книги из ГПНТБ / Антонов В.М. Теоретическая механика (динамика) учеб. пособие

В этом и состоит принцип Даламбера для точки.

§13. Решение задач на динамику точки

спомощью общих теорем и принципа Даламбера

При решении задач на динамику точки следует помнить:

1)общие теоремы динамики точки и принцип Даламбера для точки справедливы только для абсолютного движения точки;

2)несвободную движущуюся точку (связанную с какими-

либо телами или другими точками) рассматривают как сво­ бодную движущуюся точку, освободив ее от связей и заме­ нив действие связей на точку реакциями связей.

При решении задач на динамику точки следует применять ту теорему, которая дает наиболее простое и быстрое реше­ ние.

П р и м е р 1. Кольцо М весом Р = 10 н скользит без тре­ ния по окружности радиуса R=1 м, расположенной в верти­ кальной плоскости. В начальный момент радиус-вектор ОМ0

импульс действующих сил за время поворота радиуса-векто­

Тогда точка М станет свободной.

На свободную точку М при ее движении из положения М0 в положение М будут действовать две силы: Р и N.

Для определения скорости точки (кольца) в положении М воспользуемся теоремой об изменении кинетической энер­ гии точки:

чение всего времени движения точки из положения М0 в положение М.

60

Определим сумму работ всех сил (Р и N), действующих на точку:

EA =A p + A n, (б)

где Ар — работа силы Р на перемещении МоМ;

An — работа силы N на том же перемещении М0М. Работа .веса Р точки, на перемещении МоМ будет равна:

Ap = Ph (см. рис. 32а).

При перемещении точки из положения М0 в положение М

61

Отсюда

v = -|/2gh+v02,

где (см. рис. 32)

h=M 0K+ML = R sin 60°+Р sin30°=JR (0,37+0,5) = 1,37 м.

Значение скорости точки в положении М будеттаково: v = l/2-9,8-l,37+32 = 6 м/сек.

Определим импульс сил, действующих на точку, за время перемещения точки из положения М0 в положение М. Для этого воспользуемся теоремой об изменении количества дви­ жения точки (в координатной форме):

| mvx—mvox= Sx,

{mvy—m v0y = Sy.

Из рис. 32а имеем: vx= —v sin 30°, vy= —v cos 30°, Vox=v0 sin 60°,

v0y = —v cos 60°.

Тогда

P

Sx = m(vx — vox) = - —(— vsin 30° —,v0 sin 60 ) =

&

где wn — нормальное ускорение точки; wT— касательное ускорение точки.

62

Нормальное ускорение точки М равно:

Найдем касательное ускорение wT точки М, воспользо­ вавшись теоремой об изменении момента количества движе­ ния точки:

где L0 — момент количества движения точки М относи­ тельно центра О;

БМо(Рл) — сумма моментов всех сил (Р и N), действую­ щих на точку М, относительно центра О.

Как видно из рис. 32а:

L0 = mvR,

2М0 (FK) = Р • OL = Р • R c o s 30°.

Тогда

d

—^ (mvR) — PR cos 30

dv

mR = PR cos 30° .

Так как

то

mRw, = PR cos 30°,

откуда

м

сек2

Полное ускорение точки М будет равно:

м

w = V wn2 + w,* = 1/362 + 8,522 = 37 сек2

63

. Пример 2. Груз весом Р = 9,8 н, подвешенный к концу В пружины АВ, может двигаться без трения в направляющих, наклоненных под углом а=30° к горизонту. Конец А пружи­ ны закреплен неподвижно на расстоянии АО = 0,4 м от на­ правляющих. В начальный момент груз находился в точке О

жесткости ее равен с= 120 н/м. Определить скорость груза в точке В, если OB = S = 0,3 м (рис. 33).

р

Рис. 33

Ре ше н и е . Освобождаем несвободную точку В от связей (направляющих и пружины) и заменяем их действие на точ­ ку реакциями связей N и FB. Получаем свободную точку В, на которую действуют силы Р, N и FB.

