книги из ГПНТБ / Егоров С.В. Элементы идентификации и оптимизации управляемых систем учеб. пособие

Чтобы координаты собственного вектора были линейно-независимыми,

Как видно из примера, в результате преобразований мо­ гут получиться фиктивные координаты, т. е. такие, которых реально нет в системе. Это надо [Иметь в виду при синтезе системы управления: очевидно, информация о состоянии объекта может быть получена только от реальных перемен­ ных. Однако в анализе системы присутствие фиктивных координат не отражается, кроме two, путем неособого пре­ образования координат всегда можно добиться, чтобы инте­ ресующие нас координаты соответствовали реальным пере­ менным системы.

Пункт 2. Переход от временных к частотным характери­ стикам и обратно, как указано в § 2-3, дается прямым и об­

ратным преобразованием Лапласа или Фурье.

На практике для нахождения временных характеристик по передаточной функции пользуются теоремой разложения (для случая простых корней она дана в п. 9 табл. 2-1):

71

Cij — коэффициент, находимый как

Пункт 3. Переход от дифференциальных уравнений (2-16) или (2-18) к временным или частотным характеристи­ кам имеет одну весьма существенную особенность: посколь­

ку временные или частотные характеристики определяются при нулевых начальных условиях (см. определения), они могут не отражать некоторых особенностей динамики, в отличие от дифференциальных уравнений, полностью опи­ сывающих систему.

Так как временные и частотные характеристики эквива­ лентны в определенном смысле, далее рассмотрим только связь между дифференциальным уравнением и передаточной функцией.

Формально эта связь легко получается из свойства 5 табл. 2-1. Применяя его к (2-17), в соответствии с определением (2-29) получаем передаточную функцию ik-vo канала объек­

та в виде

где полиномы Ак, Ви<определяются соотношениями (2-176).

При записи уравнений в нормальной форме из (2-18а) сра­ зу получаем по определению (2-30) передаточной матрицы

системы с учетом того, что Х=рХ,

где I — единичная матрица (пХп). Таким образом, переда­

точная матрица системы практически является удобной фор­ мой записи дифференциальных уравнений, и, казалось бы, обратный переход — от передаточных функций к диффе­ ренциальным уравнениям — не составляет труда. Однако это не так, потому что одна и та же передаточная функция мо­ жет соответствовать различным дифференциальным уравне­ ниям, если система не полностью управляема или наблюдае­ ма.

72

§ 2-5. Управляемость и наблюдаемость линейных систем

Рассмотрим для простоты одномерную систему из двух последовательно соединенных звеньев (рис. 2-3) с переда­ точными функциями

Передаточная функция такой системы равна

что формально соответствует дифференциальному уравне­ нию

а ее характеристическое уравнение (р + а)(р + Ь )= 0 имеет два корня: р\ = —а, р2= —Ь. Следовательно, выход данной

системы при произвольных начальных условиях запишется как

ной системы на произвольное воздействие v(t). Реакция же

73

сколько неверное суждение можно составить в этом случае о системе, если судить по ее передаточной функции, по­ скольку, например, при Rea<0, Rей>0 действительная система будет неустойчива, в то время как система (2-45) ус­

тойчива.

Выше мы установили, что каждому корню характеристи­ ческого уравнения (или полюсу передаточной функции) си­ стемы соответствует своя координата.

Легко видеть, что действительная система описывается двумя координатами, в то время как система (2-45) — одной.

Можно показать, что в действительной системе одна координата неуправляема, хотя обе наблюдаемы, а если

звенья w1, w2 (рис. 2-3) поменять местами, то одна коорди­

ната ненаблюдаема, но обе управляемы. Понятия неполной управляемости и неполной наблюдаемости поясняются на рис. 2-4, где представлены:

а) случай неполной управляемости системы (но полной

наблюдаемости), когда можно найти такую систему коопди-

Рис. 2-4. Неуправляемая (а) и ненаблюдаемая (б) части системы

нат, что на часть координат Х(2)= (хи+1, ..., х„) не влияют ни входные воздействия V— (ui, ..., v,„), ни другие переменные состояния Х(\)= (х\, ..., х»);

б) случай неполной наблюдаемости системы (но полной

управляемости), когда можно найти такую систему коорди­ нат, что часть из них Х@) не влияет на выходные перемен­ ные У=(г/1, ..., yq) ни непосредственно, ни через другие пе­ ременные СО СТО ЯН ИЯ Л(|).

74

себя только в том случае, если имеет запасенную энергию (ненулевые начальные условия). В более общем случае си­ стема может содержать, помимо указанных, также неуправ­ ляемую и ненаблюдаемую часть.

Наиболее просто можно судить об указанных свойствах системы, если ее уравнения приведены к канонической фор­ ме (2-39). В этом случае каждая каноническая координата и ее производная не связаны с другими координатами и зави­ сят только от входных воздействий. Поэтому, если матрица В0 имеет нулевую i-ю строку, то i-я координата неуправляе­ ма, а если матрица Г° имеет нулевой i-й столбец, то i-я

координата ненаблюдаема. В общем же случае, при некано­ нических связях (2-18), по виду матриц А, В, Г обычно

нельзя установить ненаблюдаемое™ или неуправляемости из-за взаимосвязи координат. Для суждения об этом имеют­ ся соответствующие критерии [2-6]:

1. Система (2-18) полностью управляема, если дефект клеточной матрицы

равен нулю (нижние индексы у матрицы указывают ее раз­ меры).

2. Система (2-18) полностью наблюдаема, если дефект клеточной матрицы

равен нулю.

Величина дефекта матрицы У (или Н) указывает на чис­

ло неуправляемых (или ненаблюдаемых) координат. Сделаем два замечания.

