книги из ГПНТБ / Егоров С.В. Элементы идентификации и оптимизации управляемых систем учеб. пособие

деления градиента функции. Она имеет первостепенное зна­ чение при создании экстремальных систем регулирования.

Пункт 3. Задача определения динамических характеристик

Эта задача является обобщением задачи п. 1, когда связь (1-3) между входными и выходными переменными является операторной, а статическая модель не устраивает исследо­ вателя, что обычно наблюдается при анализе и оптимизации переходных процессов в системе.

Рассмотрим для простоты определение динамической ха­ рактеристики только одного канала объекта — между точкой

ции

приложения воздействия v(t) и точкой измерения выходной переменной y (t). Действие помех измерения и остальных

воздействий учтем в приведенной к выходу аддитивной по­ мехе

Схему идентификации удобно представить как схему сравнения выходных переменных объекта и его неизвестной

А

модели (рис. 1-4), где до, до означают операторы соответст­ венно указанного канала объекта и его модели.

А

Требуется найти такой оператор до при заданных v(t), y(t) и некоторых дополнительных ограничениях, чтобы не­

которая мера несоответствия между объектом и его моделью была минимальной. В качестве дополнительных ограничений принимают (Колмогоров А. Н., 1933 г., Винер Н., 1942 г.):

А

стационарность оператора ДО, бесконечность интервала на­ блюдения, эргодичность и некоррелированность между со-

бой оипналов v(t) и £(f). а также условие, что оператор до

принадлежит определенному классу, например, физически реализуемых линейных операторов (см. гл. 2).

21

Рассмотрим /-й .способ раскроя, когда из одной заготовки

Тогда оптимальным решением задачи раскроя будет такое, при котором необходимое количество деталей будет получе­ но из минимума израсходованных заготовок, т. е. минимизи­ руется критерий оптимальности — линейная форма

Эта задача оптимизации относится к задачам линейного программирования. Она была первой практической задачей,

решенной в СССР методами математического программиро­ вания (Канторович Л. В., 1939 г.).

Пункт 5. Транспортная задача

Имеется п пунктов производства однородной продукции,

на складах которых сосредоточены объемы продукции в ко­ личествах а\, .... а„. Имеется m пунктов потребления с объе­ мами потребления Ь\, ..., Ьт. Известны величины cti — затра­

ты на перевозку единицы продукции /-го пункта производ­ ства в /-й пункт потребления.

затрать^на переврзки были минимальны. При этом предпо­ лагается, что производство и потребление сбалансировано, т. е.

пгп

i- 1 /■=- 1

Таким образом минимизируется критерий оптимально­ сти — линейная форма

33

при линейных ограничениях:

т

/=i

т. e. из каждого t-го пункта производства продукция выво­ зится полностью;

т. e. потребность в' /-м пункте потребления удовлетворяется полностью.

Кроме того, очевидно, что при отсутствии обратных пере­ возок все

Как и в предыдущем примере, имеем задачу Минимизации линейной формы при линейных ограничениях, причем время в явном виде нигде не фигурирует |(задача линейного про­ граммирования (АП). По имеющимся сведениям, примерно

85% всех решенных в США задач ЛП являются задачами транспортного типа.

Пункт в. Двойственная задача хозяйственного планирования

Рассмотрим задачу взаимоотношения предприятия с внешним рынком.

Пусть предприятие располагает ресурсами bI, ..., b„, ко-

б) расход ресурсов не превышал их наличия:

При атом очевидно

4 ] > 0 / = 1, . . т .

24

Здесь Cj — установленная на рынке стоимость единицы

/'-го вида продукции;

a,j — технологическая норма расхода i-ro ресурса на

производство единицы /-го вида продукции. Допустим, что некоторая рыночная организация решила

купить все ресурсы, которыми располагает хозяйство. Тре­

б) при этом продажа ресурсов была выгодна и предприя тию, т. е. надо, уплатить предприятию неменее тех сумм, которые оно само может выручить при переработке ресурсов в готовую продукцию:

Таким образом, здесь имеются две взаимосвязанные за­ дачи оптимизации, когда каждая из сторон (предприятие и рынок) стремится получить выгоду. По форме критериев оп­ тимальности и характеру ограничений эта задача относится к двойственным задачам линейного программирования.

Пункт 7. Задача размещения центра

При построении телемеханических систем с радиальной структурой, телевизионных станций для обслуживания ряда населенных пунктов, помещений КИП на крупных промыш­ ленных комбинатах и т. п. возникает задача нахождении координат пункта |(центра), суммарное расстояние которого до остальных пунктов обслуживания минимально. При этом на допустимую область размещения центра имеются огра­ ничения, связанные с рельефом местности и наличием вод­ ных поверхностей, с (необходимостью размещения в районе источника энергоснабжения и т. п. Некоторым обобщением этой задачи на многомерный случай является задача Штай­ нера, формулировка которой следующая.

25

В п-мерном евклидовом пространстве заданы N точек

С,= (с|„ .... c„i) и выпуклое множество £2ИТребуется отыс­

Поскольку функция р является выпуклой, а сумма выпук­ лых функций тоже выпукла, задача ее минимизации при вы­ пуклом ограничении £2„ является задачей выпуклого про­ граммирования. В более общем и на практике часто встре­

чающемся случае ограничения не являются выпуклыми, более того — допустимая область размещения может быть неодносвязной. Это соответствует более общей задаче нели­ нейного программирования.

