книги из ГПНТБ / Антонов В.М. Теоретическая механика (динамика) учеб. пособие

0,02= A sin а,

{0,12 = —6-0,02+SA cos а;

0,02= A sin а, 0,24=8А cos а.

, Отсюда

Подставив значения А и а в выражение (>6), найдем закон колебаний пластинки относительно оси 0—0 (положения рав­ новесия) :

х = 0,037 e_6tsin (8t+0,59).

Если за начало отсчета взять ось Oi—Oi (что и требуется по условию задачи), то закон колебаний пластинки примет вид (рис. 18):

x, = x + fCT.,

или

х, = 0,098+0,037 e~6t sin (8t+0,59) (м).

П р и м е р 4. Тело весом Р = 0,98 н, подвешенное на пру­ жине, верхний конец которой закреплен неподвижно, колеб­ лется с периодом Т = 0,4 я сек в вязкой жидкости, сила сопро­ тивления которой ■пропорциональна первой степени скорости тела. При отсутствии сопротивления среды период колебаний тела равен Т=0,2я сек. Найти значение силы сопротивления среды, а также определить уравнение движения тела, если известно, что телу сообщена начальная скорость Vo= = 0,14 м/сек, а пружине сообщено начальное удлинение fo=0,06 м; за начало координат выбран нижний конец недеформированной пружины (рис. 18).

40

где

2n = Л . m ’

(а)

m

Зависимость между частотой затухающих колебаний тела и частотой его гармонических колебаний:

k, = yk2—п2,

Подставив значения к] и к в выражение (б), ‘получим:

52= 102—п2.

Отсюда

п = У102—52=8,7 сект1.

Подставив значение п в выражение (а), найдем коэффи­ циент сопротивления среды р:

Р0,98

р = 2п ■га = 2 • 8,7 = 2 - 8 , 7 -g-g = 1,74 нсек/м .

Сила сопротивления среды будет равна:

R = —p v = —l,74v (н).

Определим положение равновесия тела. Для этого найдем величину статического удлинения пружины:

Р

Так как

с

m ’ ‘

41

то

Запишем уравнение затухающих колебаний тела, проис­ ходящих относительно положения равновесия тела (оси

0—0):

dx

vx = ~jf- = — n A e-nt sln(kit 4- a) -j- Ake_nt cos(M + a) =

= — 8,7 Ae-8'74 sin(5t -+- a) + A • 5e~8'7t cos(5t + a) ■ (r)

Подставив начальные условия (д) в выражения (в) и (г), получим:

Подставив значения А и а в выражение (в), найдем за­ кон колебаний тела относительно положения его равновесия

(оси 0—0):

42

по условию задачи), то закон колебаний тела будет иметь вид:

неподвижно, подвешен магнитный стержень, проходящий че­

Пластинка помещена .в жидкость. Сила сопротивления дви­

с=40 н/м. Найти уравнение движения пластинки, если в на­ чальный момент пружина была растянута на f0 = 0, а пластин­ ке была сообщена скорость Vo = 0,7 м/сек. Начало координат выбрать в положении статического равновесия центра тяже­ сти пластинки со стержнем (рис. 19).

t

43

Так как в нашем случае k=n, то движение пластинки без учета возмущающей силы будет апериодическим. Уравнение апериодического движения пластинки при k= n таково:

44

Подставив начальные условия (г) в выражения (б) и (в), найдем постоянные Ci и С2:

0 = С2)

0,7 = С[—20С2.

Отсюда

С2=0, С, = 0,7+20С2=0,7.

Подставив значения Ci и С2 в (б), получим закон апериодичеокого движения пластинки:

Под действием возмущающей силы FB03m. пластинка будет совершать вынужденные колебания, уравнение которых име­ ет вид:

где

_________ h_________

в = У (к2 — р2)2 -f- 4п2р2 =

__________ 40__________

= |/(202 - 122)2 + 4 ■202122 = 0,073 М ’

2пр 2 - 20-12

tg Р = к2 — р2 = 202 — 122 = 1)87 »

Р= 61°50'= 1,07 рад.

Подставив значения В и р в выражение (е), получим уравнение установившихся вынужденных колебаний пластин­ ки:

Уравнение движения пластинки с момента начала колеба­ ний:

х=х*+х**

или

x=0,7te-20t+0,073 sin (12t—1,07) (м).

Г л а в а III. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ

И ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА ДЛЯ ТОЧКИ

О б щ и е т е о р е м ы д и н а м и к и т о ч к и и п р и н ц и п Д а л а м б е р а д л я т о ч к и б а з и р у ю т с я н а о с н о в ­

45

но м з а к о н е д и н а м и к и т о ч к и (m w=2 FK) и опре­ деляют физические закономерности движения точки.

§ 9. Теорема об изменении количества движения точки

Количеством движения точки называется .вектор mv, рав­ ный произведению массы m точки на скорость v точки и на­ правленный по направлению скорости точки (рис. 20).

mV

Рис. 20

Пусть какая-либо точка М массой m движется по траек­ тории АВ под действием силы F (рис. 21). В начальный мо­ мент точка находится в положении М0; по истечении t сек точка переходит в положение М.

Запишем основной закон динамики для движущейся' точ­ ки (рис. 21):

46

Так как

dv

\v = dt ’

то уравнение (57) примет вид:

или (учитывая, что масса m точки — величина, не изменяю­ щаяся при движении точки)

d

“dt (mv) = S Fl<’

Разделим переменные в полученном уравнении, проинтег­ рируем левую и правую части его

времени (рис. 21);

mv — количество движения точки но истечении t сек по­ сле начала отсчета времени;

торной форме):

и з м е н е н и е к о л и ч е с т в а д в и ж е н и я т о ч к и з а

47

Уравнения (61) представляют собой теорему об измене­ нии количества движения точки в координатной форме.

В этом нетрудно убедиться, подставив F=const в выраже­ ние (59).

§ 10. Теорема об изменении момента количества движения точки

Моментом количества движения точки М относительно ка­ кого-либо центра 0 называется скалярная величина, равная

произведению количества движения mv этой точки на кратчай­ шее расстояние h от центра 0 до направления количества дви­ жения точки (рис. 22 а):

M0(mv)=mvh. (63)

48

Для .нахождения момента количества движения точки М относительно какой-либо оси z необходимо вектор количест­ ва движения mv спроектировать на плоскость, перпендику­ лярную оси z, и затем в этой плоскости найти момент проек­ ции mvnp относительно точки .пересечения оси с плоскостью

(рис. 22 б):

Пусть какая-либо точка M массой m движется по траек­ тории АВ под действием силы F (рис. 23). Момент количест­ ва движения точки М относительно центра О равен:

венства, будем иметь:

Рис. 23