книги из ГПНТБ / Антонов В.М. Теоретическая механика (динамика) учеб. пособие

Рис. 59

. Зная момент количества движения тела относительно ка­ кого-либо центра О, можно найти моменты количества дви­ жения тела относительно любых, трех взаимно перпендику­ лярных осей, проходящих через данный центр О:

Lo=LH-Ly+Lz. (140)

Мо м е н т к о л и ч е с т в а д в и ж е н и я т в е р д о г о т е л а , с о в е р ш а ю щ е г о в р а щ а т е л ь н о е д в и ж е н и е

Пусть какое-либо тело совершает вращательное движение относительно оси z (рис. 60).

Тогда момент количества движения данного тела относи­ тельно, оси г будет равен:

о — угловая скорость вращения тела (величина, одинако­ вая для всех точек вращающегося тела), '

получим:

Lz = 2mk(cohk)hk=a>2mkhk2.

160

Рис. 60

Учитывая, что Hrrikhk2 представляет собой момент инерции данного тела относительно оси z, окончательно будем иметь

Таким образом, момент количества движения твердого те­ ла, вращающегося вокруг оси г, равен произведению момента инерции данного тела относительно оси г на угловую ско­ рость вращения тела.

Мо м е н т к о л и ч е с т в а д в и ж е н и я м е х а н и ч е с к о й с и с т е м ы

Для механической системы, состоящей из группы тел, мо­ мент количества движения относительно какого-либо центра (оси) будет слагаться из моментов количеств движения отно­ сительно этого центра (оси) всех тел, входящих в -систему:

Бели механическая система, состоящая из нескольких тел, вращается вокруг какой-либо оси z, то момент ' количества

101

движения этой системы относительно оси z равен:

где J,z, J2Z, Jkz— моменты инерции тел системы относи­ тельно оси вращения z;

шь о)2; сок — угловые скорости вращения тел системы ■относительно оси г.

§ 29. Теорема об изменении момента количества движения твердого тела и механической системы

Теорема об изменении момента количества движения, до­ казанная выше для одной материальной точки, справедлива и для каждой точки, входящей в состав тела (системы):

внешних сил, действующих на тело (систему).

Уравнение (145) выражает теорему об изменении момен­ та количества движения твердого тела (системы) относитель­ но некоторой неподвижной точки О:

102

производная по времени от момента количества движения твердого тела (системы) относительнонекоторого неподвиж­ ного центра О равна сумме моментов всех внешних сил, дей­ ствующих на тело (систему), относительно того же центра О.

Проектируя обе части равенства (145) на оси координат, получим:

dt (Lx) = S Мх(F) ,

(146)

(jt (Ly) — S Щ (F) >

-5T(Lz) = 2 M Z(F).

Уравнения (146) выражают теорему об изменении мо­

мента количества движения твердого тела (системы)( относи­ тельно некоторой неподвижной оси:

производная по времени от момента количества движения твердого тела (системы) относительно некоторой оси (напри­ мер оси г) равна сумме моментов всех внешних сил, действу­ ющих на тело (систему), относительно той же оси (г).

§ 30. Закон сохранения момента количества движения механической системы

а) Если при движении механической системы сумма мо­ ментов относительно некоторого центра О всех приложенных к системе внешних сил равна нулю, то момент количества

В этом нетрудно убедиться, подставив 2M o(F)=0 в фор­ мулу (145). При этом получим:

"НГ (Lo) = 0 ,

•откуда

Lo= const.

103

б) Если при движении механической системы сумма мо­ ментов всех действующих на систему внешних сил относи­ тельно какой-нибудь оси z равна нулю, то момент количест­ ва движения системы относительно этой оси z во все время движения системы остается величиной постоянной:

Lz=const. (14S)

Выражение (148) легко получить после подстановки зна­ чения 2MZ(F )= 0 в зависимость (146).

Равенства (147) и (148) выражают собой в разных фор­ мах закон сохранения момента количества движения механи­ ческой системы.

Закон сохранения момента количества движения для вра­ щающейся механической системы.

Пусть механическая система, состоящая из нескольких тел, вращается вокруг неподвижной оси z.