В данном параграфе молчаливо предполагалось, что век­ тор V —это вектор управлений. Однако ранее (ом. п. 2

§ 2-3) он был введен как вектор вообще входных воздейст­ вий — управляемых U и возмущающих V. Следовательно,

уравнения (2-18) можно переписать в виде

Х=АХ+Вци +BzZ, где В = [Вп |Вг].

Поэтому для установления управляемости системы следует найти дефект матрицы

75

а для установления возмущаемости системы — дефект мат­ рицы

Вместо термина «невозмущаемость» обычно используют термин «инвариантность». Показано [2-1], что неуправляе­ мость (инвариантность) и ненаблюдаемость координат связа­ ны с наличием в передаточных функциях одинаковых нулей

иполюсов. Таким образом, по передаточной матрице можно восстановить только полностью управляемую (возмущаемую)

инаблюдаемую часть системы. На практике же, как неодно­ кратно было замечено, факт совпадения нулей и полюсов пе­ редаточных функций с учетом неизбежных флуктуаций их па­ раметров является нереальным. Это позволяет утверждать, что все реальные системы полностью управляемы и наблюдае­

мы. Вместе с тем указанные особенности нельзя не учитывать при синтезе управляющего устройства, если процедура син­ теза основана на получивших одно время распространение методах компенсации нулей и полюсов передаточных функ­ ций объекта управления.

§ 2-6. Аппроксимация линеаризуемых систем

Реальные объекты управления, как правило, имеют весь­ ма высокий порядок, однако с достаточной для практики точностью могут быть описаны моделями невысокого поряд­ ка с произвольной или заданной структурой дифференци­ альных уравнений. Среди методов представления объектов моделями заданной структуры широкое распространение получили методы разложения динамических характеристик объектов по подходящим системам функций.

Рассмотрим вначале одномерный линейный объект. Его импульсную характеристику w(x) аппроксимируем в виде

где {с„} — коэффициенты разложения;

(Фл) — подходящая система функций, выбор которой производится с учетом априорной информации об объекте, возможности аппроксимации (2-50) малым числом членов, простоты реализации и др. Наибольшее распространение по­ лучили ортогональные на интервале т [0, ■"») системы функ-

76

ций. Их выбор для систем с сосредоточенными параметрами производится следующим образом.

Сравнивая (2-50) и (2-42), замечаем, что функции ф„(т) можно выбрать в виде функций, входящих в i-ю сумму (2-42). Однако такой выбор требует знания величин р, и /п<. На практике такая информация отсутствует. Можно лишь весьма приближенно оценить по времени памяти Тп

(см. п. 3 § 2-3) величину

i

и выбрать в качестве подходящей системы

п—1

урп{т) = е~ах ^ k {Tl, п = 1 , 2 , . . .

<=Ч

К подобным системам относится, например, ортонормальная система функций Лагерра

временные и частотные характеристики которой показаны на рис. 2-5, где безразмерная частота Q=<ocr1 (а — масштаб времени). Два варианта реализации элементов с динамичес­ кими характеристиками (2-52) на элементах аналоговой тех­ ники показаны на рис. 2-6. Такая система функций обладает:

1) полнотой в классе функций L2[0, ^о);

2) ортонормальностью на интервале т[0, ^ ) , когда

Первое свойство делает эту систему универсальной для аппроксимации устойчивых систем, а второе позволяет весь­ ма просто находить коэффициенты {сп} в разложениях (2-50), причем при добавлении в (2-50) для повышения точ­ ности (N + 1)-го члена остальные коэффициенты не пере­

считываются.

Однако функции Лагерра являются частным случаем ортонормальных функций {%,}, полюса р< изображений кото-

77

№

—

и, л

ф ф ' Ьц

■jVIcc

Рис. 2-5. Временные и частотные характеристики функций Лагерра

рых различны в общем случае. При р(= —а(, где {а,} — дей­ ствительные различные числа, получаем «ортогональные экс­ поненты»

о (,р + ч)

9)

При pi——а, а = 0 получаем уже рассмотренные функции Лагерра; при p i= — а —(г—1)а, i== 1, 2, «ортогональные

экспоненты» известны как функции Лежандра—Якоби

К (Р) = |/ 2 (a -f (м— 1)а) х

П—1 0 (р _ а _ (/ _ 1)а)

П(Р + 0 + ( / - 1 ) 0 )

i=1

79

Если п-й и (п+ 1)-й корни комплексно сопряжены (р„= — и„±/р„), то функции известны как функции Каутца

Большое распространение при идентификации объектов, помимо функций Лагерра, получили также ортогональные функции временной задержки

Однако они не принадлежат классу L2[0, оо), что затруд­

няет анализ точности аппроксимации при их использовании, и не обеспечивают гладкости аппроксимации.

Выбор одной из вышеуказанных систем производится по априорной информации о характере переходных процессов объекта (монотонные, слабоколебательные, сильноколеба­ тельные). В частности, многие технологические аппараты тепло- и мааоообмена, электротехнические объекты, эконо­ мические системы и др., имеют монотонный характер пере­ ходных характеристик и хорошо аппроксимируются элемен­ тами с передаточными функциями второго и третьего поряд­ ка с отрицательными действительными полюсами, а многие электрические системы, летательные аппараты, морские су­ да и др. — передаточными функциями с комплексными по­ люсами. Изменение режимов, параметров таких систем приводит, как правило, к изменению их дина­ мических характеристик, при этом, например, полюса пере­ даточных функций «дрейфуют» в некоторой ограниченной области правой полуплоскости комплексного переменного. В этой связи возникает вопрос о точности аппроксимации (2-50). Последнюю будем оценивать величиной относитель­ ной квадратичной ошибки:

80