книги из ГПНТБ / Егоров С.В. Элементы идентификации и оптимизации управляемых систем учеб. пособие

проварьированное значение функционала в первом прибли­ жении равно

Л (б) = Л (£/• + гС) = Л (U*) +

где г](0 >Ф(0 » £(0 — векторы вариаций соответственно тра­ ектории, множителей Лагранжа и управления. Так как Л (е) достигает минимума при е = 0, то условие стационарности функционала запишется как

М> (Х(Г))

Интегрируя второе слагаемое, получаем для задачи с за­ крепленными концами (ЗК)

поскольку в рассматриваемом случае вариация траектории

«а концах исключается:

п(М = ч (П = о .

Учитывая это и произвольность вариаций ц, •0, £, получаем окончательно, что выполнение условия (1-39) возможно лишь в случае, если

дОх = 0. dU

41

Таким образом, необходимое условие оптимальности при­ водит к уравнениям Эйлера—Лагранжа (1-40). Заметим, что первое уравнение в (1-40) является дифференциальным уравнением второго порядка (уравнение Эйлера), а его ре­ шение — интегральная кривая X(t, С\, Сг), называемая экстремалью, содержит две постоянные С\ и Сг, которые оп­

ределяются из двух очевидных для данной задачи краевых условий. В этой связи отметим, что для задач с подвижными концами (ПК) краевые условия имеют более сложный вид и называются условиями трансверсальности (УсТ). Эти ус­

ловия находятся из общего условия экстремума (1-39) и тре­ бования, что оптимальная траектория по-прежнему удовлет­ воряет уравнению Эйлера, т. е. является экстремалью. В самом деле, если экстремум функционала в задаче с под­ вижными концами достигается на некоторой траектории

X(t)., то экстремум тем более достигается по отношению к

более узкому классу траекторий, имеющих общие гранич­

ные точки с X (t), а следовательно, эта траектория должна

удовлетворять основному, необходимому условию экстрему­

фиксированном Т) из (1-39) получаем о учетом уравнения

Эйлера условия трансверсальности в виде

Более полный список краевых условий будет дан ниже. А здесь отметим лишь, что необходимое условие оптималь­ ности для динамической задачи привело нас к так называе­ мой двухточечной краевой задаче (ДКЗ) для дифферен­

циальных уравнений, поскольку краевые условия уравнения Эйлера задаются в двух точках (решение второго уравнения в (1-40) является одноточечной краевой задачей — задачей Коши, поскольку существенным является лишь начальное ус­ ловие X(t0) —Хо, а конечное условие в задаче с закреплен­

ным концом выполняется автоматически, если найдено соот­ ветствующее решение уравнения Эйлзра). Так как диффе­ ренциальные уравнения второго порядка интегрируются в аналитическом виде лишь в исключительных случаях, то чис­

42

ленное решение ДКЗ является весьма сложной проблемой, методы решения которой обсуждаются в гл. 5.

Если функция G,. не зависит от X (функция G и уравне­

ния объекта не содержат X), то уравнения (1-40) превра­

щаются в конечные уравнения, и вариационная задача вы­ рождается в конечную задачу оптимизации, рассмотренную ранее.

Уравнения Эйлера—Лагранжа (1-40) можно переписать в канонической форме дифференциальных уравнений первого порядка. Покажем это для часто встречающегося на практи­ ке случая, когда функционал (1-27) имеет вид

где конечное условие для состояния может быть и не задано. Определим скалярную функцию, называемую гамильто­ нианом (для консервативных систем гамильтонианом назы­

вают полную механическую энергию):

Учитывая, что G ^-H -A ^X , уравнения Эйлера—Лагран­

жа перепишем в канонической форме

При этом начальное условие для Л неизвестно. Эта за­ дача, очевидно, также является двухточечной краевой зада­ чей, поскольку для системы 2п дифференциальных уравне­

ний первого порядка (два векторных первых уравнения в (1-45)) имеется 2п краевых условий: п начальных условий для X(t) и п конечных условий для X(t) и A(t). В табл. 1-1

приведены конечные условия для Л и Л для различных за­ дач: с закрепленным, подвижным или свободным концом

43

траектории. Например, для задачи № 2 имеем (п + п\) урав­ нений для определения п\ неизвестных коэффициентов а* и п неизвестных конечных условий для jX и А, а в задачах со свободным концом (№ 3, 7) имеем п конечных условий

для Л.

