книги из ГПНТБ / Антонов В.М. Теоретическая механика (динамика) учеб. пособие

Если механическая система изменяема

(рис. 70), зависи­

мости (165а) и (166) примут вид:

dT = SdAe+ 2dA l,

(169)

Т—To= EAe+EA i,

(170)

где 2Ае — сумма работ всех внешних сил, действующих

на

механическую систему;

в

системе внут­

2А1 — сумма работ всех действующих

ренних сил, расстояния между точками которых

изменяются при движении системы

(силы F,

и F2

на рис. 70).

ната AD и BE.

К свободному

концу ■первого

каната при­

креплен

каток радиуса

г= 0,4 м и весом

Gi = 980 н,

а к сво­

бодному

концу

второго

каната

— груз

весом

G2

= 980 н.

ент трения

Г= 0,2

груза о наклонную

плоскость, радиусы

Ri = 0,3 м,

R2 = 0,2

м , радиус инерции

i= 0,25 м ступенчатого

шкива относительно его оси вращения

и вес Q = 1000 н этого-

шкива (см. рис. 71а).

ской

энергии в

дифференциальной форме (учитывая,

что

данная система

является неизменяемой):

dT = EdAe,

(а)

где

Т — кинетическая энергия данной механической

систе­

мы в произвольный момент времени;

нической системы:

Т = Тк+ Т ш+ Т гр,

(б)

Каток А совершает плоское движение,

его .кинетическая

энергия равна:

1

,

(в)

Т|{ = 2 Jp wa2 ,

Jp == Jc + md2 .

В нашем случае

m,r2

3

Jp = Jc

+ m ir2 =

2

"T" m !r2 =

~2~ m ir“ =

3

P

3

980

Тк = — • 24 соА2 = 12 шА2 .

(г)

1

Тш =

2 J0 ' 0)2 ’

(д)

где J0 — момент инерции шкива относительно оси О;

о — угловая скорость

вращения

шкива.

О

Ю00

Jo = m • i2 =

■i2= у й • 0,252 = 6,4 кгм* .

Т Ш= 4 - - М со2 = 3 > 2

(е)

3. Найдем кинетическую энергию груза В.

движение,

то

Так как груз

В

совершает

поступательное

его кинетическая

энергия

равна:

1

1

G,

1 980

(ж)

Тгр = _2_ гпвУь2= ~2 ~ ■_g_vB2 = ~ i

У^~"ув2 — 50vB2,

где vb — скорость движения груза В.

и

(.ж) в

(б), получим:

4. Подставив выражения (г),

(е)

Т = 12 ш д2

-|—3,2 ш2

- р

.оО Vb2.

( з )

Выразнм со\ и vb через со,

используя

законы кинематики

(рис. 71а):

>

сод =

vr

ш R,

0,3

со =

0,75 со ,

—

=

- =

qj4

Vb — со R2 =

0,2 со .

(За)

Т =

12 (0,75 со)2 4- 3,2 со2 -|- 50 (0,2 со)2 =

6,7 со2

3,2 со2 -}-

+ 2 со2

= 11,9 со2 .

(и)

5.

Определим сумму

элементарных

работ

всех внешних

ремещению (реакции

и N2), либо сила не перемещается

при движении системы (сила Q,

реакции хо, уо).

Таким образом, работу, при движении механической си­

стемы совершают но.мент М, силы Gt, G2 и F2tp.

Поэтому

2 dAe = dAi

dA2

dA3 + dA4 ,

где dAi — элементарная работа момента М,

совершае­

мая

при повороте

ступенчатого

шкива на

угол

dtp;

dA2 — элементарная

работа

силы

Gi на

перемеще­

нии dS 1;

работа

силы

G2 на

перемеще­

dA3 — элементарная

нии dS2;

работа

силы

трения

F2tp

на

dA4 — элементарная

Так как

перемещении

dS2.

(рис. 71 а)

dAi =Mdcp=100dcp,

dA2 =

Gi cos a - dSi =

980 • cos 30° dSj =

=

980 • 0,87 dS, = 850dS, ;

dA3 = — G2 • cos p • dS2 =

— 980 • cos 45° dS2 =

=

— 980 • 0,7 • dS2 = -

685 dS2 ;

dA4 =

— F2Tp

•

dS2 -

—fG2n • dS2 = — fG2 • sin ВdS2 =

= - 0,2 - 980

•

sin 45°' •

dS2 =

- 0,2 • 980 • 0,7 • dS2 =

=

-

137dS2 ,

TO

2

dAe =

lOOdcp + 850 dS,

— 685 dS2 -

137 dS2 .

(к)

Выразим dSi и dS2 через dcp, используя законы кинема­

тики (рис. 71а):

dSI = Ridcp= 0,3d(p,

dS2 = R2dcp = 0,2dcp.

С учетом полученных зависимостей выражение

(к), опре­

деляющее значение элементарной работы всех сил, действу­

ющих на систему, примет вид:

2 dAe =

100 d ф +

850 • 0,3 d ф -

685 •

0:2 d ф -

137 • 0,2 d <р =

= 100 d ф +

255 d ф — 137 d ф. — 27,4 d ф =

191 d ф .

(л)

6.

