книги из ГПНТБ / Антонов В.М. Теоретическая механика (динамика) учеб. пособие

Р е ше н и е . Мысленно остановим данную механическую систему, приложив к движущимся телам системы силы инер­ ции.

Груз А системы совершает вращательное движение во­ круг оси ООь Сила инерции груза А будет направлена в сто­ рону, противоположную ускорению этого груза, и равна:

Сообщим данной механической .системе, мысленно оста­ новленной по принципу Даламбера, возможное перемещение. Для этого переместим муфту D вдоль оси OOi на 'бесконеч­ но малую величину 6yDПри этом все точки данной системы получат возможные перемещения; в том числе точка А по­ лучит в направлении оси х перемещение бхА, а в направлении оси у — перемещение буА; точка В получит в направлении оси х перемещение бхв, а в направлении оси у — перемеще­ ние був; точка Е (центр тяжести муфты) получит в направ­ лении оси у перемещение був (рис. 96).

Запишем условие равновесия данной механической систе­ мы (на основании общего уравнения динамики):

2 (Fkxa &xk + Fkya oyk + Fkza § zk) + 2j(6?iX8 Xj 4- + Ф;у 8 у* + Oiz 8 Zj) = 0 .

Найдем зависимость между бхА, бхв, буА) був и 6yD, пред­ варительно определив координаты хд, хв, уА) ув и ув в оста­ новленном положении системы:

190

В процессе сообщения возможного перемещения останов- '

ленной .системе непрерывно будут изменяться координаты

хЛ, хв, Уа, Ув, Уб, а также угол а системы.

Продифференцируем уравнения в выражении (д) по пе­ ременной а, полупим:

6 ха = —/ cos а-6.а,

бхв = / cos а-ба,

буА = —/sin а-ба,

був = —/ sin а-ба, 6yD= —2/ sin а-ба.

Подставив полученные значения в зависимость (в), бу­ дем иметь:

С учетом зависимостей (а), (б) и (г) выражение (е) при­ мет вид:

— 4c/2 • (1 — cos a) • sin a .

Отсюда

191

Г л а в а XIII. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

^МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

ВОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ

(УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА)

§ 46. Обобщенные координаты и обобщенные скорости механической системы

Независимые между собой параметры, число которых ра­ вно числу степеней свободы системы и которые однозначно

На рис. 97 показана механическая система с двумя сте­ пенями свободы, обобщенные координаты 'которой будут S и ф.

При движении механической системы ее обобщенные ко­ ординаты с течением времени непрерывно изменяются. Поло­

жение механической системы в любой момент времени можно определить, если будут известны:

где qi, q2,.. qs — обобщенные координаты механической систе­ мы.

* Производные по времени от обобщенных координат назы­ ваются обобщенными скоростями системы (q'i; q'2; ... q's).

19’2

На рис. 97 обобщенными скоростями движения системы будут Vc и ю, причем

dS

Сообщим обобщенной координате qi механической систе­ мы возможное перемещение 6qb оставляя остальные обобщен­

ные 'координаты системы без изменения.

При этом все точки рассматриваемой системы получат

возможные перемещения.

Элементарная работа всех активных сил, действующих в

активных сил системы при сообщении систе­ ме возможного перемещения 6qi;

FkT — проекции активных сил системы на направле­ ние возможных перемещений точек приложе­ ния этих сил.

Сдругой стороны, элементарную работу всех приложенных

кмеханической системе активных сил можно выразить как произведение некоторой силы Q, направление которой совпа­ дает с направлением возможного перемещения обобщенной

координаты 6qi, на величину этого перемещения:

Величина Qi, определяемая равенством (205) или (206),

193

называется обобщенной силой, соответствующей обобщен­ ной координате qi.

