книги из ГПНТБ / Егоров С.В. Элементы идентификации и оптимизации управляемых систем учеб. пособие

В атом случае обычно минимизируется средняя по мно­ жеству возмущений величина критерия оптимальности:

J з= М7 [J(U , Z)},

при этом предполагается, что статистические свойства воз­ мущений на всем интервале оптимизации известны.

Пункт 11. Задачи о встрече движений

Различают два типа задач о встрече движений двух объектов, из которых движение хотя бы одногб описывается дифференциальными уравнениями:

1)задачи слежения, когда один объект (цель, уставка

процессу и т. д.) движется независимо от движения второго, преследующего его объекта;

2)дифференциальные игры, когда каждый объект строит

свое движение в зависимости от поведения второго. Задача первого типа, когда траектория движения пресле­

дуемого объекта задана как функция 'времени являют­ ся обобщением задачи об оптимальном регуляторе, когда точка равновесия X* является подвижной и закон ее движе­ ния задан как X*(t). Если траектория преследующего объек­

та описывается уравнением

то при введении вектора рассогласования Е= Х* —Х задачу

слежения можно сформулировать как задачу минимизации функционала

£= F,(Е, U, 0 , E(to)=X*(t0) - X о

иразличного рода ограничениях И(Е, U) ^ 0 .

Отметим здесь, что запись функционала (1-19) является наиболее общей формой: введение слагаемого Ф(£(Т)) поз­ воляет особо выделить состояние системы в конечный мо­ мент времени. Во многих практических случаях (в системах посадки самолетов, при реализации технологического про­ цесса таким образом, чтобы конечная продукция наименее

31

а) время встречи, когда

при ||X ||< е,

' N 0, О =

при ||ХЦ>е;

6) промах при заданном Т, когда

Ф = |X (Г) |, G ss 0.

Кроме того, заданы ограничения Н (Хi, Ха)^0, например:

а) ограничения на мгновенные значения: ||б’||г=С|ло>

J ^ v 0;

б) ограничения иа импульс (ресурс) управляющих сил:

в) ограничения на траектории летательных аппаратов, которые не должны пересекать земли и т. д.

Совокупность величин

Если предположить, что позиция игры известна партнерам в каждый данный момент, то указанная задача относится к

позиционной дифференциальной игре двух сторон с полной информацией. Функции U(P), V(P), определенные на мно­ жество всевозможных позиций, называются позиционными стратегиями сторон.

Задача состоит в отыскании среди допустимых стратегий таких, которые обеспечивают выполнение равенства

для любой допустимой исходной позиции Р(/0). Из послед­ него соотношения вытекают условия седловой точки игры

которые означают, что при отклонении любым из партнеров от оптимальной стратегии и при условии, что другой парт­ нер придерживается своей оптимальной стратегии, резуль­ тат для отклонившего оптимальную стратегию партнера только ухудшится. Игровые задачи, которые не имеют сед­ ловой точки, являются некорректными (нерегулярными). Не­

отыскивая стратегию, обеспечивающую J v '~ min sup J uv.

Дифференциальные игры относятся к задачам динамичес­ кой оптимизации.

Вышеприведенные примеры относятся к детерминирован­ ным оптимизационным задачам, в которых элемент случай­ ности практически не фигурирует или пренебрежен. Однако во многих управляемых системах такое пренебрежение не оправдано: в следящих системах со случайным задающим воздействием, для технологических процессов с высоким уровнем возмущений, для летательных аппаратов при поле­ тах в турбулентной атмосфере, в системах с неполной ап­ риорной информацией о ее характеристиках и воздействиях и т. д. Такого типа задачи в данной книге практически не рассматриваются. Не вошли сюда задачи адаптации и обуче­ ния (Фельдбаум А. А., Цыпкин Я- 3- и др.), которые, в боль­ шинстве случаев, также формулируются как некоторые опти­ мизационные.

