книги из ГПНТБ / Антонов В.М. Теоретическая механика (динамика) учеб. пособие

§ 19. Способы определений моментов инерции механической системы и тел сложной конфигурации

Если механическая система состоит из нескольких тел, то

момент инерции этой системы относительно какой-либо оси г равен сумме моментов инерции отдельных тел, входящих в систему, относительно той же оси z:

Это следует из самого определения осевого момента инер­ ции.

Для нахождения момента инерции тел сложной конфигу­ рации применяются различные экспериментальные методы.

Один из экспериментальных методов определения момен­ тов инерции тел основан на использовании малых колебаний

маятника.

Если какое-либо тело, подвешенное в точке 0, отклонить на малый угол q> от положения его равновесия, то тело нач­ нет совершать колебания относительно этого положения

(рис. 47).

Рис. 47

Для определения закона колебаний тела воспользуемся дифференциальным уравнением вращательного движения те­ ла (известного из курса физики):'

d2cp 1° dt2 ~

80

или (для нашего случая)

d2cp

lo“ d t ^ = — Ра sin Ф >

где Jo — момент инерции тела относительно оси О; Р — вес тела;

а = ОС—• расстояние от точки подвеса О до центра масс те­ ла С.

Ввиду малости угла ф можно принять

э т ф = ф.

Тогда дифференциальное уравнение вращательного дви­ жения тела примет вид:

<12ф

Iо (j|2 + Ро ф = 0 .

Деля обе части уравнения на Jo и вводя обозначение

Ра

— ™

получим дифференциальное уравнение колебаний тела в виде:

d2 ф

dL2 + к2 ф = 0 .

Период колебаний тела определится формулой:

Пусть требуется определить момент инерции относитель­ но оси Oz тела (шатуна), вес которого Р известен (рис. 48).

Подвесив телотак, чтобы ось Oz была горизонтальна, найдем с помощью ■секундомера период его малых колеба­ ний Т. Подставив значение Т в формулу (113), получим:

Если требуется определить момент инерции тела относи­ тельно оси Ох, проходящей через центр масс тела, то можно поступить -следующим образом: подвесить тело на двух нитях так, чтобы ось Ох была горизонтальна (рис. 49), и найти по

Рис. 48 Рис. 49

способу, описанному выше, момент инерции J..\b тела относи­ тельно оси АВ.

Тогда момент инерции тела относительно осп Ох будет

оси х называется величина р (рис. 50), определяемая из ра­

Рис. 50

82

Из данного определения радиуса инерции следует, что радиус инерции р тела равен расстоянию от оси х той точки,, в которой надо сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции одной этой точки относительно оси х был равен мо­

Г л а в а V. ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

§20. Уравнения движения твердого тела

имеханической системы

Пусть на какое-либо твердое тело действуют силы Fb F2 (рис. 51). Под действием этих сил данное тело начнет пере­ мещаться в пространстве.

Для того чтобы рассматривать движение любой точки те­ ла как движение свободной точки, необходимо освободить данную точку от связей (окружающих точек) ,и действие их

'на данную точку заменить реакциями связей (точек). Тогда движение точки, например точки п, определится основным за­

коном динамики:

mnwn= 2 Rn,

где т„ — масса точки п;

wn — ускорение точки n;

ERn — сумма всех сил, действующих на точку п со сторо­ ны окружающих ее точек.

Аналогичный результат получим для любой точки тела, кроме тех точек, к которым приложены внешние силы, дей­ ствующие на тело (точки 3, 4 на рис. 51).

Для точек 3, 4 основной закон динамики запишется в ви­

де:

m3w3 = ER3-|-F1,

1TI4W4 = ЕR4+ F2,

где SR3 — сумма сил, действующих на точку 3 со стороны ок­ ружающих ее точек;

Fi — внешняя сила, действующая на данное тело в точ­ ке 3;

SR4— сумма сил, действующих на точку 4 со стороны ок­ ружающих ее точек;

F2 — внешняя сила, действующая на данное тело в .доч­ ке 4.

Движение тела, состоящего из совокупности точек, мож­ но характеризовать системой уравнений:

miW, = SRi, m2Wo - Е R2, m3w3 = S R3-|- F[,

где гпк— масса к-ой точки тела;

Wk — ускорение k-ой точки тела;

ERk — сумма всех внутренних сил, действующих в те­ ле (сумма сил взаимодействий точек тела);*

. EF — сумма всех внешних сил, приложенных к телу. Любое твердое тело можно представить в- виде совокуп­ ности пар точек. А по закону статики (закон действия и про­ тиводействия) две любые точки действуют друг на друга с равными по модулю и противоположно направленными сила­

84

Поэтому для любого твердого тела сумма всех внутрен­

них оил равна нулю:

SRk = 0.

Подставив значение 2Rk = 0 в равенство (118), получим:

Для механической системы, состоящей из группы твердых тел, уравнение движения 'будет точно таким же.

