книги из ГПНТБ / Антонов В.М. Теоретическая механика (динамика) учеб. пособие

Абсолютно твердым телом называется такое тело, рассто­ яния между материальными точками которого не изменяются под действием сил, приложенных к телу.

Г л а в а IV. /МАССА МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

ИМЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

§14. Масса механической системы. Центр масс механической системы

Масса системы определяется как арифметическая сумма масс всех точек или тел, образующих систему:

В однородном поле тяжести, для которого g = const, вес любой частицы к тела пропорционален ее массе:

Pk=mkg. (94)

Поэтому распределение масс в теле можно характеризо­ вать распределением в теле сил тяжести, а положение цент­ ра масс тела определять положением центра тяжести тела.

Координаты, определяющие положение центра тяжести тела, находят (как известно из статики) по формулам:

Координаты, определяющие положение центра масс тела или механической системы, найдутся по аналогичным зави­ симостям:

где

хс, Ус, zc — координаты центра масс тела (системы);

Шк — массы материальных точек, составляющих те­ ло (систему);

70

где гк — радиусы-векторы точек, образующих тело (систему).

Рис. 36

§15. Момент инерции тела относительно оси. Центробежный момент инерции тела

Моментом инерции тела относительно какой-либо оси на­ зывается сумма произведений масс Шк всех точек тела на квадраты их расстояний до данной оси (рис. 37):

71

Рис. 37

Для сплошных однородных тел моменты инерции относи­ тельно осей х и у запишутся в виде:

(99)

Полярным моментом инерции тела относительно какоголибо полюса О называется сумма произведений масс тк всех точек тела на квадраты их расстояний до этого по­ люса:

ких-либо двух осей х и у называется сумма произведений масс гпк всех точек тела на расстояния этих масс до' осей х и

72

Центробежный момент инерции тела может быть положи­ тельным, отрицательным и равным нулю.

§ 16. Определение моментов инерции простейших однородных тел

dy-

Элементарная масса участка dy равна: dm = pdy, '

где р — плотность материала стержня. Для однородного стер­ жня' p=const.

Момент инерции стержня АВ относительно оси Ах

где Jx — момент инерции стержня относительно оси Ах, пер­ пендикулярной стержню и проходящей через конец этого стержня;

73-

Аналогичным образом можно найти момент инерции стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и про­

инерции кольца относительно оси z, перпендикулярной плос­

где m — масса кольца.

a)

Рис. 39

Формула (104) определяет момент инерции кольца отно­ сительно оси z, перпендикулярной плоскости кольца и прохо- l дящей через его центр.

Такой же результат получим и для момента инерции тон­ кой цилиндрической оболочки (массы m и радиуса R) отно­ сительно ее оси г (рис. 396).

в) К р у г л а я т о н к а я о д н о р о д н а я п л а с т и н а . Найдем момент инерции круглой пластины относительно оси г, перпендикулярной пластине н проходящей через ее центр (рис. 40а). Для этого выделим из пластины элементарное

74

кольцо радиуса г и ширины dr. Площадь этого кольца будет равна 2nrdr, а масса

dm = p-2nrdr,

где р — плотность материала пластины. Для однородной пла­ стины p=const.

Тогда по формуле (104) для выделенного элементарного кольца будем иметь:

dJz = r*dm = 2 r3d r ,

а для всей пластины:

J2 = 2 «р J r3dr = —1—кр R4 .

о^

Формула (105а)'определяет момент инерции круглой пла­ стины относительно оси z, перпендикулярной пластине и про­ ходящей через ее центр.

Такой же результат получим и для момента инерции од­ нородного круглого цилиндра (массы m п радиуса R) отно­ сительно его оси z (рис. 406).

Путем аналогичных рассуждений нетрудно доказать, что момент инерции круглой пластины относительно оси х, ле­ жащей в плоскости пластины и проходящей через ее центр, равен (рис. 40а):

75

К

ё

Для однородного сплошного круглого конуса массой m и ра­ диусом основания R момент инерции относительно его оси z

76

Рис. 43

§ 17. Моменты инерции тела относительно параллельных осей.

Моменты инерции тела относительно пересекающихся осей

х — параллельной ец. Расстояние между осями хс и х возь­ мем равным а (рис. 44).

Рис. 44

Выделим в теле элементарную частицу массой nik на рас­ стоянии ук от оси хс. Тогда расстояние частицы гпк от оси х -будет равно:

• , Ук'= Ук+ а.

77

Найдем момент инерции тела относительно оси х:

Jx = 5 rrik (ук' ) 2= Smk (Ук:+о) 2= 2ткук2-+ а 22 т к + 2 й 1 т ];ук.

В правой части полученного выражения первая сумма равна Jv вторая — массе тела т .

Найдем значение третьей суммы.

Из теории определения центра масс тела известно: 2гпиук = тус.

Так как в нашем случае точка С лежит на оси хс. то поэтому Ус—0 и, следовательно, Bmkyk = 0.

Окончательно получаем:

Таким образом, момент инерции тела относительно какойлибо оси равен моменту инерции тела относительно оси, ей параллельной и проходящей через центр масс тела, плюс про­ изведение массы тела на квадрат расстояния между осями.

Приведем без доказательства формулу для вычисления момента инерции тела относительно любой оси v, проведен­ ной через начало координат (рис. 45):

78

Jyz> Jzx, Jxy -— центробежные моменты инерции тела;

Бели у тела есть ось симметрии хс, то центробежный мо­ мент инерции тела относительно пары осей, в которую входит ось симметрии хс (рис. 46 д), равен нулю, так как в-этом слу­ чае каждой элементарной точке dm с положительным у со­ ответствует равная и симметрично расположенная элементар­ ная точка dm' с отрицательным у. Произведения xydm пар точек dm и dm' взаимно уничтожаются, и интеграл

Jxydm = Jxy обращается в нуль. ТП

В общем случае для любой точки тела всегда найдутся такие две взаимно перпендикулярные оси, относительно ко­ торых центробежный момент инерции тела равен нулю

(рис. 466).

И/

Рис. 46

Оси, относительно которых центробежный момент инер­ ции тела равен нулю, называются главными осями инерции тела.

Если эти оси проходят через центр маюс тела, то они на­ зываются главными центральными осями инерции, а момен­ ты инерции тела относительно этих осей — главными цент­ ральными моментами инерции.

79