книги из ГПНТБ / Антонов В.М. Теоретическая механика (динамика) учеб. пособие

Т—Т0 = ВАС,

(а)

где Т — значение

кинетической

энергии

механической си­

стемы в момент, когда кривошип ОА системы со­

ставляет

угол ср = 30° с

горизонтальной осью х;

Т0 —значение кинетической

энергии

системы в началь­

Т= ВА°.

(б;

Найдем значение кинетической энергии Т системы:

Т = Тол+ Т ав+ Т в,

где Тол — кинетическая энергия кривошипа ОА

в рассматри­

ваемый момент времени;

ТЛв — кинетическая энергия шатуна АВ в тот же момент

времени;

Тп—-кинетическая энергия ползуна В.

ОА совершает

Определим Т0Л, учитывая, что кривошип

вращательное движение вокруг оси О:

Тоа — ’ 2

0)2 =

(г)

Тлв ~г 2 1°2ав '

(д)

В выражении (д)

венного центра скоростей РЛв;

олв — угловая

скорость вращения

шатуна АВ в рассмат­

риваемый

момент времени.

Найдем

1р, используя теорему о моменте инерции тела от­

носительно

параллельных

осей:

1р

= 1с + гпдв • СР2ав =

Шлв •

АВ2

J2

+ т Ав ■СР2ав = .

Р2АВ2

Р2 •

СРав

Р2

/'

АВ2

CP2А В

(е)

=

12g

+

g

=

g

[

12

В выражении (е)

1с — момент

инерции

шатуна

относи­

тельно его центра масс С.

(см. рис.

72):

Из рассмотрения АДОВРав и АВРАв следует

АРЛв = ВРАв = АВ = ОА=0,4

м\

CPab=APab sin 60°= 0,4-0,87=0,35

м.

Подставив значение СРАв=0,35 м в выражение

(е),

по­

лучим:

60

I 0,42

+

\

'•

1Р = -^-g-1—

0,352 1=

0,84 кгм2 .

Подставив значение 1р= 0,84

кгм2 в выражение (д),

най-

дем ТАВ: '

Тдв =

1

‘ ^,84 ш2ав = 0,42 ш2лв ■

2

(ж ).

Определим Тв, учитывая, что ползун В совершает посту­

пательное движение:

1

1

Р3

1

100

Тв =

2 т вУв2 =

2

g

^в2

=

2

9 8 vb2 = ^

v°2 '

'(®)

Подставив выражения (г), (ж) и

(з) в выражение

(в),

получим

Т =

0,13 О)2 +0,42 ШАВ2 +

5,1 VB2 .

(и)

Найдем зависимость соАв и vb от и,

применяя законы ки­

нематики.

С одной стороны (см. рис. 72):

vA=<fl-OA=0,4a.

(К)

9*

131

ув = соАВ

• ВРлв — 0,4 шдв = 0,4 со .

(н)

Подставив выражения (,м) и (н) в зависимость (и), окон­

чательно получим:

Т = 0,13 со2 +

0,42-ш2 + 5,1 • (0,4 со)2 = 1,37 со2 .

(о)

2Ае=Мср = 500ф.

(п)

При повороте кривошипа ОА из

начального положения

в рассматриваемое на угол ср = 30°=

-g - рад

будем «меть:

2 Ае = 500-0- = 262

нм .

(Р)

угловая скорость равна 13,8 сек~К

Pi = 50 н

вращается

П р и м е р

3.

Кривошип 0 i0 2 весом

вокруг неподвижной точки Оь На палец

0 2

кривошипа сво­

бодно

надета

шестерня II

весом

Р2=20

н и

радиусом

г2 = 0,1 м, которая

сцеплена с

неподвижным колесом

I

ради­

уса Г] = 0,3

м.

При вращении

кривошипа

0 i0 2 колесо

II ка­

тится

без

скольжения по внутренней

поверхности

колеса I.

С колесом II

в точке А шарнирно соединен стержень

АВ ве­

Вес ползуна

Р4

= 28

н.

В начальный момент ср0 = 0 и

со0 = О. Кривошип 0

г02

и стержень АВ рассматривать как од­

нородные стержни, а колесо II — как однородный диск.

Р е ш е н и е .

Данная

механическая система (механизм)

энергии в конечной форме:

(а)

Т—Т0 = 2Ае.

Так как в начальный момент времени механизм находил­

ся в покое, то

т 0=о.

Тогда выражение (а) примет вид:

(б)

где Т — кинетическая

Т= 2Ае,

энергия механической системы

в мо­

мент времени,

когда механизм занимает положение,

на:

Т = Tq|Оо + Т„ + T a b + Тв ,

(в)

где То,о., Д и, ТЛв,

Тв — кинетические

энергии

кривошипа

O1O2,

колеса

II, шатуна АВ

и пол­

зуна

В.

Найдем кинетическую энергию кривошипа O1O2, учиты­

вая, что кривошип

совершает

вращательное движение

во­

круг оси Oi (рис. 73):

= “o^O, 0)2

J _

(

mO,Oo ' ° i ° 2 2

2

1

3

I P ,

1

50

= g- • -T T iO iO J2CO2

- g •

g-g •

0,22 •

a,2 = 0,034 to2 .