Подставив зависимости (и)

и (л)

в зависимость (а),

выражающую теорему об изменении кинетической энергии

оистемы,

получим:

или

. d(ll,9co2) = 191бф

1 l,9dm2= 191бФ.

’

(м)

Разделим равенство

(м) на dt:

П

d

9

d ф

.

191- j f .

Отсюда

,. „

dcu

dm

1

И,9 • 2 - -j j - = ш - у

Учитывая,

что

=

е н

= со,

получим из

предыдущего

уравнения:

23,8 со

■s =

191 ш .

Отсюда

191

в =

8 сек~ 2 .

2з"g" =

N, и реакция со стороны каната

Fad-

Д ля нахождения натяжения

Fad каната AD применим к

движущемуся катку А теорему

об изменении

кинетической

энергии (в дифференциальной форме):

dTk=2dA,

_

(н)

где Тк — кинетическая энергия

катка

А; •

ражение (г)]:

Тк= 12соа2.

Так как

соа= 0>75(о,

то

(о)

Тк= 12(0,75со) 2=6,7со2,

где <в — угловая скорость вращения ступенчатого

шкива си­

стемы.

Найдем сумму элементарных

работ

сил (G|,

N) н F.\d)г

действующих на каток А.

своему

перемеще­

Так как реакция N)

перпендикулярна

нию во все время движения катка, ее работа равна нулю.

Поэтому

IdA = dA1+ clA2,

где dА] — элементарная

работа

силы

G|

на

перемещении

dS,;

работа

силы

F^d на

перемещении

dAo — элементарная

dSb

Так как

v dA — S50 dS, - Faj ■dS, = (S50 - РАД) • dS, .

(n)

ИЛИ

1

6.7 dco2 =

(850 -

Рад) • dS, .

(р)

Разделим

равенство

(р)

на

dt:

d

dSj

6>7_dT(lu2)

=

(850 - Fah)

- ^

'

Отсюда

dio

dS i

6.7 U)'dT

=

(850

Рад^

dt

’

Учитывая,

dw

=

e

dS i

= v c , получим • из

что

и

предыдущего

уравнения:

13,4(о ■е= (850—FAd) • v c .

(с)

Так как (см. рис. 71а)

vc = coRi = 0,3(о,

Отсюда

13,4

Рад =

850 —

• г .

Учитывая, что е= 8 сек~2, получим из вышеприведенного

равенства:

рДд = 850 -

13,4

• 8 = 492 к .

- у у

реакциями связей

получим свободно

движущийся груз

В,,

на который будут

действовать сила G2, реакции

опоры N2,

F2tp и реакция со стороны каната Fbe

(см. рис. 71в).

к

Для нахождения натяжения Fbe каната BE применим

движущемуся грузу В теорему об изменении

кинетической

энергии (в дифференциальной форме):

dTrp= EdA,

(т)

где Тгр — кинетическая энергия груза

В;

EdA — сумма элементарных работ всех внешних сил, дей­

ствующих на груз В.

равна [см.

выражение

Кинетическая

энергия груза В

(ж) ]:

T,p= 50vr2.

Так как

vb= 0,2ш,

то

.

ТГр = 50(0,2со)2=2-со2,

.

(у)

где со — угловая скорость вращения ступенчатого

шкива

си­

стемы.

и Fbe), Дей­

Сумма элементарных работ сил (G2, F2tp, N2

ствующих иа груз В,

будет такова:

где dAj — элементарная

работа

силы

g2

на

перемеще-

нии dS2;

работа

силы

на

перемеще-

dA2 —■элементарная

F 2tp

нии dS2;

dA3 —■элементарная

работа

силы

F b e

на

перемеще-

нии dS2;

силы

на

перемеще-

dA4 —■элементарная

работа

N2

нии dS2.

Так как (см. рис.

71в)

dAi = — G2cos р

• dS2 = — 980 • cos

45D• dS2 =

= -

980 -

0,7 •

dS2

=

-

685 dS2 ,

dA2 = — F2Tp • dS2

-

fG2n • dS2 = — fG2 • sin P • dS2 =

= — 0,2 • 980

- sin 45°

■dS2 = — 0,2

■980 ■0,7 • dS2 = - 1 3 7

dS2 ,

dA3 =

F be • dS2 ,

dA4 =

0

,

TO

У dA =

-

685 dS, -

137 dS, +

F BE ■dS2 =

=

(— 822 4 - F be) •

d S 2 .

(ф)

Подставив выражения (у) и (ф)

в'выражение

(т),

полу­

чим:

или

d(2a>a) = (—822+ F bb) -dS2

2d (со2) = .(—822+Fbe) • dS2.

Разделим полученное равенство на dt:

d

(<•>*) =

( -

822

+

F be)

■

dS24

2 -^ f

dt

^

Отсюда

dio

dS,

.

4 ( 0 ~бГ =

( -

822 +

F be) - “ d f - .

**

ч,

dw

dSo

что

-

=

e

Vb,

получим из пре­

Учитывая,

и —jp - =

дыдущего уравнения:

4(о-е= (— 822+ F b e ) •v b .

(x )

Отсюда

4

Fbe = о 2 е

'

Таким образом,

при движении данной

механической си­

стемы канат BE во все время движения системы растягивает­

ся силой, равной 982 н.

механизм распо­

' При.мер 2.

Кривошипно-шатунный

9 Заказ 249

129