Для нахождения скорости точки В применим теорему об изменении кинетической энергии точки:

где vb — скорость точки В в положении В; vo — скорость точки В в положении О;

2А — сумма работ всех сил (Р, N, FB), действующих на точку, на перемещении ОВ точки.

Определим сумму работ сил Р, N, FB на перемещении ОВ:

64

2A = Ap + A n+ A f b ,

где Ар— работа силы Р на перемещении ОВ; An — работа силы N на перемещении ОВ;

Арв — работа восстанавливающей силы FB пружины на перемещении ОВ.

Работа силы веса Р точки на перемещении ОВ равна: AP= Ph = P-S-sin 30°= 9,8-0,5-0,3=1,47 н-м.

Сила N (реакция направляющих) направлена во все вре­ мя движения точки из положения О в положение В перпен­ дикулярно направлению своего движения. Поэтому

An = 0.

При перемещении точки В из положения О в положение В пружина из положения АО перейдет в положение АВ, то есть растянется на величину А/.

Д/=АВ—АО.

Из А ОАВ имеем:

АВ = -|/А02+ В 0 2 = -|/0,42+0,32 = 0,5 м.

Тогда

Найдем 2А:

У. А = Ар •-)- An -f- Арв = 1,47 — 0,6 = 0,87 хнм.

Подставив значение 2 А = 0,87 нм в выражение (а), полу­ чим:

ш

~Y(Vb2 - V0a) = 0,87 .

П р и м е р 3. Треугольная .призма ABD перемещается по неподвижной горизонтальной плоскости с заданным ускоре­ нием w1=200 см/сек2. По боковой грани АВ призмы переме­ щается в направлении от А к В груз М весом Р = 160 н. Ко­ эффициент трения груза о наклонную плоскость равен f= 0,2. Определить ускорение груза по отношению к призме и нор­ мальную реакцию наклонной плоскости (грани АВ, см. рис. 34 а).

б)

х

Ре ше н и е . Точка (груз) М совершает абсолютное дви­ жение, состоящее из относительного движения (движения точки по грани АВ призмы) с ускорением wr и переносного движения (движения точки вместе с призмой по горизон­ тальной плоскости) с ускорением wb

Освободим точку М от связи (шероховатой грани АВ) и действие грани АВ на точку-заменим нормальной реакцией N и силой трения Fxp (рис. 34а).

Тогда на свободную движущуюся точку М, имеющую в рассматриваемый момент времени ускорения wr и wb будут действовать силы Р, FTp и N (рис. 34 а).

Мысленно остановим точку М (на основании принципа Даламбера), приложив к ней силы инерции Фг и Фь направ­ ленные противоположно ускорениям wr и wi точки (рис. 34 а).

6 6

Так как все силы, действующие на точку М, сходятся в одной точке, то условия равновесия точки будут таковы:

нетки и реакцию кольцевой опоры в тот момент, когда ваго­ нетка находится в точке С, если ИВОС=<р=60°. Сопротивле­

ной точки и определим скорость ее в положении С, применив теорему об изменении кинетической энергии точки:

сила Р (вес вагонетки). Работа реакции опоры N, направлен­ ной во все время движения вагонетки перпендикулярно пере­ мещению вагонетки, равна нулю.

Поэтому

2A =Phi,

где hi -у- вертикальное смещение вагонетки. Как видно из рис. 35а:

hi= h —BK = h— (OB—OK) = h— (R—R cos 60°) =

68

Для нахождения реакции опоры вагонетки в точке С при­ меним принцип Даламбера: мысленно остановим вагонетку, приложив к ней силы *инерции Фп и Фт, направленные в стороны, противоположные нормальному wn и касательному W- ускорениям вагонетки.

Величина силы инерции Фп будет равна:

2 Fky= —N+ Ф п + Р cos 60°= 0:

Отсюда

N —Фп+P'COS 60°=28-103+4-103-0,5= 30-103 н= 30 кн.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ

ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА И МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

М е х а н и ч е с к о й с и с т е м о й называется совокупность тел, соединенных или соприкасающихся друг с другом.

Телом называется совокупность материальных точек, свя­ занных между собой внутренними силами сцепления.

69