Уравнения (1-45) можно переписать в виде канонических уравнений Гамильтона

(1-46)

см. табл. 1-1, где Н* = Н(Х, U*, Л,J), a U* удовлетворяет

показывает, что гамильтониан (вдоль оптимальной траектории не зависит от времени).

Вопрос о достаточных условиях оптимальности рассмот­ рен в гл. 5.

Надо отметить, что уравнения Эйлера не существуют, если не выполняются условия непрерывности и гладкости, а также, что в задачах, где управление не входит в функцию стоимости G, можно получить решения 7/*= + °о , не имею­ щие практического смысла. В этом случае налагаются до­ полнительные условия.

' Пункт 4. Задачи математического программирования.

В последние 20 лет значительно возрос интерес к новому классу задач, которые, как правило, не поддаются решению классическими методами. Часто их называют задачами ма­ тематического программирования. Первоначально они появи­

лись при решении экономических проблем, затем появились их аналоги при управлении производственными процессами и техническими системами, в административном управлении, военном деле и т. д. Эти задачи отличаются от классических появлением ограничений в форме неравенств.

Будем называть неклассическими конечными задачами оп­ тимизации задачи вида:

44

<f (f) — заданная вектор-функция времени.

Ограничения со знаком легко переписать в виде ограни­ чений со знаком ^ домножением обеих частей неравенства

на —1.

Будем называть неклассическими вариационными задача-

Появление ограничений типа неравенств приводит к по­ явлению областей Qu, Q* допустимого изменения соответст­ вующих переменных. При этом экстремальные значения функций и функционалов очень часто достигаются именно на границах этих областей (например, в задачах линейного программирования, линейного быстродействия и др.), где не выполняются условия стационарности типа (1-30), (1-39), что делает невозможным применение классических методов. Очевидно, последние неприменимы также и в тех задачах,

непрерывности и гладкости. Таким образом, локальный ми­ нимум, например, функции G(U), который может иметь

место: 1) во внутренних точках области Q„; 2) в точках Qu, где производные не существуют; 3) на границах области может быть найден с помощью классических методов только для первого случая. Аналогичное положение наблюдается и при решении вариационных задач.

Пункт 5. Выводы

Задачи экстремизации функций являются задачами ста­ тической оптимизации, для которых характерно отсутствие временного фактора при математической формулировке за­ дачи. Наоборот, в системах с существенной динамикой, с существенным временем протекания переходных процессов задачи оптимизации формулируются как задачи акстремизации функционалов.

Необходимые условия оптимальности для классических задач статической оптимизации приводят к решению систем

46

Г л а в а 2

ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ

Законы природы могут быть сформулированы или как дифференциальные уравнения, или как «вариационные прин­ ципы», согласно которым определенные величины принимают экстремальные значения при данных условиях,

(Г. Вейль, «Полвека математики»)

П,р,и характеризации системы, т. е. при математическом или другом формализованном ее описании, предметом ис­ следования является форма связи между переменными сис­ темы.

Как указано выше, уравнения связи отражают те кон­ кретные законы природы, которым подчиняются протекаю­ щие в системе процессы. Поскольку формы записи таких связей многообразны, можно стремиться к оптимальной ха­ рактеризации системы в пространстве переменных, описы­

вающих ее. Так, характеризацию можно рассмотреть с точки зрения: наглядности или простоты физического смысла свя­ зей между переменными, простоты нахождения параметров связей, простоты анализа системы при решении конкретных задач, простоты ^синтеза оптимального управления. Обычно нельзя удовлетворить всем требованиям одновременно, тем более, что они часто субъективны, поэтому на различных этапах анализа могут применяться различные формы харак­ теризации, которые, очевидно, связаны между собой, по­ скольку относятся к одной и той же системе.