Пункт 8. Оптимизация режима дистилляционной колонны

Следуя Хэммонду и Рису, рассмотрим диотилляционную колонну (рис. 1-5), где приняты'обозначения:

J-----

Ч

- - - Н -*-f

и2 —коэффициент рецикла (Mj= Ln-# r1).

25

Управлять режимом дистилляционной колонны можно, варьируя переменные и\, м2 в некоторой ограниченной обла­

сти (рис. 1-6).

Критерий оптимальности является функцией от количе­ ства получаемого вторичного продукта, его состава и расхо­ да тепла:

Q= —Pit/i + М г/г*—уг\ +Р3И1-*- min

N ии иг ’

где <Pi, р2, р3 — заданные весовые коэффициенты, у2* — ка­ чественный состав стандарта.

На рис. 1-6 показаны экспериментально полученные за­

для различных у\, у г*, при этом заштрихованная зона соот­

ветствует неустойчивому режиму. Таким образом, перемен-

Рис. 1-6. Область изменения управлений и линии ранных значений критерия оптимальности для трех режимов

27

Как видно из (рис. 1-6, при изменении режима работы ко­ лонны, оптимальные значения управлений изменяются весь­ ма значительно. При этом зависимость Q(ui, щ) при раз­

личных возмущающих воздействиях имеет нелинейный ха­ рактер, .но математическая модель процесса отсутствует. Если пренебречь инерционностью колонны, то получаем за­ дачу минимизации нестационарной нелинейной функции, имеющей экстремум и задаваемой экспериментально, при ог­ раничениях (задача экстремального регулирования).

Пункт 9. Задач^ минимального расхода топлива

Такая задача возникает, например, при управлении лета­ тельными аппаратами (от самолетов до космических кораб­ лей), морскими судами и т. д. Поскольку топливо имеет су­ щественную стоимость, надо найти такое управление аппа­ ратом, чтобы, например, перелет .самолета из одного пункта в другой был произведен при минимальном расходе топлива. Задача экономии топлива весьма остро встает также в кос­ мических полетах на заданное или максимальное расстояние, когда дополнительно приходится учитывать ограниченность топливного ресурса.

Пусть уравнения движения управляемой системы имеют вид

U — вектор тяговых сил двигателей.

Допустим, что управление системой осуществляется с по­ мощью m двигателей, потребляющих топливо и создающих

определенную тягу. Далее будем считать, что конструкция аппарата или двигателей такова, что позволяет получать тягу обеих знаков, соответствующую разгону и торможению. Если учесть, что топливо расходуется независимо от знака управления (и при разгоне, и при торможении, например, космического корабля, выполняющего мягкую посадку), то расход топлива /-м двигателем можно принять пропорцио­ нальным абсолютной величине управляющего воздействия, гак что суммарный мгновенный расход топлива «семи дви­ гателями равен

m

M = 2c;|U;|, (Cj > 0),

/= 1

28

при этом за время Т— /о будет израсходована масса топлива,

равная

т

I.и

Очевидно, что величина топливного ресурса и тяговые усилия двигателей ограничены:

J ^ M 0,

Пусть задано целевое множество й т '(подвижное или не­ подвижное). Тогда задачу минимального расхода топлива можно сформулировать следующим образом.

Для заданной системы (1-13) найти такое управление, удовлетворяющее условиям (1-15), которое переводит систе­ му из начального положения Хо в йт при минимальной ве­ личине функционала (1-14). Время Т в приложениях может

быть фиксировано, ограничено или свободно.

Отметим, что коэффициенты уравнений движения (1-13),

.в которые неявно входит масса систему, являются перемен­ ными, поскольку в массу системы входит масса топлива, убы­ вающая во время полета. Однако в ряде случаев, например, при полетах самолетов, можно считать, что изменение мас­ сы системы за счет расхода топлива несущественно.

Рассмотренная задача является задачей динамической оп тимизации.

Пункт 10. Задача об оптимальном регуляторе

Многие управляемые системы (энергосистемы, непрерыв­ ные технологические процессы и др.) наиболее эффективно функционируют лишь в равновесном состоянии или вблизи него. Под действием возмущений или вследствие внутренней неустойчивости такие системы могут быть выведены из рав­ новесного состояния. Тогда возникает задача: найти такое допустимое управление, которое наилучшим образом воз­ вратило бы систему в состояние равновесия и удерживало бы ее в этом состоянии. Предполагается при этом, что функция управления выполняет автоматическое устройство (регулятор), которое формирует закон управления по ин­ формации о действительном состоящий системы и, если воз­ можно, о возмущениях. Такие задачи рассматривались Лето-

29

ным А. М., Красовским Н. Н., Калманом Р. и др. Пусть X*

является состоянием равновесия системы

функции времени. Их действие может также проявляться в

ного состояния Ха в начало координат таким образом, чтобы

величина функционала 7 была минимальна. При атом за кри­ терий оптимальности могут быть взяты:

положительно определенных форм;

Заметим, что указанная регулярная постановка задачи не всегда правомерна, поскольку реальные возмущения часто являются случайными процессами и поэтому не могут быть заданы как заранее известные функции времени.

30