Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Антонов В.М. Теоретическая механика (динамика) учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

5.76 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 222 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Р е ше н и е . Для точки М, движущейся в плоскости хОу, запишем основной закон динамики (в форме проекций на оси координат):

	mwx =	2 Fkx				.
	mwy =	v Fky, j				(а)
где
2 F kx =	F, cos 60° =		20t • 0,5		= 10t ;	(6)
2 Fky = F2 +	F, sin 60° =		4 sin - j -		t + 20t • 0,87 =
=	4 t. sin ~2 ~t +			17,4 t.		(в)
Подставив выражения (б) и (в) в (а), получим
m\vx = lOt ,
mwy ==4^ sin~^				* тЬ 17,4t.
	\
или (учитывая, что m = 2 кг)				\
	wx=5t,			\		(г)
Wy =	2 т sin- ^- t -j- 8,7 t .j					(д)
Из выражения	(г) определим			уравнение движения		точки

в направлении оси х. Для этого сначала выразим wx через vx:

dvx wx = dt_ '

Тогда выражение (г) примет вид:
	dvx		=	5 t .
	dt

Разделим в полученном равенстве переменные:
dvx =5 5 t dt .					(е)
Возьмем интегралы	от	обеих частей выражения			(е):
отсюда	/	dvx =		/ 5tdt,
	5
vx =			Н-	Ci .	(ж)
	2

Величина Ci Ьстается достоянной в любой момент време ни движения точки, в том числе и в начальный момент.

В начальный момент времени для точки М

t = 0,

vx = v0=10 м/сек.

Подставив эти начальные условия в выражение (ж), най дем С,:

v0=Ci,

отсюда

C]=Vo=10.

Подставив полученное значение Q в выражение (ж), най

дем vx:	>
vx = ~2 12 +	10(~сё?Г) •
Выражение (з) определяет скорость точки в направлении
оси х.	координату х:
Выразим теперь vx через	координату х:

dx v* = ~аг-

Тогда выражение (з) примет вид:

dx	5
dt =	2	t2 + 10 •

Разделим переменные в полученном уравнении:

dx = + 10 j dt .

Возьмем интегралы от левой и правой частей этого урав нения:

J dx = Д -f-t2+ lo) dt -

Отсюда:
х = - f - t3 + lot + D	,	(и)
Постоянную Di найдем из начальных	условий	движения

точки: t = 0, х = 0.

Подставив начальные условия в (и), найдем Di:

°=.Е>1.		(и), най
Подставив полученное значение D] в выражение		(и), най
дем х:
5	10 t
х = —g -t3 +	10 t
или	(л*).	(к)
х= 0,84 t3+ l o t	(л*).	(к)
Выражение (к) представляет собой уравнение		движения
точки в направлении оси х.

Для нахождения уравнения движения точки в направле нии оси у решим уравнение (д):

Wy = 2 тс sin —2 t -j- 8,7 t .

Так как

dvy

то

dvv	тс
■ . /	= 2 тс sin —л-t + 8,7 t .
at	*

Разделим переменные в этом равенстве:

dVy = ^ 2 тс sin ~£~t + 8,7t^ d t .

Проинтегрируем левую и правую части полученного вы ражения:

		тс	sin	2	t ~Ь 8,7	dt,
отсюда
vy =		— 4 cos—	t + 4,35 l2 +			C2 .		(л)
Начальные	условия движения				точки:
		t = 0,			vy= 0.			получим:
Подставив начальные условия в выражение (л),								получим:
Отсюда		0= —4 cos 0°+С2.
Отсюда		С2=4.
Тогда		С2=4.
Тогда							М \
		тс				/	М \
- Vy =	-	4 cos-2-	1 ^	4’35 t2 + 4 \ ~Еёк ) ■				(м)
Выражение	(м) определяет скорость точки М в направле
нии оси у.
Так как
				dy
то		vy —		dt	’
то
	dy	— 4 cos- ^- 1 + 4,35 t2 +					4
	dt	— 4 cos- ^- 1 + 4,35 t2 +					4
	dt

Разделим переменные в этом равенстве:

dy = ^ — 4 cos ~2 ~ t 4- 4,35 t2 + 4 j dt .

