книги из ГПНТБ / Антонов В.М. Теоретическая механика (динамика) учеб. пособие

г) С л о ж н о е д в и ж е н и е точки и тела

Пусть материальная точка М совершает сложное движе­ ние, перемещаясь, например, по канавке АВ диска и вместе с диском вращаясь вокруг оси О (рис. 84).

Рис. 84

Абсолютное движение точки М будет слагаться из двух одновременно происходящих движений: 1) движения точки М. по канавке диска (относительное движение точки) и 2) вра­ щения точки М .вместе с диском вокруг оси О (переносное движение точки).

Абсолютное ускорение точки М, как известно из кинема­ тики, будет равно:

,wa= wr+ w e+ w k,

wk — кориолисово ускорение точки М.

Умножив вышеприведенное векторное равенство на по­ стоянную величину m (массу точки М), а затем на —1, полу­ чим:

—mwa= —mwr—mwe—mwk

150

Итак, при сложном движении точки абсолютная сила инерции точки Фа равна геометрической сумме относитель­ ной Фг, переносной Фс и кориолисовой Фи сил инерции точки.

Для данных на рис. 84 будем иметь:

для нахождения сил инерции этого тела необходимо геомет­ рически сложить абсолютные силы инерции всех точек, со­ ставляющих данное тело:

где Фак — абсолютная сила инерции к-ой точки тела.

§ 40. Решение задач динамики системы с помощью принципа Даламбера

'Применяя принцип Даламбера, можно любую задачу ди­ намики системы привести к задаче статики.

С шомощью принципа Даламбера просто и наглядно ре­ шаются задачи по определению динамических реакций, дей­ ствующих со стороны связей .на рассматриваемое движуще­

ном положении механизма (см. рис. 85а), а также найти ве­ личину момента М, приложенного к кривошипу ОА и обес­ печивающего .вращение кривошипа с заданной угловой ско­ ростью.

принцип Даламбера.

На основании .принципа Даламбера данный движущийся кривошипно-шатунный механизм можно рассматривать как находящийся в равновесии, если к действующим на механизм внешним силам добавить силы инерции звеньев механизма.

Для определения сил инерции звеньев механизма необхо­ димо знать ускорения этих звеньев.

151

Ускорения звеньев механизма найдем по законам кинема­ тики.

Определим ускорение точки А, рассматривая вращатель­ ное движение кривошипа ОА (см. рис. 85а):

w A - ш2 ■ОА = 42 • 0,4 = 6,4 - М .

секг

Определим ускорение точки В, рассматривая плоское дви­ жение шатуна АВ (рис. 85 а):

где

w b a 11 = wAB2 ■AB ,

W ba’ — £ab • AB .

152

\vcx= —Wa-cos 60° = —6,4-0,5 = —3,2' м/сек2.

Знак минус у wcx указывает на то, что в действительно­ сти ускорение wcx направлено в сторону, противоположную

Отсюда

\vcy= —6,4-0,87+3,7 = —1,87 м/сек2.

Для нахождения реакций опор и усилий, действующих на шарниры данного механизма, рассмотрим отдельно (приме­ няя принцип Даламбера) равновесие системы звеньев 2—3, звена 3 и звена 1.

Рассмотрим равновесие системы звеньев 2—3 (см. рис. 85 6). Для этого приложим к рассматриваемой системе звеньев 2—3, помимо внешних сил (силы Р реакций R43 и RA), силы инерции звена 3 (ползуна В), совершающего поступа­ тельное движение, п силы инерции звена 2 (шатуна АВ), совер­ шающего плоское движение.

Сила инерции ползуна В (звена 3) приложена в центре масс ползуна, направлена в сторону, противоположную wb, и равна:

Фв = гпв^'в = 50-3,68= 184 н.

•

Силы инерции шатуна АВ (звена 2) представим в виде равнодействующей Re", приложенной в центре масс шатуна АВ, и пары сил с моментом Мс".

Равнодействующую сил инерции шатуна Re" представим в виде двух составляющих Фсх. и Фсу, приложенных ,в цент­ ре масс С шатуна АВ, ■направленных в стороны,'противопо­ ложные соответственно wcx и wcy, и равных (рис. 85б):

Фс.х= т Ав\Усх= 20-3,2 = 64 н;

Фсу = m.ABWcy= 20-1,87 = 37,4 н.

Момент пары сил инерции шатуна Мс" направлен в сто-

154

pony, противоположную угловому ускорению шатуна, и ра­ вен:

2.Fkx = Rax —Фсх + Р cos 30° — Фв cos 30° —

—R43 sin 30° = 0 -

Отсюда

Rax = Фсх — Р cos 305 —)—ф в cos 30° R43 sin 30 =

155

Отсюда

RAy = - Фсу - P-sin 30° + ф 3 sin 30° - R<3 • cos 30° =

= - 37,4 — 485 • 0,5 + 184 • 0,5 — (— 213) • 0,87 = — 1,4 n .