§ 1-3. Классы оптимизационных задач и классические методы их решения

Как видно из рассмотренных примеров, всякая задача, связанная .с экстремизацией функции или функционала, яв­ ляется оптимизационной. В зависимости от характера огра­ ничений на переменные управляемой системы задачи опти­ мизации делятся на классические т неклаооические: в клас­

сических задачах ограничения имеют форму равенств, а в некласоических — и форму неравенств.

Далее будем рассматривать динамические системы с со­ средоточенными параметрами, в которых изменением. пере­ менных в пространстве пренебрегают. При этом динамиче­

31

водные второго порядка по совокупности всех своих аргументов.

Помимо граничных условий вида (1-29) иногда накладыва­ ются условия типа

т

j g{X, X, и, t)lit — с fo

(изопериметрические условия).

Кратко рассмотрим методы решения указанных задач, по­ лагая для определенности, это экстремум—минимум. Такие задачи решаются классическими методами дифференциаль­ ного и вариационного исчисления, развитыми в работах Ньютона, Эйлера, Лагранжа. Они основаны на рассмотрении приращений функций и функционалов при варьировании не­ зависимых переменных: для оптимальных значений перемен­ ных такие приращения должны быть равны нулю (условия стационарности функции или функционала). Условия ста­ ционарности являются необходимыми условиями оптималь­

ности и записываются в виде уравнений (конечных или дифференциальных).

Пункт 1. Задача на безусловный экстремум функции

(1-25) является частным случаем конечной задачи оптимиза­ ции, когда Щ\ — 0.

Условие стационарности функции в точке U* для малых приращений Ш имеет вид

G(U* + 6U) = G(U*).

Ho G (U *+6U )^G (U *) + v jG (f/ * )-6t/+o(||fit/|l2), где

этому в стационарной точке

VJ О (U*) ■8U = 0.

Поскольку приращения бС/ произвольны, то условие ми­

Однако условию (1-30) удовлетворяют также точки мак­ симума, перегиба и седловые. Следовательно, указанное ус­ ловие минимума является лишь необходимым. Для .нахож­ дения достаточных условий рассмотрим в разложении функ­ ции в ряд Тейлора члены второго порядка малости:

G(U* + 6U) & G(U*) + VuTG(t/*)-6t/ + - j6 U ? H a(U*)-8U+

+ o(||6C/||3),

где матрица вторых частных .производных (гессиан функции

G) в точке U* обозначена НаШ )* = [——7— ]

L ouidui \и-и•

Приращение функции в этой точке равно

6G(t/*) = G(G* + 6t/)-G(G*) = — 6t/TH0(£/*)-6£/ + o(||6t/||3).

А

Если стационарная точка является точкой минимума, то квадратичная форма 6Ur ■Ha{U*)-6U должна быть положи­

тельно определенной, что приводит к .следующим условиям (Сильвестра):

Если функция G имеет несколько экстремумов, то най­ денные из уравнений (1-30) стационарные точки должны быть проверены по критерию (1-31), и из них должна быть выбрана единственная, дающая абсолютный минимум функ­ ции G. К счастью, многие практические задачи имеют одно­

36

экстремальный характер, причем тип экстремума заранее известен. Это облегчает процедуру решения и дает возмож­ ность использовать для его нахождения только необходимые условия (1-30).

Имеется две группы методов нахождения решения —

аналитические и вычислительные (числовые). Несмотря на

достоинства аналитических методов, позволяющих получить решение в общем виде и выявить его основные закономерно­ сти, что весьма важно при теоретическом анализе, они об­ ладают малой мощностью, поскольку позволяют решать лишь сравнительно простые, задачи. Поэтому нашли боль­ шое применение (особенно в связи с внедрением вычисли­ тельных машин) значительно более мощные числовые мето­ ды. Среди последних для решения конечных уравнений типа (1-30) применяют итеративные методы, которые использовал

еще Коши. Для итеративного решения уравнения (1-30) пе­

где Г= [у,J — матрица коэффициентов шага итерации, в об­ щем случае зависящая от номера итерации. От ее выбора зависит сходимость итеративного процесса, т. е. выполнение условия

lim U[t]z= U*.