Проинтегрируем левую и правую части полученного вы ражения:

['dy = j*^ — 4 cos-^- t + 4,35 t2 + 4 j d t,

отсюда

8	тс	4,3o	(h)
У — — “	Sin ~2 ~ t -f	—3— t3 - f 4 t + D2 .	(h)
Начальные условия движения точки:
	t = 0;	у = 0.

Подставив начальные условия в выражение (н), получим: D2=0.

Тогда
У =
или
у = — 2,55 sin- ^- t + 1,45 t3 + 4 t (м) .	(о)

Выражение (о) представляет собой уравнение движения точки в направлении оси у.

Итак, кинематические уравнения движения точки М бу

дут таковы:		1
	х =	0,84 t3 + 10 t .
	у =	— 2,55 sin—2~ * + 1,45 t3 -f 4 t .
П р и м е р	3. Материальная точка М массой т = 2 кг, дви
жущаяся в	плоскости хОу, отталкивается от оси Ох силой

F (н), перпендикулярной к этой оси п пропорциональной рас стоянию движущейся точки от той же оси, причем коэффици ент пропорциональности с=20 н/см. Найти кинематические

уравнения движения точки, если заданы координаты		х0 = 0,
уо=12 см и проекции скорости vxn = 7 см/сек,	vy„=14	см/сек
материальной точки в начальный момент (рис.	8).

Рис. 8

Р е ше н и е . Запишем основное уравнение динамики для движущейся точки М (в проекциях на оси х и у):

m w x = E F k x , )	, ,
mwy = v Fky, J	(a)
где SFux, SFky — сумма проекций на оси х и у всех сил,	при

ложенных к точке М.

На точку М действует только'одна сила F, параллельная

оси у. Она по условию задачи равна:
F = су =	( кг ■м \		/ к г ■гм \
F = су =	20 у 1—^ г А	= 2000 у		.
Тогда
	2FKX= 0,	\|		(б)
	SFKy=2000 у. )			(б)
Подставив (б) в (а), получим:
	mwx= 0,	\		(в)
	mwy= 2 - 103y.J			(г)
Решив уравнения (в) и (г),		найдем кинематические урав
нения движения точки М.
Решаем уравнение (в).
Так как
	w X ---	dvx	’
	w X ---	dt	’
то
	dvx
	“ - d	r -	0 -
Отсюда	dvx= 0.
	dvx= 0.
Проинтегрируем полученное выражение:
Отсюда	/ dvx=	/ 0.
Отсюда	vx=C i.			(д)
Используя	vx=C i.		движения	(д)
Используя	начальные условия		движения	точки (t = 0,
vx=vx0 —7 см/сек), находим Сь
Отсюда	ух„=Cj.
Отсюда	С,=7.
	С,=7.

Подставил значение постоянной Ci в выражение (д), по лучим:

vx= 7		см/сек.		(е)
Выражение (е) определяет		скорость движения точки М
в направлении оси х.	в виде:
Представим теперь vx
		dx
vx -		dt	•
Тогда	dx

Разделим переменные в этом равенстве:
	dx = 7dt.
Проинтегрируем полученное выражение:
Отсюда	/ dx= / 7dt.

x=7t+D ,.
Используя начальные	условия		движения	точки (1=0,
х= 0), определим Dp	D,=0.
Тогда
		{см).		(ж)
x= 7t

Выражение (ж) представляет собой уравнение движения точки в направлении оси х.

Решим теперь уравнение (г): m\Vy=2- 103у.

