книги из ГПНТБ / Антонов В.М. Теоретическая механика (динамика) учеб. пособие

ма работ всех действующих в системе активных сил при воз­ можном перемещении системы равна нулю.

В этом и состоит принцип возможных перемещений для механической системы.

Справедлив также и обратный 'вывод, т. е. . если сумма ра­ бот всех действующих в механической системе активных сил при возможном перемещении системы равна нулю, то систе­ ма находится в равновесии.

Математически необходимое и достаточное условия рав­ новесия любой механической системы с идеальными связями

бхк, бук, 6zk — проекции на оси координат возмож­ ных -перемещений точек приложения активных сил системы.

Любое твердое тело является идеальной связью для всех своих точек, так как расстояния между точками приложения внутренних сил тела при его движении не изменяются и по­ этому сумма работ всех внутренних сил тела равна нулю.

Для того чтобы определить, является ли данная механи­ ческая система системой с идеальными связями, необходимо рассмотреть все соединения твердых тел этой системы.

Если соединения твердых тел в механической системе осу­ ществляются с помощью 1) гладких соприкасающихся по­ верхностей, 2) подвижных или неподвижных шарниров, в ко­ торых отсутствует трение, такие механические системы будут системами с идеальными связями.

Если в вышеперечисленных соединениях механических си­ стем действуют силы трения, такие системы можно считать системами с идеальными связями в том случае, если отнести силы трения к активным силам системы и считать их задан­ ными.

Если в механические системы, кроме твердых тел, входят

упругие тела (пружины), такие системы также можно счи­ тать системами с идеальными связями, если вместо пружин к

170

телам системы приложить силы упругости этих пружин, яв­ ляющиеся активными силами системы.

Составим условия равновесия для механических систем, изображенных па рис. 91, используя принцип возможных пе­ ремещений.

Рис. 91

Для механической системы, изображенной на рис. 91а, ус­ ловие равновесия на основании принципа возможных переме­ щений, можно записать:

М оср — Р cos 30° о S3 = 0 .

Для механической системы, изображенной на рис. 91 б, ус­ ловие равновесия будет таково:

Q • cos ЗО"1• о Sa —Р о Sb — Fb8 Sc = 0 j

где FB— упругая сила пружины.

§ 43. Решение задач динамики системы с помощью принципа возможных перемещений

С помощью принципа возможных перемещений можно оп­ ределять положение равновесия системы, зависимость ме­ жду активными силами системы при равновесии системы и находить реакции связей системы.

При этом для механической системы с одной степенью свободы будем иметь одно условие равновесия, составляемое в виде (19S) или (199).

ся для каждого из независимых перемещений системы. В этом случае механическая система будет иметь столько условий равновесия, сколько она имеет степеней свободы.

171

П р и м е р 1. К шарнирному четырехэвеннику ABCD в шарнире В приложена сила Q = 100 н, перпендикулярная зве­

нире С под углом 30° к звену CD; при равновесии системы,

если звено AD неподвижно, Z .A D C =Z DCB = 90° и ZLABC =

=60° (см. рис. 92). Весами стержней пренебречь.

Ре ше н и е . Шарнирный четырехзвенник ABCD, на ко­ торый действуют силы Р, Q и момент М, находится в равно­ весии и занимает положение, указанное на рис. 92.

Запишем условие равновесия данного четырехзвенника (на основании принципа возможных перемещений):

Сообщим четырехэвеннику ABCD возможное перемеще­ ние. Для этого повернем стержень АВ вокруг неподвижной точки А на бесконечно малый угол ба. При этом стержень ВС совершит плоское движение, а стержень CD — враща­ тельное движение вокруг точки D.

172

Рассмотрим плоское движение стержня ВС. Мгновенный центр скоростей этого стержня 'будет находиться в точке Рве

(см. рис. 92).

Плоское движение стержня ВС в данный момент времени представим как вращательное движение вокруг точки Рве-

При сообщении стержню АВ четырехзвенника возможного,

173

динены между собой шарнирно в точке В. Конец А стержня АВ шарнирно прикреплен к вертикальной стене, а конец D стержня BD соединен шарнирно с ползуном, .'который может перемещаться без трения в 'горизонтальных направляющих. Определить, какую горизонтальную силу F нужно приложить к ползуну, чтобы система находилась в равновесии при задан­ ных углах а = 60° и (3 = 45°, которые стержни образуют с вер­ тикалью (рис. 93).

