книги из ГПНТБ / Антонов В.М. Теоретическая механика (динамика) учеб. пособие

Подставив значение силы F„ в правую часть дифференци­ ального уравнения (11), получим:

у р а в н е н и е м г а р м о н и ч е с к и х к о л е б а н и й т о ч - к и.

к— круговая частота колебаний (количество колебаний точки за время 2л сек).

Амплитуда А имеет размерность длины, а измеряется в радианах, к измеряется в рад/сек.

Построим график гармонических колебаний точки, т. е. представим графически зависимость х от времени t. Эта за­ висимость выражается синусоидой (рис. 10),

Время Т, в течение которого 'Происходит одно полное ко­ лебание точки, называется периодом колебаний точки.

20

Как видно из (выражения (14), во все время колебаний точки частота колебаний точки является величиной постоян­ ной и зависит только от жесткости пружины (с) и массы точ­ ки (гп):

Период колебаний Т точки будет также величиной посто­ янной и равной:

Гармонические колебания точки являются незатухающи­ ми колебаниями.

§ 6. Затухающие колебания точки

Точка (тело) будет совершать затухающие колебания, если, кроме восстанавливающей силы пружины (FB), будет действовать на нее сила сопротивления (R) (рис. 11).

21

о а: ar

Рис. 11

Силы сопротивления R, действующие 'на точку при ее дви­ жении, различны по своей физической природе. Они могут быть силами постоянными (силы трения) и силами перемен­ ными (зависящими от скорости движения точки и т. д.).

Рассмотрим тот случай затухающих колебаний точки, когда на точку действует восстанавливающая сила пружины FB= —сх и переменная сила сопротивления R, пропорцио­ нальная скорости точки (колебания точки в вязкой среде):

Знак минус в выражении (20) показывает, что сила со­ противления R, действующая на точку со, стороны вязкой среды, направлена в сторону, противоположную скорости точ­ ки.

Запишем дифференциальное уравнение движения тойки М (под действием сил Fn и R), происходящее в направлении оси х:

d2x m dt2 =

или

d2x

m - ^ r = F8 + R .

Подставив значения FB и R в полученное выражение, по­ лучим.:

22

Так как

у р а в н е н и е м з а т у х а ю щ и х к о л е б а н и й т о ч к и .

При значениях п= к и п > к , т. е. когда сопротивление дви­ жению точки велико, точка совершает апериодическое движе­ ние согласно выражениям (23) и (29). График апериодиче­ ского движения точки показан на рис. 12.

В выражениях (28) и (29)

23

С], Сг, А, а — постоянные, определяемые из начальных ус­ ловий движения точки;

sh — гиперболический синус.

Более подробно остановимся на случае, когда n < k , т. е. когда сопротивление движению .точки мало. При этом точка совершает затухающие колебания согласно уравнению (27):

х = Ae_ntsin (k it+ a),

ki = yk2—п2 — круговая частота затухающих колебаний. График затухающих колебаний показан на рис. 13. Время, в течение которого происходит одно полное коле­

бание точки при ее затухающих колебаниях, называется пе­ риодом затухающих колебаний (Ti).

Зависимость между круговой частотой затухающих коле­ баний точки ki и периодом ее колебаний Ti такова:

т - = т г -

Во все время колебаний точки частота ее затухающих ко­ лебаний — величина постоянна и равна:

п — коэффициент, характеризующий вязкость среды.

24

Рис. 13

Как следует из зависимостей (24) и (25),

При затухающих колебаниях точки амплитуды, колебаний точки постепенно уменьшаются.

Определим, пак уменьшается последующая амплитуда Ai+i точки по сравнению с предыдущей А]. Для этого соста-

Ai + |

вим отношение —— : Aj

^ L ± i_Ае— п(‘ +~^~ Aj д е—nt

Выражение (33) показывает, что амплитуды затухающих колебаний точки составляют ряд, представляющий геометри-

Т,

- п —

25-

Колебания точки, происходящие в вязкой среде, быстро

.затухают (даже при небольших значениях п).

§ 7. Вынужденные колебания точки

а) В ы н у ж д е н н ы е к о л е б а н и я т о ч к и с у ч е т о м с ил с о п р о т и в л е н и я с р е д ы .

Точка совершает вынужденные колебания, если на нее, помимо восстанавливающей силы пружины (Fn) и силы со­

26

то выражение (35) с учетом (36) примет вид:

Разделим уравнение (37) на m. Получим:

Обозначим

и представляет, собой уравнение затухающих колебаний точ­ ки.

—Bp2 sin (pt — Р) + 2 npB cos(pt — Р) + .

+Bk2 sin(pt — В) = h sin pt .

27

Обозначим

Pt—Р = Ф ,

откуда

p t = i p —f-p .

Тогда

— Bp2 sin >]) -+- 2 np В cos + Bk2 sin •!) = h sin(^ -f- (3) ,

уравнения (46) были равны коэффициентам при sin ф в пра­ вой части этого уравнения, коэффициенты при соэф в левой

уравнение колебаний точки, находящейся под действием пе­

В выражении (50) постоянные А и а определяются из на­ чальных условий движения точки, а значения В и р — по фор­ мулам (48) и (49).

Как видно из выражения (50), колебания точки, проис­ ходящие под действием периодической возмущающей силы, являются колебаниями сложными и слагаются из собствен­ ных затухающих колебаний точки [первый член в правой ча­

28

Время, в течение которого точка совершает сложные ко­ лебания, слагающиеся из собственных затухающих и вынуж­

ся очень незначительное время, точка начнет совершать толь­ ко вынужденные колебания, определяемые зависимостью:

симальное отклонение точки от положения равно­ весия) ;

р— частота вынужденных колебаний точки, равная ча­ стоте возмущающей силы;

29