Так как
то
dvv			lOJy .
m-	■	= 2 •	lOJy .
	dt		J
Чтобы в полученном		выражении получить
только две переменные,	умножим- dvv на дробь
			dt
dvy		dvv	dy
dt	~~	at	dy

вместо трех dy

dy :

Так как

	dt	=	v v
	dt
то
dvv		dVv	(и)
dt		dy	(и)
dt		dy	‘ УУ•
Подставив (и) в (з), получим
m-	dv
m-	d T vy =		2 - 103у
Разделим переменные в этом равенстве:
		2 ■	103
V vy =			УйУ •

Так как т = 2 кг, то

Vydvy= 1 0 3ydy.

Проинтегрируем левую и правую части полученного вы ражения:

J vydvy= / 103ydy.

Отсюда

		V	2		103
		V		=	2
или		vy2= 103y2+2Ci.						(к)
		vy2= 103y2+2Ci.						(к)
Подставив в выражение (к) начальные условия движения
точки (t=0, у= у0=12 см,					Vy = vy0=14 см/сек), найдем Сь
Отсюда		142=		103122+2С ь
Отсюда		142 — 103 • 122
С,	=	142 — 103 • 122				•	10е .
С,	=	--------- н---------- = — 72				•	10е .
Подставив значение Ci в выражение (к), получим:
или		Vy2=l03y2—2-72-103				/	см \
или						/	см \	(л)
		Vy= y i0 3y2—144-103				\ с е к ) '		(л)
		Vy= y i0 3y2—144-103				\ с е к ) '
Выражение	(л)	определяет скорость точки М в направле-
НИИ оси у.							б^ИЧИЗЯ
							б^ИЧИЗЯ

2 Зак аз 249

'ПЛЯР

Представим теперь vy в виде:

			dy
Тогда	Ь	=	dt' •
Тогда
dy	v' 10J		• ]/y 2 — 12- •
dt	v' 10J		• ]/y 2 — 12- •
dt
Разделим переменные в этом равенстве:
___ dy		122 = У 103dt
Vy2		122 = У 103dt

Проинтегрируем левую и правую части полученного выра жения:

] / у-

122

j/lO:idt.

, Отсюда

о In

у -

31,6 t

D2 •

У ~Ь 12

•

Подставив

начальные

условия

движения

точки

у= у0= 10 см)

в выражение

(м),

найдем D2:

10 -

= 31,6 •

0 +

D2 .

2 •

12 In

Отсюда

Do —о

, In 0,091 =

0,0417-2,3 lg 0,091 = -

0,1

’2 •

1----

"'>"уь

Подставив значение D2

в выражение

(м), получим:

0,0417 In

У -

31,6 t -

0,1 .

У 4- 12

Отсюда

у -

3l,6t

0.1

0,0417

ИЛИ

У — 12

76 t -

2,4

у +

(м>

(t=0,

(н )

(О)

Выражение	(о) определяет уравнение движения точки М.
в направлении оои у.
Г л а в а II.	КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

§ 5. Гармонические колебания точки

Пусть какая-либо точка (тело) соединена с неподвижной вертикальной плоскостью при помощи пружины (рис. 9).

	X
/	м
/	м
\п л п п п п г ь	' ' ' ' X
	' ' ' ' X

Рис. 9

Если пружину сжать или растянуть, а затем отпустить, то точка (тело) начнет совершать прямолинейные колебатель ные движения в направлении оси х.

Дифференциальное уравнение движения точки М в на правлении оси х будет таково:

d2x	'(П)
m -jjr- = £ Fkx	'(П)
где SFkx — сумма проекций на ось х всех сил,	действующих
на точку.
В данном случае на точку М действует только сила со сто

роны пружины, называемая восстанавливающей силой		пру
жины FB.
Эта сила FBпропорциональна	удлинению (укорочению)
пружины, направлена в сторону,	противоположную смеще
нию пружины из положения равновесия 0—0, и равна: .
FB = — сх .		(12)
В выражении (12)		:
с — жесткость пружины (величина постоянная, для. данноц
пружийы); ’	.	• (

х — смещение точки из положения ее равновесия О1—0.-

2 *

га

<<< < Предыдущая 12 / 222 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