книги из ГПНТБ / Егоров С.В. Элементы идентификации и оптимизации управляемых систем учеб. пособие

Рассмотрим геометрическую интерпретацию задачи АП.

Рассмотрим (п + 1)-мерное пространство переменных Mi, .... м„, L. Уравнение для целевой функции является урав­

Рис. 4-1. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования

шение U* для ограничений, приводящих к замкнутой обла­

сти Qu. Для случая Q„' задача ЛП не имеет решения из-за неограниченности линейной формы. Аналогичная ситуация возникает при противоречивых ограничениях ((/е£2,/'= 0 ) .

Из геометрической интерпретации следует и способ отыскания оптимального решения: поскольку оно соответ­ ствует одной из вершин многогранника Qu, то надо найти

координаты всех вершин, и для каждой из них вычислить значения целевой функции L(U ). Однако, если количество

переменных и ограничений велико, то число вершин огром­ но. Так, при п = 50, т —25 число вершин равно 10й. При

скорости вычисления целевой функции в одной вершине т= 10~6 сек, просмотр всех вершин займет время Лт=2000 лет.

Заметим, что производя оптимизацию классическим мето­ дом с использованием множителей Лагранжа, получим коли­ чество решений, совпадающее с количеством вершин, так как в каждой вершине функция Лагранжа

тп

+—2 ciijiij)

принимает экстремальное значение, и из всех относительных экстремумов при этом надо выбрать один абсолютный, что ничем не лучше указанного метода перебора.

Основным методом решения задачи ЛП является симп­ лекс-метод Д. Данцига (1947 г.). Идея его в следующем: отыскивается какая-либо 'вершина Uk многогранника Qu и

соответствующее «вершинное» решение, которое называется опорным, вычисляется значение L(Uh) в этой вершине, пос­

благодаря специфике симплекс-метода попадаем не в «худ­ шую», а в «лучшую» вершину. Такие алгоритмы, в которых каждый шаг приближает к искомому решению, называются

монотонными.

Алгоритм .симплекс-метода позволяет также установить, является ли задача ЛП разрешимой, т. е. не оказываются ли условия задачи противоречивыми и обеспечивают ли они ограниченность линейной формы.

Многолетний опыт применения симплекс-метода показы­ вает, что число шагов, требуемое для отыскания оптималь­ ного плана, обычно колеблется между 1,5 m и 2 т , где т —

число равенств (4-1).

§ 4-2. Симплекс-метод решения задач линейного программирования

Алгебраической основой симплекс-метода является аппа­ рат «жордановых исключений», когда исходная система ог­

132

раничений (4-1) приводится к предпочитаемой форме

П

свободными. Выражение опорных неизвестных через свобод­

ные

П

называют общим решением системы (4-1). Среди бесчислен­ ного множества частных решений, получаемых из (4-5) при

называемое опорным. Поскольку Pi2>0, то найденное опор­

ное решение удовлетворяет и условиям (4-2) исходной за­ дачи ЛП. Заметим, что опорной переменной в (4-4) может быть любая переменная, а не только т первых. Но тогда,

очевидно, возможны и другие опорные решения, среди ко­ торых, как показано далее, имеется оптимальное.

Приведение канонической формы (4-1) к предпочитае­ мой (4-4), или, иными словами, исключение неизвестной ut

из всех уравнений, кроме одного, осуществляется с по­ мощью элементарных алгебраических преобразований (пе­ рестановка уравнений местами, умножение уравнений на постоянную сф 0, сложение уравнений).

Опишем процедуру решения уравнений (4-1) по методу исключений Жордана, поскольку на нем основан симплекс-

метод.

Предположим, в системе (4-1) мы решили исключить не­ известную ukиз всех уравнений, кроме /-го. Без потери общ­ ности считаем а1кф0. Назовем ик разрешающей переменной,

133

Исключим uk из i-го уравнения, для чего умножим 1-е

I aik \

уравнение на число ^ —— J и сложим е i-м уравнением.

При этом в новом i-м уравнении коэффициент при ик, оче­ видно, станет равным нулю (неизвестная ик исключается из i-го уравнения). Повторяя эту процедуру для всех i + I, исключим ик из всех уравнений, кроме I-го. После этого, чтобы получить '1-е уравнение в форме (4-4), разделим его

на а,к. Тогда система (4-7) примет вид

П

где новые коэффициенты (со штрихом) находятся из оче­ видных соотношений

Выражения (4-9) называют формулами исключения. За­ мечаем, что в уравнениях. (4-8) переменная ик стала опор­ ной. Повторяя эту процедуру исключения для другой пере­

менной, получим еще одну опорную переменную. Макси­ мальное число опорных переменных будет всегда равно т , а свободных — (п—т ). Число опорных решений поэтому,

очевидно, равно числу сочетаний из п по ЦП, т. е. (”!) .

Процедуру нахождения опорных решений удобно записы­ вать в виде таблицы, которую построим далее.

