книги из ГПНТБ / Антонов В.М. Теоретическая механика (динамика) учеб. пособие

м е не ни и м о м е н т а к о л и ч е с т в а д в и ж е н и я т о ч - к и:

п р о и з в о д н а я по в р е м е н и от Мо м е н т а к о ­ л и ч е с т в а д в и ж е н и я т о ч к и о т н о с и т е л ь н о к а ­

Для данных на рис. 23 будем иметь: Lo= mvhb M0(F )= F h2.

Если на точку М при ее движении действуют несколько сил (2FK), то в этом случае теореми об изменении момента количества движения точки запишется в виде:

Аналогичным образом можно доказать, что производная по времени от момента количества движения точки относи­ тельно какой-либо оси г равна сумме моментов всех действу­ ющих на точку сил относительно оси z:

Если во все время движения точки сумма моментов всех действующих на точку сил относительно какого-либо цент­ ра О или оси z равна нулю, то момент количества движения точки относительно центра О или оси z во все время движе­ ния точки останется величиной постоянной, т. е.

50

§ 11. Теорема об изменении кинетической энергии точки

К и н е т и ч е с к а я э н е р г и я т о чк и

Кинетической энергией Т точки в рассматриваемый мо­ мент времени называется скалярная величина, равная поло­ вине произведения массы m точки на квадрат скорости v, ко­ торую имеет точка в рассматриваемый момент:

Кинетическая энергия точки — величина всегда положи­ тельная, что следует из зависимости (73), и от направления движения точки не зависит.

Р а б о т а силы. М о щ н о с т ь

Элементарной работой dA силы, действующей на точку в направлении ее бесконечно малого перемещения dS, назы­ вается скалярная величина, равная произведению силы на

Если точка М движется под действием силы F по криво­ линейной траектории АВ, то на бесконечно малом перемеще­

где, Ft — проекция силы F на направление перемещения точ­

где а — острый угол между, направлением силы F, действу­ ющей на точку, и направлением перемещения точ­ ки dS.

Сучетом (76) выражение для элементарной работы силы

(75)можно записать:

Элементарная работа силы может быть величиной поло­ жительной, отрицательной и равной нулю.

Если направление силы F, действующей на точку, совпа­ дает с направлением перемещения точки dS, то работа силы F положительна.

Если сила F, приложенная к точке, направлена в сторону, противоположную перемещению точки dS, то работа силы F отрицательна.

Если сила F, действующая на точку, перпендикулярна пе­ ремещению точки dS, то элементарная работа этой силы рав­ на нулю.

Н а й д е м в ы р а ж е н и е э л е м е н т а р н о й р а б о т ы

под действием силы F (рис. 25).

Разложим силу F на составляющие Fx, Fy и Fz, направ­ ленные по осям координат.

Бесконечно малое перемещение точки dS, которое можно считать прямолинейным ввиду его малости, представим в ви­ де составляющих перемещений dx, dy и dz.

Тогда сила Fx произведет работу только на перемещении dx, сила Fy — на перемещении dy и сила Fz — на перемеще­ нии dz.

Следовательно, элементарная работа, произведенная си­ лой F или, что то же самое, ее составляющими Fx, Fy и Fz на перемещении dS, будет равна:

dA=Fxdx+Fydy+Fzdz. (78)

52

Выражение (78) позволяет найти элементарную работу силы через проекции этой силы на оси координат. ^

Для определения работы силы F, приложенной к точке на любом конечном перемещении M0Mi точки (рис. 26), не­ обходимо просуммировать все элементарные работы силы F на участке M0Mi или, другими словами, взять интеграл по кривой М0М] от элементарной работы:

Mi

А = Г dA .

Мо

Тогда из выражений (75), (77) и (79) будем иметь:

.53

м,

Если сила F, действующая на точку, во все время движе­ ния точки остается постоянной по величине и направлению, а перемещение точки прямолинейно (рис. 21а), то работа силы F равна:

где

S — путь, проходимый точкой по прямой линии.

Если сила F, действующая на точку, постоянна по величи­ не и составляет в любой момент времени с направлением дви­ жения точки постоянный угол а, а перемещение точки кри­

где S — путь, проходимый точкой по криволинейной траек­ тории.

В справедливости выражений 82а и 826 нетрудно убедить­ ся, если в формулу (79) подставить значение F - —const, а в формулу (80) — F = const и а = const.

54

М о щ н о с т ь ю N действия силы «а точку называется величина, определяющая быстроту совершения работы дан­ ной силы в единицу времени:

FT• ds

Выберем оси координат таким образом, чтобы одна нз осей (z) была параллельна весу точки Р.

Найдем элементарную работу силы тяжести точки на бес­ конечно малом перемещении точки вдоль кривой АВ:

dA= Fxdx+Fydy+Fzdz.

Так как в нашем случае Fx=0, Fy= 0, Fz= —Р, то dA= —Pdz.

Работа силы Р при перемещении точки из положения М0 в положение Mi равна:

М! Z

А= / dA= / —Pdz = —P(z—z0)= P (z 0—z).

M0 z0

55

к а к о м - л и б о п е р е м е щ е н и и т о ч к и р а в н а п р о ­

ки не зависит от вида траектории, по которой движется точ­ ка.

При отклонении груза на величину х от положения 0—О (положения недеформированной пружины) на груз действует восстанавливающая (упругая) сила пружины, равная:

FB= —сх.

Найдем элементарную работу, совершаемую упругой си­

56

равна:

где Xo — начальное отклонение груза от положения недефор-

Т а к и м о б р а з о м , р а б о т а у п р у т о й с и л ы п р у ­ ж и н ы р а в н а п о л о в и н е п р о и з в е д е н и я ж е с т ­

да перемещение точки М пружины не является прямолиней-

щается по траектории АВ под действием силы F (рис. 30а).

Запишем основной закон динамики для движущейся точ­

ки:

57

где EFK—-сумма всех сил, действующих на точку. Спроектируем векторное равенство (86) на касательную

к траектории движения точки (рис. 30а), получим:

Представим w- в виде:

dv _dv_ _dS^ dv_

= ~dF = "dS- ' “dT = dS ' v •

Тогда выражение (87) запишется так: dv

v = S F ^ '

В полученном выражении разделим переменные:

Введем произведение mv в левой части этого уравнения под знак дифференциала, получим

к и н е т и ч е с к о й э н е р г и и т о ч к и в д и ф ф е р е н ц и ­ а л ь н о й ф о р м е.

Найдем изменение кинетической энергии точки при конеч­ ном перемещении точки из положения М0 в положение Mt (рис. 306).

Проинтегрировав обе части равенства (88) в пределах, со­ ответствующих начальному М0 и конечному М| положениям точки, получим:

точки;

V] — скорость точки в конечном ее положении Мь

•58

с у м м е р а б о т на т о м же п е р е м е щ е н и и в с е х д е й ­

в любой момент времени мысленно остановить и рассматри­ вать как находящуюся в равновесии, если ко всем силам (EF), действующим на точку в данный момент времени, до­ бавить силу инерции (Ф), которую имеет точка в этот мо­ мент.

59