Полное усилие, действующее «а шарнир А, равно:

Ra = ]/R Ax2 + RAy2 = ) / ( - 300)2 + ( - 1,4)2 = 300 н .

Для нахождения усилий, действующих на шарнир В, рас­ смотрим равновесие звена 3 (ползуна В) (см. рис. 85е).

Ползун В находится в равновесии ,под действием силы Р, силы инерции Фв, реакции R43 со стороны неподвижных на­ правляющих и реакции Rb со стороны шатуна АВ. Реакцию Rb представим в виде двух составляющих Rbx и RBy, на­ правленных по осям координат (рис! 85в).

Составим условия равновесия для вышеуказанных сил, действующих на ползун В:

1.2Fk-x= P + R bx—Фв = 0.

Отсюда

Рвх = Фв—Р=184—485 = —301 н.

2.SFi5y = RBy+R43 = 0.

Отсюда

RBy=—R43= — (—213) =213 н.

Полное усилие, действующее на шарнир В, равно:

Rb = ] /R bx2 + R ^ 2_= У Г 1 301)2 + (213)2 = 368 n.

Для нахождения реакций опоры О и приложенного к кри­ вошипу ОА момента М рассмотримравновесие звена 1 (кри­ вошипа ОА) (см. рис. 85г).

Сила инерции кривошипа ОА, вращающегося с постоян­ ной угловой скоростью со вокруг оси О, приложена в центре вращения О кривошипа, направлена в сторону, противопо­ ложную ускорению центра масс С) кривошипа и равна

(рис. 85 г ):

®OA = mOA’Wci,

где wc — ускорение центра масс Ci кривошипа ОА. Так как (рис. 85а).

156

Кривошип ОА находится в равновесии под действием си­ лы инерции Фол, момента М, реакций Rax', Ray' со стороны звена АВ и реакций Rot, Ro-п со стороны опоры О.

Составим условия равновесия для вышеуказанных сил, действующих на кривошип АО:

1. 2 Mo (Fk) = (*W cos 30°) • АО + + (RAy' sin 30°) • АО + М = О .

Отсюда, учитывая, что Rax' = Rax= —300 к и Ray' = = Ray= —1,4 н, найдем М:

М = — RAx cos 30° • АО - RAy • sin 30° • АО -

= — (— 300) - 0,87 • 0,4 - ( - 1,4) • 0,5 • 0,4 = 104 нм .

2. 2 МА(Fk) = М + Ro; • ОА = О.

Отсюда

104

260 н .

0,4

-3. 2 FkT, = Ro, -f~ Ф оа — RAy' • cos 30 4- R'Ax • cos 60° — 0 .

Отсюда, учитывая, что Rax'= R ax и RAy'=RAy, найдем Ro^

равномерно вокруг неподвижной оси Az, жестко прикреплен горизонтальный стержень НО = 0,8 м. К концу О этого стерж­ ня прикреплен при помощи цилиндрического шарнира стер­ жень DE весом Q = 180 н, образующий с вертикалью угол ■cp=30o=const. На концах этоцо стержня помещены грузы D и Е, веса которых соответственно равны: Pi = 20 к и Р2 = 60 н. Определить угловую скорость вала АВ, реакции подшипни­ ка В и подИятника А.

„Дано: DO = 0,1 м\ ОЕ = 0,2 м\ НВ = 0,4 м; АН = 0,6 м.

I

зов D и Е, вращающихся вокруг оси z, и силы инерции стерж­ ня DE, также вращающегося вокруг оси z.

Сила инерции груза D направлена противоположно ускорешению груза wD и равна (рис. 86):

®D = mDwD,

где Wd — ускорение груза D при его -вращении вокруг оси г. Так как вращение груза D вокруг оси z равномерное, то

полное ускорение груза D равно его нормальному ускорению

(рис. 86о):

wд = Ш2 • D L - Ш* • (НО - DO • cos 60°) = = w2 (0,8 — 0,1 • 0,5) = 0,75 (О2 .

Величина силы инерции груза D равна:

20

Фд = гпд • \\'л = —— • 0,75 ш2 = 1,53 о)2 . 9,8

Аналогичным образом найдем силу инерции груза Е (см.

рис. 86а ):

158

где /к — расстояние от к-ой точки стержня DE до оси враще­ ния г.

Крайние точки D и Е стержня будут иметь ускорения:

\vd= co2-DL = 0,75co2; We = со2 ■ЕМ = 0,9ш2.

Сила инерции каждой точки стержня DE направлена в сторону, противоположную ускорению точки, и равна:

Силы инерции всего стержня DE представляют собой си­ стему параллельных сил, направленных в одну' сторону и

образующих трапецию ЕОФщФш (рис. 86). Найдем равнодействующую R11 этих сил:

R”=2фк=-2mkwk - mwc,,

где m — масса стержня DE;

159'