До сих пор мы считали, что все р;^0. Однако при про­ извольных жордановых преобразованиях от формы (4-1) с можно прийти к форме (4-4) с произвольными р„ в том числе и отрицательными. Чтобы избежать такой возмож­

ности и получить все р<^0, надо выбирать разрешающие не­ известные и разрешающие уравнения по определенным пра­ вилам, которые очевидны из (4-9):

1) чтобы получить V^O , достаточно выбрать такую раз­ решающую переменную ик, чтобы при ней хотя бы в одном

134

Будем говорить, что система (4-1) подвергается симплекс­ ному преобразованию, если процесс выбора разрешающей неизвестной (щ) и разрешающего уравнения (/-го) проис­

ходит по правилам (4-10), (4-12).

" П р и м е р 4-1. Дана система уравнений

Подвергаем эту систему симплексному преобразованию, взяв за раз­ решающую переменную иг. Разрешающим уравнением при этом оказы­ вается второе, так как по (4-12)

Исключая переменную иг из первого и третьего уравнений, получаем вместо них новые с коэффициентами, найденными по формулам исклю­ чения (4-9)

135

Исключая переменную щ , взяв за разрешающее уравнение первое (так как коэффициент в третьем уравнении отрицателен), получаем уравнения в форме (4-4)

личные неотрицательные значения какой-либо одной свобод­ ной переменной и,. Но для того, чтобы при этом все опор­

ные переменные оставались неотрицательными, т. е.

Wi=Pi—Ui»Ms^ 0 , /= 1, ..., m,

свободная переменная и, должна принимать только значе­

Uf.<C0, то диапазон изменения свободной переменной неог­ раничен:

Аналогичные диапазоны можно найти и для других сво­ бодных переменных.

Является ли опорное решение (4-6) оптимальным? Линейная форма для такого решения равна

и выражается только через опорные переменные.

Рассмотрим неопорное .неотрицательное решение со сво­ бодными переменными, которые могут изменяться в диапа­

136

зонах (4-13). Чтобы удобнее было следить за линейной фор­ мой, выразим ее через свободные неизвестные подстановкой

(4-5) в (4-3).

Тогда получаем

т п п

называются маргинальными значениями.

Исследуем (4-15) на оптимальность. Из (4-15) видно, что опорное решение (4-6) является оптимальным тогда и только тогда, если в уравнении (4-15) все маргинальные значения неположительны. Таким образом, необходимым и достаточ­ ным условием оптимальности опорного решения является

Покажем, что оптимальным решением является опорное.

Пусть хотя бы одна величина (4-16), например, А,>0. Тогда, дав свободной переменной и, любое неотрицательное

значение из диапазона (4-13а) и оставляя другие свободные переменные нулевыми, получим значение целевой функции, меньшее L0. Ясно, что наименьшей величины L можно до­ стичь, дав переменной и, крайнее значение. Но когда сво­

бодная переменная иа принимает свое крайнее значение Pi, одна из опорных переменных, именно \1-я, обращается в нуль,

Это решение соответствует новой предпочитаемой форме с опорной переменной и. вместо м( в /чм разрешающем урав­

нении. Таким образом, оптимальное решение задачи линей­ ного программирования надо искать среди опорных реше­ ний.

Рассмотрим теперь случай, когда свободная переменная может изменяться в диапазоне (4-136). В этом случае, как

137

нетрудно видеть из (4-15), значение линейной формы неог­ раниченно убывает при и3-»-ос, и задача неразрешима. Та­ ким образом, задача неразрешима в силу неограниченности линейной формы, если для какого-либо Aj>»0 все щ < 0 .

Пусть сразу две или более величин Aj>0. Какую из пе­ ременных в этом случае .выбрать за опорную? Обычно берут

решения к новому осуществляется при этом по формулам ис­ ключения (4-9). Таким образом, на каждом шаге симплекс­ ных преобразований устанавливается либо оптимальность опорного решения, либо неразрешимость задачи, либо воз­ можность перехода к новому, лучшему опорному решению. Блок-схема программы решения задачи линейного програм­ мирования показана на рис. 4-2.

Может случиться, что минимальное отношение (4-12) достигается сразу для нескольких индексов i. Этот случай

называется вырожденным, поскольку, выбрав одно из урав­ нений за разрешающее, получим после очередного симплекс­ ного преобразования, что один или несколько свободных членов р/ обратятся в нуль. При этом теоретически может возникнуть зацикливание, когда начинают с некоторым пе­

риодом повторяться в процессе симплексных преобразова­ ний одни и те же опорные решения. Однако на 'практике такого зацикливания не наблюдалось. Тем не менее разра­ ботано несколько алгоритмов, позволяющих избежать за­ цикливания. Один из них основан на том, что условия зада­ чи немного изменяются (обычно величины bt заменяются

на 6, + Ei, где е,- некоторые малые величины).

Доказано, что при определенных условиях решение та­ кой е-задачи совпадает с исходной.

При вычислениях вручную удобно пользоваться таблич­ ной формой записей, которая рассмотрена в примере.

П р и м е р 4-2. Минимизировать

L ( U ) = 3mi —4и, + 5«з —17«i + и .

138

Рис. 4-2. Блок-схема алгоритма симплекс-метода

139

п р и о г р а н и ч е н и я х

ц,+ us — 2«4+ 4us=6,

'U%— U3 -f“ 3W4 "f- Ub — If

Лз=3-1 + (—4) (— 1)—5=2,

Л4=3 (—2) + (—4) • 3+17==—1,

Л5=3• 4+(—4)• 1 —1 = т,

поэтому указанное опорное решение не является оптимальным. Составим таблицу

140