книги из ГПНТБ / Антонов В.М. Теоретическая механика (динамика) учеб. пособие

р — начальная фаза вынужденных колебаний .точки. Амплитуда вынужденных, колебаний точки определяется

зависимостью (49):

■колебаний точки зависит от величины возмущающей силы, от вязкости среды, в которой колеблется точка, и от соотноше­ ния между частотами собственных и вынужденных колебаний точки.

Рассмотрим, как влияет частота «р» возмущающей силы на амплитуду В колебаний точки.

Пусть для колеблющейся точки величины к, п и h посто­ янны. Тогда значение В будет являться функцией переменной

«р» [см. формулу (49)].

Найдем то значение «р», при котором величина В макси­ мальна.

Вэтом случае функция (к2—р2)2+4п 2р2 из выражения

(49)должна иметь минимум, а ее' производная по перемен­ ной «р» равна нулю:

сцГ[(к2 - р2)2 + 4п2р2] =>0 .

Возьмем производную по переменной «р» от вышеприве­ денного выражения:

2 (к2—р2) (—2р) + 8п2р = 0. ' Отсюда находим значение «р»:

30

Таким образом, при значении pIip = "j/k2—2п2 точка нахо­ дится в состоянии резонанса.

б) В ы н у ж д е н н ы е к о л е б а н и я т о ч к и б е з у ч е ­ та с и л с о п р о т и в л е н и я .среды.

■Пусть точка совершает колебания под действием восста­ навливающей силы пружины FB= —сх и возмущающей силы Fвозм = Н sin pt. Сила сопротивления среды отсутствует

Вынужденные колебания точки при отсутствии сопротив­ ления среды определяются тем же уравнением, что'и вынуж­

т. е. при равенстве частот собственных и вынужденных коле­

1.Вынужденные колебания точки происходят с частотой (р) возмущающей силы.

2.От начальных условий движения точки ни частота (.р),. ни амплитуда (В) вынужденных колебаний точки не зави­

сят.

3. Амплитуда вынужденных колебаний точки зависит от соотношения частот собственных (к) и вынужденных (р) ко­ лебаний точки, от вязкости (п) среды, в которой колеблется точка, и величины возмущающей силы (h).

4. При значительном отличии частот собственных и вы-

31'

нужденных колебаний точки (kS>.p) амплитуда колебаний точки мала.

5. Точка находится в состоянии резонанса, если соотнош ние между частотами собственных (к) и вынужденных коле­ баний (р) точки равно:

р= к (при отсутствии сопротивления среды) или

р=Ук2—2п2 (при колебаниях точки в вязкой среде).

§ 8. Решение задач на колебательное движение точки

4

П р и м е р 1. Груз М весом Р прикреплен к нижнему кон­ цу пружины, расположенной на гладкой наклонной плоско­ сти с углом наклона а = 30°. Верхний конец пружины закреп­ лен неподвижно. В начальный момент пружина сжата на ве­ личину f0= 10 см и грузу сообщена начальная скорость Vo=42 см/сек, параллельная линии оката наклонной плоско­ сти. Выбрав начало координат в положении статического рав­ новесия груза и направив координатную ось Ох по направле- <нию начальной скорости, определить закон движения груза и его период колебаний, если задано статическое удлинение пружины fCT—20 см, вызываемое этим грузом (рис. 16).

Р е ш е н и е . Груз, прикрепленный к нижнему концу недеформированной пружины, растянет пружину на величину fCT. и займет положение 0—0.

При этом будем иметь (учитывая, что в положении 0—0 груз находится в равновесии под действием сил Pi и FCTB):

32

Если груз, прикрепленный к пружине, вывести из состоя­ ния равновесия, т. е. отклонить его в ту или другую сторону от положения 0—0 и затем отпустить, то он начнет колебать­ ся относительно своего положения равновесия 0—0.

При этом на груз во все время его движения будет дей­ ствовать восстанавливающая сила пружины FB, равная:

FB= —сх,

с— жесткость пружины;

х— координата движущегося груза, отсчитываемая от положения 0—0.