Сообщая механической -системе другое независимое воз­ можное перемещение 6q2, при котором -изменяется только ко­

Сообщим системе такое возможное перемещение, при ко­ тором одновременно изменяются все ее обобщенные коорди­ наты. Тогда сумма работ всех действующих в системе актив­ ных сил н'а этом перемещении равна: •

§48. Уравнения движения механической системы

вобобщенных координатах (уравнения Лагранжа 2 -го рода)

Запишем общее уравнение динамики для любой движу­ щейся механической системы:

где ЕбАка — сумма работ всех активных сил механической системы на возможном перемещении системы; S6Ain — сумма работ сил инерции всех тел, входящих в систему, на возможном перемещении систе­

мы.

Пусть рассматриваемая механическая система имеет S степеней свободы и ее положение определяется обобщенны­ ми координатами qi, q2, ..., qs-

Сообщим системе возможное перемещение, при котором одновременно изменяются все ее обобщенные координаты, и найдем сумму работ всех акуивных сил системы на этом пе­ ремещении:

где Qi*1, Q2“, ..., Qs“—обобщенные силы инерции, которые ана­ логичны зависимостям (206) и (208), равны:

194

Преобразуем сначала соответствующим образом величину

Qi".

Так как сила инерции любой точки механической систе­

Чтобы выразить Q,11через кинетическую энергию системы, надо преобразовать правую часть равенства (216) так, чтобы

дифференцировав произведение, стоящее оправа в круглой - скобке.

195

Подставив выражения (218) и (219) в зависимость (217), - получим:

где T — кинетическая энергия рассматриваемой движущейся механической системы.

Аналогичные выражения получаются для всех остальных обобщенных сил инерции.

Подставив значения обобщенных сил инерции (221) в ра­ венства (215), получим окончательно:

196

ные уравнения движения механической системы в обобщен­ ных координатах (уравнения Лагранжа 2-го рода).

Число таких уравнений, доставляемых для механической си­ стемы, равно числу степеней свободы рассматриваемой систе­ мы.

Если все действующие на механическую систему силы по­ тенциальны, то уравнения Лагранжа 2-со рода примут вид:

В выражениях (223) П — потенциальная энергия механи­ ческой системы — определяется как величина, численно рав­ ная работе, которую необходимо затратить для перемещения данной системы под действием потенциальных сил из нулево­ го положения в рассматриваемое.

§ 49. Решение задач динамики системы

спомощью уравнений Лагранжа 2-го рода

Спомощью дифференциальных уравнений движения ме­ ханической системы (уравнений Лагранжа 2-го рода) можно находить уравнения движения, скорости и ускорения любого тела или точки системы.

Чтобы для данной движущейся механической системы со­ ставить уравнения Лагранжа 2-го рода, необходимо:

1)установить число степеней свободы системы и выбрать обобщенные координаты системы;

2)вычислить обобщенные силы Qi системы, сообщая си­ стеме независимые друг от друга возможные перемещения;

3)вычислить кинетическую энергию Т системы в ее абсо­ лютном движении и выразить эту энергию через обобщенные координаты qi и обобщенные скорости qV,

4)подсчитать соответствующие частные .производные от Т

оси Az. К валу АВ прикреплен конец пружины, а другой ее конец соединен с ползуном С, который может скользить без трения по стержню DE; вес ползуна С равен Р = 50 н. Ко­ эффициент жесткости пружины равен с = 250 н/м, а ее длина в недеформированном состоянии равна /=1 м. Момент инер­ ции вала со стержнем относительно оси Az равен J = 0,8 кгм2. В начальный момент ползун находился в положении стати­ ческого равновесия и валу была сообщена угловая скорость

степени свободы. Примем за обобщенные координаты систе­ мы угол поворота ср вала АВ и расстояние х ползуна С от точки D (рис. 98).

1. Сообщим рассматриваемой в произвольный момент вр мени механической системе возможное перемещение бср и определим обобщенную силу Qi, соответствующую переме­ щению бср:

Найдем 6А], учитывая, что. в системе действуют две ак­ тивные силы: вес ползуна Р и восстанавливающая сила пру­ жины FB.

198