книги из ГПНТБ / Антонов В.М. Теоретическая механика (динамика) учеб. пособие

груза по призме) в направлении оси х. Из рис. 53 имеем:

P(h cos 60° + P2h cos 30°

кой А, расположенной на другом конце платформы. Радиус барабана лебедки равен г= 0,1 м. Барабан вращается с по­ стоянным угловым ускорением е= 5 сек~2, причем его началь­ ная угловая скорость соо равна нулю. Вес платформы вместе

90,

с лебедкой равен Q = 25-104 н. Определить, пренебрегая тре­ нием, величину перемещения платформы через t= 8 сек по­ сле начала движения груза (рис. 54).

Ре ше н и е . Данная механическая система состоит из двух движущихся тел: платформы с лебедкой весом Q и гру­ за М весом Р.

Силы, действующие на систему (Q, Р и R), расположены перпендикулярно оси х. Поэтому в направлении оси х пере­ мещения центра масс системы не будет. Движения тел в си­ стеме произойдут согласно зависимости:

в направлении оси х.

Абсолютное перемещение платформы обозначим Ах и бу­ дем считать, что движение платформы совпадает с положи­ тельным направлением оси х.

Движение груза М будет движением сложным, состоящим из относительного движения (движения груза по платформе)

где Axi — относительное перемещение груза (перемещение груза по платформе).

91

Найдем Дхь

Таким образом, при движении груза М по платформе в течение t = 8 сек вправо сама платформа переместится влево на 1,18 м.

Г л а в а VI. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

§24. Количество движения твердого тела

имеханической системы

Пусть какое-либо твердое тело перемещается в простран­

суммируя векторы количеств движения всех точек, составля­

92

Рис. 55

Возьмем производную по 'времени от обеих частей этого равенства, получим:

т. е. вектор количества движения твердого тела равен произ­ ведению массы тела на скорость центра масс этого тела и на­ правлен по направлению скорости центра масс тела.

По формуле (130) определяется и количество движения механической системы, состоящей из группы тел.

§ 25. Теорема об изменении количества движения твердого тела и механической системы

Для любого движущегося твердого тела или механической ■системы уравнение движения имеет вид:

mwc = У F .

Отсюда, считая массу тела величиной постоянной, можно записать:

93

или

Выражение (131) представляет собой теорему об измене­ нии количества движения твердого тела (системы): произ­ водная по времени от количества движения тела (системы) равна сумме всех внешних сил, действующих на тело (систе­ му).

Спроектировав векторное равенство (131) на оси коорди­ нат, получим:

где Kx; Kvi Kz— проекции количества движения тела (си­ стемы) на оси х, у, z;

2FX; SFy; 2FZ— сумма проекций на оси х, у, г всех внеш­

§ 26. Закон сохранения количества движения механической системы

а) Если сумма всех внешних сил, действующих на меха­ ническую систему, равна нулю, то вектор количества дви­ жения системы будет во все время движения оставаться по-' стоянным по модулю и направлению.

В этом нетрудно убедиться, .рассматривая зависимость

(131):

i - W ’ S F .

94

Так как 2F = 0, то

БГ(к>= о-

Отоюда

б) Если сумма проекций всех внешних сил, приложенных к механической системе, на какую-либо ось х равна нулю, то проекция количества движения этой системы на ось х во все время движения системы остается величиной постоянной

(Kx='Const) (рис. 56).

Я

Найдем закон движения тел в системе в случае, когда проекция количества движения системы на ось х остается ве­ личиной постоянной во все время движения системы.

95

Для механической системы, состоящей из К количества тел, будем иметь (см. формулу (129):

2mkVk= mvc.

Проекция на ось х этого равенства запишется в виде

остается величиной постоянной во все время движения систе­ мы.

Равенства (133), (134) и (136) выражают собой в разных формах закон сохранения количества движения механической системы.

§27. Решение задач динамики системы с помощью теоремы об изменении количества движения системы

жду осями барабанов равно 1=2 м, а радиус каждого бараба­ на равен г= 0,2 м. В- начальный момент система находилась в покое, затем трос стали перематывать с барабана А, вра­ щая барабан В с постоянным угловым ускорением е= 5 сект2. Определить скорость салазок через t= 10 сек после начала перемотки. Трением, а также толщиной наматываемого слоя троса пренебречь (рис. 57).

Р е ше н и е . Данная механическая система состоит из двух движущихся в направлении оси х тел: салазок и участ­ ка троса АВ. На систему действуют внешние силы Q, G и R,' расположенные перпендикулярно оои х. Поэтому проекция вектора количества движения данной системы на ось х во все время движения системы остается величиной постоянной, а движения тел в системе происходят согласно зависимости:

2mkVkx=const. (а)

•96

Так как в начальный момент времени система была в по­ кое, то количество движения ее в этот момент равно нулю.

Трос АВ совершает сложное движение, состоящее из от­ носительного движения (движения троса относительно сала­ зок со скоростью Vi) и переносного движения (движения тро­ са вместе с салазками по неподвижной горизонтальной плос­ кости со скоростью v).

Абсолютная скорость троса АВ в направлении оси х рав­

на:

Vixa = V— V].

С учетом (г) и (д) выражение (в) примет вид: mi (v—10) + m 2v = 0

Таким образом, через 1=10 сек после начала перемотки троса влево с барабана А на барабан В салазки будут пе­ ремещаться вправо со скоростью v = 0,15 м/сек.

Г л а в а VII. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

§28. Момент количества движения твердого тела

имеханической системы

А'1о м е и т к о л и ч е с т в а д в и ж е н и я т в е р д о г о те­ ла, ■с о в е р ш а ю.щ е г о п р о и з в о л ь н о е д в и ж е н и е .

Моментом количества движения какой-либо движущейся точки к относительно некоторого центра О (как известно из динамики точки) называется ‘произведение количества дви­

Момент количества движения точки можно представить и в виде вектора Lko, равного по величине Lko и направленного перпендикулярно плоскости, в которой лежит вектор mkVk и

98

Рис. 58

-точка О (аналогично тому, как в .статике момент силы отно­ сительно точки представляется в виде вектора-.момента).

Для твердого тела вектор момента количества движения Lo относительно .какого-либо центра О можно определить, сложив векторы моментов количеств движения относительно того же центра О всех точек, составляющих' данное тело:

Спроектировав векторное 'равенство (138) на осй коЬрд'и- нат, получим выражения для определения 'моментов количе­

2Lkx; 2 Lky; 2Lkz — суммы моментов количеств движения

•всех точек тела относительно, осе» коор­ динат.

Выражения (139) показывают, что момент количества дви­ жения твердого тела относительно .какой-либо :бси - равен алгебраической сумме .моментов количеств движения отно­ сительно той же оси всех точек, составляющих тело. Момен­ ты количеств движения всех точек тела относительно любой оси раположены в плоскости, 'перпендикулярной "этой оси и определяются по формуле (64). к >

Вектор момента количества движения тела относительно какой-либо оси будет направлен вдоль данной оси (рис. 59).

t.9&