(r)

&

’

1

Найдем кинетическую энергию колеса II, учитывая, что

колесо II совершает

плоское

движение и что

мгновенный

центр скоростей колеса в данный

момент времени находится

в точке Рц (рис. 73):

Тц = -у - 1р„ • °>п2 ■

.

(д)

В выражении (д)

инерции колеса II относительно его мгно­

1Рм — момент

венного центра скоростей Рн;

шц— угловая

скорость

вращения

колеса

II в

данный

момент

времени.

1р,, =

1

3

=

1о, + ' т п ( ° 2рп)2 = —

т иг22 -г m„r22 = - ^ - т пг92

3

Р-,

3

20

= ~2~

■~1ГГ2 ~

~~2~ ' ~9~8 ‘ 0,12 = 0,03 кгм2 '

Подставив

значение

1рп =0,03

кгм2 в зависимость

(д),

получим:

1

0,03 ш,,2 =

0,015 ojj,2 .

(е)

Т„ = ~ 2 ~ •

Найдем кинетическую энергию шатуна АВ, совершающе­

го плоское движение:

Tab

wabs

(ж)

В выражении (ж)

1рдв — момент

инерции

шатуна АВ относительно

его

мгновенного центра скоростей Рдв;

соав — угловая

скорость

шатуна АВ в

данный

момент

времени.

Мгновенный центр скоростей РАв шатуна АВ при данном

положении шатуна совпадает с точкой В (рис. 73).

Поэтому

7

т

Ш ав • АВ2

Р3 • АВ2

Р АВ =

1в =

--------- 3---------

= -------3 i “

•

' Из

рассмотрения

ДД OiBPn и 0 2АРц (см. рис.

73)

на­

ходим:

АР,, =

т2 у

2 =

0,1 | /

2 — 0.14 м ;

АВ -

ВР„ -

АР„

= г, y Y

- Гз V~2 = V~2 (П -

га) =

= У~2 • 0,2 = 0,28 м .

Тогда

15 • 0.282

= 0,04 кгм2 .

3 • 9,8

Подставив значение 1рАВ =0,04

пгм* в зависимость (ж),

получим:

t

Tab = 4 “ ' °’04 ^ ав =

0.02 сь2АВ .

(з)

Найдем кинетическую энергию ползуна. В, учитывая, что

ползун совершает поступательное движение:

Тв = ~ mBvb2 •

При рассмотрении движения шатуна АВ было

найдено,

и, следовательно:

vB = 0

Тв = 0.

(и)

Подставив (г), (е),

(з),‘

(и) в выражение

(в), получим:

Т = 0,034 со2 + 0,015 со,,2 +

0,02 ш2ЛВ .

(к)

По законам кинематики найдем зависимость © и и © а в

от

и (рис. 73):

О)

vo2

со • О [02

0.2

о

■

(л)

и 2Нц

= — » = 2 » ,

VA = ю„АРи = (2 ш)(г2 у

2 ) =

2 •

0,1 у

2ш = 0,28 “ ;

Уа

0,28 со

со .

(м).

“ав =

АВ

0,28

=

Подставив зависимости (л) и (м)

в

(к),

получим:

Т = 0,034 со2 + 0,015 (2со)2 + 0,02

(со)2 =

0,114со2 .

(н>

Найдем -сумму работ всех внешних сил, действующих на

данный механизм.

М,

На механизм действуют силы Рь Рг, Рз, Рп момент

реакция Rb направляющих ползуна В и реакции xoi и

yoi

опоры Oi (рис. 73).

0 ,0 2.

При повороте кривошипа 0 i0 2

из

начального положения

в заданное на

угол

ср = 90°=^-рад

момент М,

приложенный

к кривошипу, произведет работу, равную:

А = Мер =• 25 •

=

39,4 нм .

(о)

Подставив выражения (.и),

(о )в

(б), получим:

Отсюда

0,114<в2=39,4.

39,4

ш

18,5

сек~1 .

0,114

Таким образом,

в момент времени, когда кривошип 0 i0 2

повернется на

угол 90°

от своего начального положения, его

угловая скорость

равна

18,5

сек~1.

Г л а в а

IX.

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ

МЕХАНИЧЕСКОЙ

СИСТЕМЫ.

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ

МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

§ 36. Силовое поле. Потенциальные силы.

Потенциальная энергия

С и л о в ы м

п о л е м

называется часть пространства, в-

каждой точке

которого

на помещенную туда

материальную

ний этой точки, называются

' п о т е н ц и а л ь н ы м и

с и л а -

м и.

Примерами потенциальных сил являются:

сила тяже­

сти,

упругая сила пружины.

материальной точки

в

данном

Потенциальной энергией

П =Амо-

(171)

АМ0М, = По — Пь

(172)

лы совершат работу, равную

1 А = П о -П ь

(173)

нечном положении системы.

Подставив выражение (173) в зависимость (168),

выра­

жающую теорему об изменении кинетической

энергии меха­

нической системы, получим:

Т,—То=Ло—П)

или

T1+ n l = T0+ n 0=const.

(174)

Это и есть закон сохранения механической энергии:

при движении механической системы под

действием по­

тенциальных сил сумма кинетической и потенциальной

энер­

2Fk+<I>k = 0,

(175)

Фк = —mkwk,

(176)

2 Р + 2 Ф к=0,

(177)