§21. Теорема о движении центра масс твердого тела и механической системы

Из теории определения центра масс тела известно: 2 гпкГк= т г с.

Возьмем от обеих частей этого равенства вторую производ­ ную по времени, получим:

где Шк— масса к-ой точки тела;

wk — ускорение k-ой точки тела; m — масса всего тела;

wc— ускорение центра масс тела. <

Подставив выражение (120) в (119), будем иметь: mwc=2F. (121)

Выражение (121) представляет собой теорему о движении центра масс тела:

центр масс тела движется как материальная точка, масса которой равна массе всего тела и к которой приложены все внешние силы, действующие на данное тело.

Проектируя обе части векторного равенства (121) на оси координат, получим уравнения, выражающие теорему о дви­ жении центра масс тела в .координатной форме:

mwcx= 2 Fx,

где Wcx, wcy, wcz— проекции ускорения центра масс тела на оси х, у, z;

85

EFX) EFy, EFZ—-сумма проекций на оси х, у, z всех внеш­ них сил, действующих на тело.'

Для механической системы, состоящей из группы тел, так­

§ 22. Закон сохранения движения центра масс механической системы

а) Если сумма всех внешних сил, действующих на меха­ ническую систему, равна нулю, то центр масс этой системы будет или двигаться прямолинейно и равномерно (vc=const) или находиться в покое (rc=const).

В этом нетрудно убедиться, рассматривая зависимость

( 121):

mwc = 2F .

Так как 2F = 0, то

Это следует из рассмотрения уравнений (122):

mwcx=SFx.

Так как 2FX= 0, то mwcx= 0, и тогда

vcx=const. (125)

8 6

Если в начальный момент времени центр масс системы в направлении оси х не перемещался (vcx = 0), то, учитывая,

cdx

что vcx= — , получим:

т. е. центр масс системы в направлении оси х перемещаться не будет.

Если в направлении оси х центр масс механической систе­ мы, состоящей из группы тел, не перемещается, то это еще ' не означает, что не будет движений тел в системе. Тела в си­

стеме могут перемещаться, но эти перемещения будут проис­ ходить по определенным закономерностям.

Найдем закон перемещений тел в системе, центр масс ко­ торой во время движений этих тел не перемещается в направ­ лении оси х.

Координату хс центра масс механической системы, состо­ ящей из к количества тел, определим по формуле:

mxc= 2 mkxk.

Тогда в момент времени К

mxic = Smkxlk,

а в момент времени t2

mx2C = Smkx2k.

87

Вычтем из в горою уравнения первое, получим:

1ПХ2 С— m xic=S m k X 2k— SmkXik.

Так как перемещения центра масс системы в направлении оси х не будет, то в любой .момент времени

X2 C = Xic = ICOnst

Поэтому

ла в направлении оси х.

Уравнение (127) определяет закон перемещений тел в си­ стеме, центр масс которой не перемещается в направлении

ОСИ X.

Равенства (123), (124), (125), (126) и (127) выражают собой в разных формах закон сохранения движения центра масс механической системы.

§ 23. Решение задач на определение движения центра масс механической системы

Пользуясь теоремой о движении центра масс, можно, зная внешнее силы, действующие на механическую систему, най­ ти закон движения центра масс системы и, наоборот, зная движение центра масс системы, определить главный вектор действующих на систему внешних сил.

Закон сохранения движения центра масс системы позво­ ляет находить перемещения одних тел в системе в зависимо­ сти от перемещений других тел системы.

П р и м е р 1. Призма ABCD весом Q = ISO н лежит на гладкой горизонтальной плоскости. На боковых гранях приз­ мы, образующих с горизонталью углы а=60°, |3 = 30° и у = 90°, расположены три груза, соединенные между собой нерастя­ жимой нитью, веса которых равны соответственно Pi = 160 н; Рг=140 к; Р3 = 70 н. В начальный момент система неподвиж­ на. Определить перемещение призмы относительно неподвиж­ ной плоскости, если каждый груз переместится по соответст­

88

вующей грани на расстояние h = 1 м и груз Pi опустится при этом вниз (см. рис. 53).

. Р е ше н и е . Данная механическая система состоит из че­ тырех движущихся тел: призмы ABCD и трех грузов. На эту систему действуют силы: Q, Рь Р2, Р3, R, которые, как видно из рис. 53, расположены перпендикулярно оси х. Следова­ тельно, в направлении оси х перемещения центра масс меха­ нической системы не будет, движения тел в системе произой­ дут согласно зависимости

Распишем зависимость (а) для данных задачи:

Абсолютное перемещение призмы ABCD обозначим Ах и' будем считать, что движение призмы совпадает с положитель­ ным направлением оси х (рис. 53).

Движение груза ■1 будет сложным, состоящим из относи­ тельного движения (движения груза по призме) и переносно­ го движения (движения груза вместе с призмой по горизон­ тальной плоскости).

89-