/ <*о

Можно показать, что точка минимума является точкой ус­

ные стрелки обозначают векторные связи, а зачерненные — матричные, буквой D обозначен дискретный интегратор,

блок определения градиента обозначен VG.

Пункт 2. Задача на условный экстремум функции (1-25)

при наличии связей (1-26) (т \ Ф 0) решается методом мно­

жителей Лагранжа. Для этого составляется функция Лагран­ жа

37

относительно которой решается рассмотренная выше задача

(1-26).

Необходимые условия стационарности приводят , к урав­

где Г, Г* — матрицы коэффициентов шага, используемые при вычислениях соответственно U и А.

, - Г

&V и

X

t

Рис. 1-7. Схема итеративного решения задачи минимизации функции

Заметим, что дискретные алгоритмы (1-32), (1-35) могут быть записаны в непрерывной форме следующим образом. Если вычисление t-й итерации соответствует моменту t, то

при

M-^dt и MJ[l}=U[t+l]-U[t}-+dU(t)

получаем непрерывный аналог дискретного процесса реше­ ния оптимизационной задачи, который, например, для (1-35) имеет вид

== — Г (/) Vu Ox (U (0 ) Л (0 ),

(1-36)

= — Гх(0 • /=•(£/(/,).

38

решения конечных задач оптимизации требуется информа­ ция о градиенте скалярной функции V UG, а в задачах со связями — и о градиенте векторной функции, или якобиане

реализация соответствующих блоков градиента осущест­ вляется либо с помощью вычислительной программы, либо с

Рис. 1-8. Схема итеративного решения задачи минимизации функции при связях между пере­ менными

помощью аналогового преобразования. Если же функции G и F определяются экспериментально на самом объекте уп­

равления, то и частные производные определяются экспери­ ментальным образом, например, по приближенной формуле разделенных разностей:

39

Однако помимо градиентных методов оптимизации сущест­ вуют и другие (см. гл. 4).

Пункт 3. Задачи на экстремум функционала (1-27) при отсутствии ограничений на переме?тые решаются методами

вариационного исчисления. При наличии связей (1-28) здесь также применяется метод множителей Лагранжа.

На практике по виду краевых условий (1-29) различают задачи с закрепленными концами (X(t0) —Xo, Х (Т )—Хт) и

задачи о подвижными концами, которые могут быть в част­ ности свободными или лежащими на заданных многообра­ зиях По, Пг: Л(/о)еП0, Х(Т) е И,.. При этом в задачах управ­

ления обычно подвижным может быть правый конец траек­ тории Х (Т), а левый X(tо) — является закрепленным. Это

объясняется тем, что на практике начальное состояние объекта управления задано, а конечное состояние может быть фиксированным или в определенной степени произволь­ ным в зависимости от конкретной цели управления (см., на­ пример, задачу о минимальном расходе топлива, когда целе­ вое множество Пт фиксировано или подвижно). Вариацион­ ные задачи, кроме того, делятся на задачи со свободным и фиксированным конечным временем Т, что можно рассмат­

ривать как частный случай фиксированных или свободных концов в (n + 1)-мерном пространстве (ящ ..., хп, t).

Рассмотрим необходимые условия минимума функцио­ нала (1-27) при связях (уравнениях объекта) (1-28).'Состав­ ляя функционал

решим задачу на безусловный экстремум функционала. Предположим, что оптимальное управление найдено и,

следовательно, определена оптимальная траектория системы, «а которой функционал (1-38) минимален. Рассмотрим его приращение за счет малой е-вариации оптимального управ­ ления и соответствующей ей вариации траектории системы, приняв для простоты, что функции G и F не зависят явно от

времени.

В силу гладности функций (1-28) малые вариации управ­ лений дают и малые вариации траектории, поэтому новое,

40