книги из ГПНТБ / Егоров С.В. Элементы идентификации и оптимизации управляемых систем учеб. пособие

вующих тактах, поэтому работу схемы можно описать с по­ мощью линейного уравнения

р{/г]= a\p[k— 1]® ci2p[k — 2]® . . •© amp[k —m], (3-55)

где коэффициенты |at) принимают значения 0 или 1 [3-12]. С л о ж и в п о модулю 2 обе части (3-55) с p[k], перепишем вы­

ражение в виде

anp[k—m]® . . .©aip{& — 1]©р[6]=0.

где l= D ° — оператор идентичности. Поскольку рЩф 0, то

выражение

ческий полином должен быть примитивным, т. е. ■неразло­

номов надо разложить выражение D2m-1®/ на множители

ивыбрать среди них примитивные.

Втабл. 3-1 приведены некоторые из примитивных поли­ номов для от—5, ..., 10, по которым можно реализовать М-регистр, причем для полинома при т = 8 М-регистр имеет

три схемы антисовпадения в цепи обратной связи, а для ос­ тальных — только одну.

Задержка М-сигнала на число тактов L<M также легко осуществляется при помощи схем аятисовпадений [3-15].

При одновременной идентификации нескольких, напри­ мер, г каналов многомерных объектов, возникает необходи­

мость в получении либо нескольких некоррелированных в смысле (3-536) пробных сигналов, либо одного сигнала с пе­ риодом гТд.

121

Один из путей получения таких сигналов состоит в об­ разовании последовательностей {pi) длиной Nk, элементы

которых равны

двоичной последовательности <р<периода k, когда N in k не

имеют общих множителей, s — сдвиг. Если в качестве {ф(} взять систему ортогональных на интервале (О, Л] функций типа Радемахера или Уолша, присвоив значениям этих функций на интервалах постоянства величины *1, то полу­ ченные последовательности будут ортогональны при любом сдвиге. Поясним образование их на примере функций Раде­ махера для k = 2\ i= 0, 1, 2, .... Эти функции легко получить как строки (или столбцы) матриц Адамара Нк, т. е. квадрат­ ных матриц размера (kXk) с элементами *1, образованных

из клеточных матриц более низкого порядка по реккурентной формуле

При этом последовательность р^,, полученная с по­

мощью первой строки матрицы Адамара и состоящая из еди­ ниц, представляет лишь 2‘ периодов исходной последователь­

122

р|5), но в четных периодах последняя имеет обратный знак своих элементов (кососимметричная последовательность) и т. д. Все сигналы {pf\} для i> l имеют в отличие от ис­

ходной последовательности нулевое среднее значение, что полезно в смысле условия '(3-53).

Для 'идентификации нелинейных систем следует приме­ нять многоуровневые сигналы, удовлетворяющие условиям (3-53), ](3-54). Хотя при этом сигнальная матрица уже не может быть сделана диагональной, применение пробных сиг­ налов, обладающих ортогональностью первого и более вы­ сокого порядка, т. е. удовлетворяющих условию

т

(3-59)

при несовпадающем хотя бы одном индексе стандартных ре­ акций, существенно улучшает обусловленность нормальных уравнений для нахождения коэффициентов модели.

При определении нелинейной модели второго порядка целесообразно применять трехуровневые пробные сигналы (р(3)) с уровнями +а, 0, —а, (3-11, 3-13]. Такие сигналы мо­

Такая троичная последовательность некоррелирована с исходной и кооосимметричной последовательностям^.

§ 3-7. Метод адаптивной модели

Рассмотренные выше методы идентификации являются разомкнутыми в том смысле, что в них отсутствует проверка

правильности получаемой модели. С этой точки зрения, идентификация, использующая алгоритмы подстройки моде­ ли по рассогласованию между нею и объектом, является более точной. Поскольку структура модели задается, то за­ дача сводится к определению алгоритма настройки парамет­ ров модели С|, .... cN (рис. 3-9), минимизирующих заданный

123

критерий идентификации /, являющийся выпуклым функ­ ционалом от ошибки:

г

Рис. 3-9. Схема метода адаптивной модели

Таким образом, задача идентификации свелась к опреде­ лению градиента и алгоритм настройки параметров модели при этом записывается:

где Г — матрица (Ny^N), коэффициенты которой могут за­

висеть от времени, причем от их выбора зависит сходимость процесса настройки (более подробно о градиентных алго­ ритмах ем. § 4-8). В частном, практически часто встречаю­ щемся случае,

где I — единичная матрица.

124

Рассмотрим выражение (3-62). Поскольку ни градиент

Vc/, ни вектор параметрической чувствительности ^

в явном виде не измеряются, то при реализации алгоритма

можно судить о величине V c/;

4) метод моделей чувствительности.

Последний метод получил наибольшее распространение. Получение функций чувствительности с помощью ее модели сильно упрощается, если ошибка линейно зависит от на­ страиваемых параметров, что предполагает представление (выхода модели в виде линейной комбинации коэффициен­ тов:

поэтому специально модель чувствительности строить не надо.

Отметим следующее обстоятельство. Использование кри­ терия (3-61) и алгоритмов (3-63) предполагает достаточно Медленную подстройку модели при выборе времени усредне­ ния Т, соизмеримом со временем переходных процессов

объекта. Если характеристики последнего за это время из­ меняются существенно, то возникающая ошибка слежения за объектом может быть недопустимо большой. Кроме того, Непрерывный характер алгоритмов подстройки (3-636) пло­ хо согласуется с периодическим характером определения критерия идентификации (3-61) или градиента (3-62). Вслед­

125

ствие этого можно предложить в алго,ритмах (3-62) исполь­ зовать различные текущие «псевдоградиенты»:

(а)

(б) (з-67)

(в)

где (а) соответствует скользящему усреднению, (б) — экс­ поненциальному сглаживанию «мгновенного градиента» (в) и т. д.