Ре ше н и е . Рассматриваемая механическая система, со­

Запишем условие равновесия данной механической систе­

где Fkxa. Fkya, Fkza — проекции на .оси координат всех ак­ тивных сил, действующих в данной механической системе;

бх, бу, 6z — проекции на оси координат возмож­ ных перемещений точек приложения активных сил системы.

Сообщим рассматриваемой механической системе ABD возможное перемещение. Для этого повернем кривошип АВ системы на бесконечно малый угол ба. При этом все точки' данной системы получат возможные перемещения; ib том чи­ сле точка Ci получит в направлении оси у перемещение буь

174

точка С2 получит в направлении оси у перемещение 6у2, точ­ ка D в направлении оси х получит перемещение бхз (см.

рис. 93).

Для данных решаемой задачи выражение (а) примет вид:

Найдем зависимость между буi, 6у2 и бх3, предварительно определив координаты уь у2 и х3 в: положении равновесия си­ стемы:

В процессе сообщения возможного перемещения данной системе 'будут непрерывно изменяться координаты уь у2, х3, а также углы а и |3 системы.

Продифференцируем уравнения в выражении (в) по пе­ ременным а и (3, получим:

Подставив равенство (з) в выражения (г), (д) и (е), по­ лучим: '

8у, = — BD • sin р ( — 1,56 • 8а) - АВ • sin а • оа =

175

= 1,05 • 8a - 0 ,8 • 0,7 - 1,56 8a = - 0,375 8a .

Подставив полученные значения 6yi, бу2 и бх3 в зависи­ мость (б), будем иметь:

-100 • 0,43 8а - 200 • 0,437 8а - F ( — 0,375 8а) = 0 .

Отсюда, сократив равенство на-ба, найдем величину силы F:

П р и м е р 3. Определить реакции опор составной рамы

(рис. 94а). Дано: Fi = 5 /см; F2 = 4 кн\ q= 2 кн/лг, М= 7 кн-м.

вм 2" 2м 2м

Р е ше н и е . Заменим 'равномерно 'распределенную нагруз­ ку сосредоточенной силой Q, приложенной в середине загру­ женного участка и равной:

176

Сообщим полученной системе, находящейся в равновесии, возможное перемещение. Для этого повернем правую часть рамы CK.D вокруг неподвижного шарнира С на угол 6<pi (рис. 94 6). При этом левая часть рамы AEDB совершит пло­ ское движение.

Найдем мгновенный центр скоростей (мгновенный центр вращения) рамы AEDB, восстановив перпендикуляры к ско­ ростям точек В и D. Точка пересечения Pi перпендикуляров и будет мгновенным центром скоростей рамы AEDB.

При .повороте правой части .рамы CKD на угол 6cpi отно­ сительно точки С левая часть рамы AEDB повернется на угол 6ф2 относительно точки Pi.

Запишем условие равновесия рассматриваемой системы, используя принцип возможных перемещений (при этом уч­ тем, что работа силы при повороте тела равна произведению момента силы относительно оси вращения тела на угол пово­ рота тела):

Из рассмотрения A LPiD и Л BPiC заключаем:

APiDL=45°,

и поэтому PrL= LD = 2 м.

Подставив значение PiL=2 м в выражение (а) и учиты­ вая, что

Fj'— Fa-cos 30°,

F / = Fi -sin 30°,

F,//=Fi - cos 30°,

Ra'= Ra • cos 45°,

178

Отсюда, сокращая -уравнение на бсрь найдем RA:

Найдем реакцию опоры В. Для этого отбросим опору В и заменим действие ее на раму реакцией Rb, считая Rb актив­ ной силой (ом. рис. 94е).

Сообщим полученной системе, находящейся в равновесии, возможное перемещение. Для этого повернем правую часть рамы CKD вокруг неподвижного шарнира С на угол бфь При этом левая часть AEDB совершит плоское движение.

Мгновенный центр скоростей рамы AEDB находится в бес­ конечности, т. к. vaIIvd. Поэтому в данный момент рама AEDB совершает мгновенно поступательное движение.

При повороте правой части рамы CKD на угол 6q>t отно­ сительно точки С левая часть рамы AEDB переместится по­

Подставив выражение (з) .в •уравнение (ж), получим (с учетом вышеопределенных значений F2', F /, F /'):

— F2 ■cos 30° • 2 8ф, -f- Ft • sin 30° - 4 8ф, —}—Fi cos 30° • 2 8ф[ —{— + Q • cos 45° (5,65 8Ф,) - RBcos 45° (5,65 8ф1) = 0