Тогда момент количества движения данной вращающейся системы относительно оси z равен (144):

Lz= Jiz(0i + J2zC02+...+JkxC0]j.

Бели в этом случае сумма моментов всех внешних сил (действующих на систему) относительно оси вращения z рав­

и тогда

J iz(i)i“f-J2zW2- |- -..~|"-JkzCBk==|COnst,

т. е. сумма моментов количеств движения отдельных тел (входящих в систему) относительно оси вращения z во все время вращения системы остается величиной постоянной.

§ 31. Решение задач динамики системы с помощью теоремы об изменении момента количества движения системы

При решении задач следует помнить, что теорема об из­ менении момента количества движения системы так же, как и предыдущие теоремы динамики системы, справедлива толь­ ко для абсолютных движений тел.

104

АВ = /=0,4 м жестко прикреплена перпендикулярно к диску стойка ВС, на которую свободно насажен невесомый стер­ жень CD длиной /=0,4 м, несущий на своем конце груз D весом Р = 100 н. В начальный момент груз D находился на расстоянии 21 от оси вращения диска и система была в по­ кое. Стержень CD приводится внутренними силами системы во вращательное движение вокруг оси стойки ВС по закону

Ре ше н и е . На механическую систему, состоящую из вра­ щающегося диска и движущейся точки (груза) D, действуют т.ри внешние силы: сила Q, сила Р и реакция опоры Ro-

Все силы действуют параллельно оси вращения z. Момен­ ты этих сил относительно оси z равны нулю, а следователь­ но и

2M*(F)=0.

Момент же количества движения системы относительно оси z во все время движения системы остается величиной постоян­ ной:

Lz=const

или

Lz«»=Lz(t>,

105

где Lz(0) — момент количества движения системы в началь­ ный момент времени (при t = 0);

Lz(t)—момент количества движения системы в произволь­ ный момент времени.

Так как в начальный момент времени система находилась в покое, то '

Lz<°) = 0.

Поэтому в любой момент времени движения системы бу­ дем иметь

Поскольку механическая система состоит из двух движу­ щихся тел (диска и груза), то момент количества движения ее равен:

L2z(t)— момент количества движения точки (груза) D от­ носительно оси z.

Момент количества движения вращающегося диска отно­ сительно оси z равен:

Liz(t)= JlzCO.

Знак минус в этом выражении показывает, что момент ко­

Груз D совершает движение сложное, состоящее из отно­ сительного движения (вращения груза вокруг оси ВС) и пе­

реносного движения (вращения груза вместе с диском во­ круг оси z) (рис. 61а).

Поэтому абсолютная скорость груза D будет слагатьоя из относительной скорости груза vr и переносной скорости груза

Момент количества движения груза D относительно оси z

106

тельно какой-либо точки (оси) равен сумм’е моментов состав­

Подставив выражения (в) и (з) в (б), а затем в (а), бу­ дем иметь:

107

—2,55со+17,1—1,’63ю= 0.

ний конец А трубки опускается без начальной скорости ша­ рик М весом Р=15 н. Определить угловую скорость трубки и абсолютную скорость шарика в момент вылета его из трубки. При вычислении момента инерции трубки рассматри­ вать ее как однородный стержень (рис. 62). '

Р е ше н и е . Данная механическая система состоит из двух движущихся тел: вращающейся трубки АВ и движуще­ гося в ней шарика М. На систему действуют силы Q и Р, па­ раллельные оси z. Моменты этих сил относительно оси z рав­ ны нулю, следовательно и

2MZ(F) =0.

108

Момент же количества движения системы относительно оси г будет во все время движения системы оставаться величиной постоянной:

в конце В трубки.

Найдем момент количества движения трубки АВ относи­ тельно оси z в начальный .момент времени:

Liz(0)= J zo)0,

где ©о — начальная угловая скорость трубки АВ;

относительно любой оси, найдем момент инерции трубки АВ относительно оси z (учитывая, что диаметр трубки мал и по­ этому Jy« 0 ):

Определим момент количества движения шарика относи­ тельно оси z в начальный момент времени:

так как в начальный момент шарик находился на оси враще­

109