Основное уравнение динамики для движущегося груза mws = 2Fkx,

Дифференциальное уравнение (в) является уравнением гармонических (свободных) колебаний груза.

Найдем круговую частоту колебаний груза:

ЮР • 9,8

4,96 сек~

4 • Р

Определим период колебаний груза:

Для нахождения закона движения груза в направлении оси х необходимо решить дифференциальное уравнение (в).

Решение дифференциального уравнения (в):

и тогда

a = —49°40' = —0,87 pad.

Для нахождения величины А подставим значение а в пер­ вое уравнение выражения (ж) :

—0,1= A sin (—49°40').

34

Отсюда

Подставив значения А и а в выражение (г), найдем за­ кон колебательного движения груза в направлении оси х:

x = 0,13sin (4,961—0,87) (м).

П р и м е р 2. К ползуну D весом Р = 0,98 н прикреплены концы двух пружин, коэффициенты жесткости которых соот­ ветственно равны Ci= 100 н/м и с2 = 60 н/м. Концы А и В пру­ жин закреплены неподвижно. Ползун может скользить без трения в неподвижных направляющих, расположенных под углом р=30° к вертикали. В начальный момент ползун сме­ щен на величину fo = 0,05 м от положения статического рав­ новесия и ему сообщена скорость Vo=2 м/сек. Найти уравне­ ние движения, а также амплитуду и период колебаний пол­ зуна, приняв ось направляющих за ось Ох с началом коор­

Р е ше н и е . Две пружины, с которыми связан ползун D, можно заменить одной пружиной, эквивалентной данным двум.

В первом случае (рис. 17 о) в положении статического рав­ новесия ползуна 0—0 будем иметь:

SFhx—Р 1—Fin—F2B—0.

Таким образом, две пружины жесткостью Ci и Сг, соеди-

,ненные с ползуном D так, как указано на рис. 17 а, можно за­ менить одной пружиной жесткостью «с», определяемой зави­

симостью (в).

Найдем величину жесткости эквивалентной пружины:

с=100+60=160 н/м.

Дальнейшее решение задачи будем вести считая, что пол­ зун D перемещается в направляющих под действием одной пружины жесткостью с= 160 н/м (рис. 176).

Найдем круговую частоту к колебаний ползуна:

Определим период колебаний ползуна:

Т = = "40" — 0,157 сек.

36

Подставив начальные условия (е) в выражения (г) и (д), получим

Поделив в выражении (ж) первое уравнение на второе, получим:

Подставив значение а в первое уравнение выражения (ж); найдем А:

Подставив значения А и' а в уравнение (г), получим за­ кон колебаний ползуна D в направлении оси х:

Р = 0,98 н со стороной b = 0,2 мм подвешена к пружине, верх­ ний конец которой закреплен неподвижно. Коэффициент же­ сткости пружины гавен: с=.Г0 н/м. Сила сопротивления, ис­ пытываемая пластинкой при ее движении в жидкости, опре­

37

движения пластинки в жидкости, а также период ее колеба­ ний, если движение окажется периодическим (рис. 18).

Р е ше н и е . Пластинка, находящаяся в жидкости и под­ вешенная к пружине, совершает колебания относительно сво­ его положения равновесия 0—0. Это положение равновесия

определяется величиной удлинения пружины (Гст.) после под­ соединения к ней пластинки.

При этом в положении равновесия пластинки

2FKx= P —FCTB= 0

или

Р—cfCT.= 0.

Отсюда

Р0,98

*ст = ~ = "ТсГ = ° ’098 (м ) •

d2x

п-1- ^ г = R + FB,

. где

•R = — 2S V) v = — 2Ь2 7) v = — 2 ■0,22 • I5v = — l,2v («) ,

Fn= —icx (к).

38

Подставив значения R и F„ в дифференциальное уравне­ ние колебаний пластинки, получим:

где

x — координата, отсчитываемая от оси 0—0 (положения статического 'равновесия пластинки).

Решение дифференциального уравнения (а) (уравнения затухающих колебаний):

Решая систему (д), находим А и а:

39