Характеризация управляемой системы (в отличие от си­ стем вообще) должна отражать лишь связи между управляе­ мыми переменными и воздействиями, наиболее существенно влияющими на них.

Задание критерия оптимальности для управляемой систе­ мы и установление ограничений на некоторые ее перемен­ ные позволяют выделить интересующие нас выходные пере­ менные и наметить структуру модели управления системой.

48

Такая модель должна быть гомоморфна исследуемой систе­

ме, т. е., являясь упрощенной моделью, сохранять интере­ сующие нас соотношения между переменными, в данном случае—между входными и выходными воздействиями. Осте­ пени адекватности модели объекту судят по близости вы­ ходных-переменных модели и объекта при совпадающих входных воздействиях и начальных условиях. Хотя дальней­ шая идентификация системы основана на максимальном уве­ личении такой близости, .необходимо быть уверенным, что принятая характеризация управляемой системы может в принципе обеспечить требуемую точность модели. Поэтому одновременно с характеризацией обычно проводят объек­ тивную идентификацию — определение точности модели,

исходя из заданных характеристик системы или класса сис­ тем и принятого способа характеризации, что позволяет су­ дить о пригодности принятого способа характеризации.

§ 2-1. Классы моделей динамических систем

По виду уравнений связи между переменными динами­ ческие системы делятся на одномерные и многомерные, ли­ нейные и нелинейные, с голономными и неголономными связями, с сосредоточенными и распределенными параметра­ ми, на стационарные и нестационарные.

Одномерная система имеет одно входное и выходное воз­ действия, многомерная — больше одного.

Система называется линейной, когда для нее выполняется

Поскольку математической моделью системы является оператор, которым эта система, описывается, то математиче­ ски оператор г, например (1-3), линеен, если он обладает

Из (2-1а) в свою очередь следует, что при разложений любой переменной на сумму некоторых составляющих мож­ но, например, записать

F(Y, 0, 0) =/7(2 У„,0, 0)= 2 F (Y k, 0, 0) и т. д.

кк

Системы, не удовлетворяющие принципу суперпозиции, являются нелинейными. С математической точки зрения, линейные системы описываются линейными уравнениями (алгебраическими, разностными, дифференциальными и др.). Хотя на практике не существует линейных систем, однако в большинстве случаев многие из них могут рассматриваться как линейные в ограниченных диапазонах изменения пере­ менных. Характерной особенностью таких систем является возможность их описания с помощью аналитических функ­ ций, т. е. имеющих в каждой точке конечные производные и, следовательно, разложимых в ряд Тейлора.

Деление на системы о голономными и неголономными связями (термины введены Герцем) между переменными

осуществляется в зависимости от того, могут ли эти связи быть выражены в форме, содержащей непосредственно сами переменные (holos, греч. — единый, целый) или их беско­ нечно малые приращения. Математически голономные связи могут быть записаны в виде конечных уравнений, а неголономные связи — в виде дифференциальных, интегральных или интегро-дифференциальных.

Если переменные системы изменяются во времени и про­ странстве, их относят к системам с распределенными пара­ метрами; если только во времени, — к системам с сосредо­ точенными параметрами. Математически неголономные си­ стемы d сосредоточенными параметрами обычно описывают-,

ся обыкновенными дифференциальными уравнениями, где аргументом является время, а системы с распределенными параметрами — уравнениями в частных производных, где независимыми переменными являются пространственные координаты и время.

Системы, у которых связи (их структура или параметры) изменяются во времени, называются нестационарными.,

Простейшими системами являются одномерные стацио­ нарные сосредоточенные линейные системы с голономными связями, более сложны для анализа системы многомерные, нестационарные, с неголономными связями, с распределен­ ными параметрами, наибольшую сложность вызывает анализ

50