Особое внимание привлекают алгоритмы с использова­ нием величины (3-67в), которая получается из (3-62) при T—dt и непосредственно связана с функцией чувствитель­ ности. Казалось бы, такое уменьшение величины Т приводит

вление, в течение которого влияние помех может быть све­ дено к нулю за счет астатического характера алгоритмов (3-63) и подбора изменения Г( во времени. Необходимое ус­

модели при неизменной динамике объекта С—0 (очевидно,

что «мгновенный градиент» (3-67в) из-за помех не может быть тождественно равен нулю даже при настроенной мо­ дели). Однако необходимые и достаточные условия к выбо­ ру Г, в настоящее время найдены лишь для случая, когда матрица Г, имеет диагональный вид (3-64). Они получили название условий «стохастической аппроксимации»:

126

где С* — вектор параметров настроенной модели, при этом

обеспечивается сходимость с вероятностью 1, т. е.

( б )

требуют лишь нахождения функций чувствительности

и легко реализуются в случае (З-бб). Однако наряду с ними с неменьшим успехом применяют также псевдогради-

Рис. 3-10. Блок-схема адаптивной модели

ентные алгоритмы со скользящим или экспоненциаль­ но сглаженным мгновенным градиентом, т. е. (3-67а, б). На наш взгляд, спор о том, какой алгоритм из указанных луч­ ше, является беспредметным, поскольку в конкретных слу­ чаях может быть безразличным, за счет чего и в каком месте

127

происходит фильтрация помех. Однако во всех случаях про­ исходит замедление настройки: в алгоритмах стохастической аппроксимации — за счет рысканья из-за зашумленной ин­ формации и малой скорости движения при малых у, а в алгоритмах со сглаживанием — за счет инерционности про­ цесса сглаживания.

Реализация адаптивной модели по (3-72) дана на рис. 3-10. Рассмотрим устойчивость процесса настройки с помощью второго ме­

тода Ляпунова, выбрав в качестве функции Ляпунова квадратичную форму

N

nj

•поэтому, если выполняется гипотеза гередстааимости

п1

И- 1

Помимо алгоритмов с использованием «пеевдоградиентов» (3-67) возможно применение более простых в реализа­ ции, но более быстросходящмхся при малых ошибках алго-

^)итмов с использованием «знака псевдоградиента» SgV j

3-19].

128

Глава 4

СТАТИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ

Как указано во введении, к статической оптимизации от­ несен круг проблем, возникающих при экстремизации функ­ ций. Далее рассмотрены неклассические конечные задачи оп­ тимизации (см. § 1-3), среди которых особую важность имеют задачи линейного и выпуклого программирования. Такие задачи, как показано далее, являются одноэкстремаль­ ными, что существенно упрощает их решение.

Кроме того, в этой главе рассмотрены некоторые экспе­ риментальные методы оптимизации, связанные с оптимиза­ цией на самом объекте управления и нашедшие широкое применение при создании экстремальных систем для слож­ ных объектов управления, математическая модель которых неизвестна или нестационарна. Эти методы в основном яв­ ляются градиентными и поэтому надежно работают также в одноэкстремальных задачах.

I.ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

§4-1. Особенности задач линейного программирования

Как мы видели на примерах задач о раскрое материала, транспортной и др., многие практические задачи сводятся к решению системы линейных уравнений или неравенств и нахождению среди них такого, при котором критерий опти­ мальности, представляющий линейную однородную форму из варьируемых переменных, принимает экстремальное зна­ чение. Методы решения и исследования таких задач назы­ ваются линейным программированием (АП).

Сформулируем сановную задачу АП.

где все 0 и неизвестные могут принимать толь­ ко неотрицательные значения:

Требуется найти минимум Линейной формы (4-3) при вы­ полнении условий (4-1), (4-2).

Такую форму записи задачи ЛП Называют канонической.

Любое решение задачи ЛП, удовлетворяющее заданным условиям, называют допустимым (иногда соответствующий набор чисел и\, ..., ип называют планом), а то из допустимых решений, которое сообщает минимум L(U), называют опти­ мальным.

Может случиться, что форма записи конкретной задачи отличается от канонической. Возможны следующие случаи.

1. Ограничения (4-1) имеют форму неравенств.

В этом случае переход от неравенства к равенству осу­ ществляется прибавлением или вычитанием дополнительной неотрицательной переменной. Например, от ограничений

2щ—Зм2^4;

и\+ м2^ 5 ,

переходим к ограничениям—равенствам, вводя из и щ

2mi—Зн2+ Мз=4;

Щ + U2 — U\ = 5.

2. Некоторые переменные не имеют ограничений (4-2),-

т. е. могут принимать и отрицательные значения. В этом слу­ чае переход к канонической форме осуществляется путем замены такиЯ переменных разностью двух новых неотри­ цательных. Например, переменную ип заменяют при записи везде на разность ип— un+i —un+2, где w„+i^0, u„+2^ 0.

3.Требуется найти максимум линейной формы.

Вэтом случае переход к канонической форме с миними­ зацией линейной формы осуществляется изменением знака коэффициентов {С/| на противоположные. Очевидно, что

шах L(U) = —min(—L(U )).

130