения Гамильтона—Якоби (5-11) является положительно определенная квадратичная форма

только от времени. Тогда, подставляя (5-19) в (5-8), полу­ чаем из условия (5-9) непосредственными выкладками опти­ мальное управление

которое соответствует нестационарной отрицательной об­ ратной связи, при этом матрицу F(i) можно назвать матри­

184

цей коэффициентов усиления регулятора. Чтобы найти K(t),

подставим (5-20) в (5-11), что дает

- ХТКХ = XTQX+ XrK BR'ВТКХ + 2.V'Л ' К Х - 2 Х ' К BR ' /ГКХ

(для простоты записи зависимость матриц от времени опу­ щена), пли окончательно, учитьшая произвольность X и сим­

метричность квадратичной формы:

с краевым условием К (’Г )—Ф (Т). Таким образом, в данном

случае, т. е. для линейной системы с квадратичным крите­ рием оптимальности, удается избежать решения двухточеч­ ной краевой задачи. Полученное уравнение удобно решать на вычислительных машинах в обращенном времени x = T —t, тогда К(Т) = К *(0), где К *(т) — решение сопряженной

системы. При этом решение для (5-21) должно выбираться из условия положительной определенности квадратичной формы (5-19) (критерий Сильвестра):

можно опустить, поскольку он постоянен для любых Хп), то

в предположении, что существует

оптимальный закон управления (регулятор) получается ста­ ционарным:

где К удовлетворяет уравнению

которое .получается из (5-21) три К — 0 как уравнение уста­

новившегося режима. Указанное предположение выполняется для систем, полностью управляемых, в смысле (2-11), при

185

этом получаемая система регулирования оказывается устой­

также можно использовать стационарный регулятор (5-23), поскольку решение уравнения Риккати (5-21) практически постоянно на интервале [to, Т—Т„].

2. Оптимальная стационарная система регулирования ( г. е. при Т— >->) оказывается абсолютно устойчивой, даже

если система (5-16) неустойчива. В самом деле, если бы это было не так, то некоторые из координат не стремились бы к нулю; следовательно, потенциал J*(X 0, to) был бы беско­

нечен, что не так.

3. Рассмотренный регулятор является оптимальным лишь при возмущениях начального состояния системы. Такие за­ дачи встречаются при проектировании автопилотов [5-8], систем наведения на неподвижные цели и др., когда в про­ цессе движения система уже не подвергается другим воздей­ ствиям, кроме управляющих.

4. На практике часто возникает задача регулирования вы­ хода. Если последний линейно связан с состоянием ( Y= СХ), а критерий оптимальности имеет вид

т

.! — УТ(Т)Ф (Т) Y(Т) + J (yj'Q(/) Y + U‘R (l) U)dt,

in

то для полностью наблюдаемой в смысле (2-15) системы су­ ществует взаимно однозначное отображение пространства выхода на пространство состояния. Поэтому задача эквива­ лентна минимизации функционала

г

186

где k(t) находится из уравнения Риккати

к= — 2ак +г 1• к'2— г/, к( Т) f.

В данном случае можно получить аналитическое решение,

11а рис. 5-2,а, б показаны оптимальные траектории и уп­

равления для различных коэффициентов стоимости последпесо: если управление «дорого», то оно «расходуется» весьма экономно, поэтому отклонение состояния от нуля убывает весьма медленно; при малой стоимости управляющее воздей­ ствие весьма интенсивно (при г-*-0 оно приближается к им­

пульсной функции), поэтому и отклонение быстро сводится к пулю.

На рис. 5-2,« показаны решения уравнения Риккати при различной стоимости управления: с уменьшением г коэффи­

циент образной связи также уменьшается и зависит от вре­ мени на все меньшем конечном интервале.

ном времени независимо от конечных условий. Из выраже­ ния для k (t) легко получить это значение:

lim&(/) = г(р + а).

Т —> ТС

Отметим, что для систем высокого порядка при 7'= v> возникают значительные трудности с определением знака

187

коэффициентов матрицы К, поскольку решение квадратных

уравнений (5-24) дает два значения коэффициентов ±/i,j и проверка положительной определенности квадратичной фор­ мы (5-19) по Сильвестру весьма трудоемка. Поэтому неко­ торые авторы считают (например, в [5-10]), что легче .найти квазипостоянное значение решения уравнения Риккати, чем нужное решение алгебраического уравнения (5-24).

Рис. 5-2. К задаче оптимального управления системой пер­ вого порядка: оптимальные траектории (а), оптимальное уп­ равление (б), зависимость k(t, г) (s), зависимость k{t, Т)

для [ = 0 и f — 1

где А, В, С — матрицы коэффициентов, в общем случае не­ стационарные, размеров соответственно (riXn), (nXtn), (qXn). Далее предполагается, что система полностью упраб-

ляема по Калману. Рассмотрим решение задачи слежения выходной переменной системы У за желаемым выходом У*{(), который .в приложениях может быть уставкой или

188

программой системы регулирования, задающим воздействием следящей системы, координатами движущейся цели и т. п.

Введем вектор рассогласования

времени Т таким образом, чтобы минимизировать функцио­

нал

сеть от времени. В соответствии с (5-12) запишем гамильто­ ниан

Если на управление не наложено ограничений, то из усло­ вия (5-9) минимума гамильтониана получаем оптимальное управление

U*(/)=—R-'Br4>(t). (5-30)

Таким образом, уравнение (5-13) движения системы по оптимальной траектории и сопряженной системы принимают «ид

189

Показано [5-6], что решение относительно ф(/) можно записать как

ф (0 = * ( / ) * ( / ) ( 5 - 3 2 )

где К —матрица (пХ.п), £ —вектор (гсХ1). Найдем уравне­

g —(KBR~iBT—AT)g + CTQY*= 0, g(T) = CT(T )-0 -Y *(T ),

где первое уравнение является матричным уравнением Риккати, а второе — линейным дифференциальным уравнением, причем первое уравнение не .зависит от сигнала Y*(t). Та­

ким образом, оптимальное управление (5-30) с учетом (5-32) можно переписать:

U*(t, X) = - R 'BTK(t)X + R 'RTg(t) =

где /•'(/) — матрица коэффициентов обратной связи. Следо­ вательно, оптимальный регулятор имеет две цепи регулиро­ вания — прямую, с регулированием по задающему воздейст­ вию Y* и обратную, о воздействием по состоянию X. Одна­

ко структура такой системы регулирования существенно от­ личается от комбинированной следящей системы (с воздей­ ствием по отклонению и задающему воздействию) отсутст­ вием второго канала .передачи задающего воздействия в со­ ответствии с «принципом двухканальности» Б. Н. Петрова в чеории инвариантных систем. Тем не менее реализация та­ кой оптимальной следящей системы имеет значительно боль­ шую Трудность, чем комбинированной: если в последней

1У0