книги из ГПНТБ / Антонов В.М. Теоретическая механика (динамика) учеб. пособие

Как известно из геометрии, центр тяжести трапеции нахо­ дится от основания тра-пеции на расстоянии h, определяемом по формуле (рис. 866):

смотрим равновесие стержня DE и находящихся на нем гру­ зов D и Е. Стержень DE с грузами D и Е находится в равно­ весии под действием сил Рь Q, Р2, сил инерции Фи, Фе, R" « реакции Ro со стороны стержня НО.

- Р2 • (ОЕ • cos 60°) - Фо (OD • sin 60°) +

+ RH■(ОЕ • sin 60° - h) + ФЕ (ОЕ • sin 60°) = 0 .

Подставим в полученное выражение известные, величины:

20 • (0,1 • 0,5) - 180 (0,05 • 0,5) — 60 • (0,2 • 0,5) -

“~ —1,53 • (0,1 • 0,87)+ 15,2-(0,2-0,87-0,127)+ 5,5(0,2-0,87)

*_ = 6,15 ,

'“ = V ^1 5 = 2,48 сек~1.

160

Для нахождения реакции подшипника В и подпятника А рассмотрим равновесие всей 'механической системы.

Данная механическая система, состоящая из вала АВ, стержня НО, стержня DE и грузов D и Е, находится в рав­ новесии под действием сил Pi, Q, Р2, сил инерция Фц, Фе, R11, реакций хА, уА, zA со стороны подпятника А и реакций хв, ув со стороны подшипника В.

Составим условия равновесия для вышеуказанных сил, действующих на рассматриваемую механическую систему.

l . ~ 2 Mx(Fk) = — ув • АВ - Фо ■AL —RH■АК — - ФЕ • AM — Р, • DL - Q • CN - Р2 • ЕМ =-• О . .

Отсюда

— Ув ■АВ = Фд • AL -f- RH • АК + Фе ■AM -(- Pj • DL -j- + Q • CN + P2 • EM = Ф д • (AH + OD • sin 60°) -f

Отсюда

xA= 0.

4- 2 Kky = Ув + Фд + R" + Фе + Уа = 0 •

Отсюда

УА = - ув - ф 0 - RH _ фЕ = - ( - 291) - 1,53 • 6,15 -

• — 15,2 • 6,15 — 5,5 • .6,15 == 154 « .

5. 2 F kz = zA - P . - Q - P 2= 0. -

Рг=20 н. Стержень CD скреплен с валом АВ при помощи го­ ризонтальной нерастяжимой нити KL; при этом Z_BCD = 60° = = const. Пренебрегая весом вала АВ, определить натяжение нити и усилие, действующее на шарнир С при вращении си­ стемы. Дано: СЕ = 0,5 м; СК = 0,4 м\ CD = 1,5 м (см. рис. 87).

#1

Р е ше н и е . Применяя принцип Даламбера, мысленно ос­ тановим данную механическую систему, состоящую и.з стерж­ ня CD и грузов Е и D. Для этого к действующим на систему внешним силам Рь Q и Р? добавим силы инерции грузов D и

162

Е, вращающихся .вокруг оси у, и силы инерции стержня CD, также вращающегося вокруг оси у.

Сила инерции груза D направлена противоположно уско­ рению груза w d и равна:

фд = гпд\Уд = Щдш2 DM — т д ш2 CD sin 60° = on

параллельных сил Фк, направленных в одну сторону и обра­ зующих ACDO (рис. 87). Эти силы инерции можно привести к одной равнодействующей:

от основания A CDO.

Для нахождения натяжения Т .нити K.L и усилия, действу­ ющего на шарнир С, рассмотрим равновесие стержня CD,

освободив стержень CD от связей и заменив действие связей «а стержень реакциями связей Т, хо, уо-

Стержень CD находится в равновесии под действием сил Р>, Р2, Q, сил инерций Фе, Фб, R" и реакций связей Т, хо, уо.

Составим условия равновесия для вышеуказанных сил, действующих на стержень CD.

1. 2 М С(Fk) = - Р2 • (СЕ ■sin 60') - Q • (СС, • sin 60°) - - Р, (CD • sin 60°) - ФЕ • (СЕ cos 60°) -

. — R" • (CD • cos 60° — h ) — Ф d • (CD • cos 60°) + T • CK = O.

Отсюда

T • CK = P2(CE • sin 60 ) + Q (CC, • sin 60°)I +-

+ P, • (CD • sin 60°) + Ф e • (CE ■cos 60°) +

+ R H • (CD • cos 60° — h) + Фд ■(CD • cos 60°) =

+ 79,2 • 0,5 • 0,5 + 950 - (1,5 - 0,5 - 0,25) +

+ 948 • (1,5 • 0,5) = 1420 ,

и тогда

1420 1420 = 3550 н . CK 0,4

2.2 Fkx = Xc — T -f- Ф e + RH + Фд = 0 .

Отсюда

xc = T - Ф e - R“ - Фд = 3550 - 79,2 — 950 - 948 = 1573 и. 3. 2 Fky = Ус — P2- Q— pi = 0■

Отсюда

Ус = P2 + Q + P, = 20 + 160 + 80 = 260 н .

Полное усилие, действующее на шарнир С, будет равно:

Rc = V хс23.+ ус2 = V 1573s + 26G2 = .1590 к .

П р и м е р 4. Определить реакции .опоры А движущейся механической системы в произвольный момент времени. Да­

Р е ше н и е . Прилож1им к телам данной движущейся ме­ ханической системы силы инерции; тогда эту систему можно

164

рассматривать как 'находящуюся в равновесии (принцип Дадэмбера).

Сила инерции груза 1 направлена противоположно уско­ рению груза 1 (см. рис. 88) и равна:

Сила инерции груза 2 направлена противоположно уско­ рению груза 2 и равна:

Силы инерции шкива 3, вращающегося относительно сво­ его центра масс С, приведутся к паре сил с моментом, на­ правленным противоположно угловому ускорению шкива и равным:

Ми = 1с • е = (ш31х2) ■е = (0,1 • 100 • 0,15=) • е = 0,225 е. (в)

Найдем зависимость между Wj, w2 и е, используя законы кинематики:

С учетом выражений (г) и (д) зависимости (а), (б), (в) примут вид:

165

Рассмотрим равновесие шкива, выделив его из системы и отбросив от него связь (стержень АС). Действие связи (стержня АС) на шкив заменим реакцией связи Nc (реакция проходит через шарнир С).

Шкив с грузами находится в равновесии под действием, сил Рь Р2, Рз, сил инерции Фь Ф2, момента Ми и реакции Nc.

Составим условие равновесия для вышеуказанных сил,

Подставив полученное значение е в зависимости (г) и (д), найдем wi и \v2: -

166

§ 41. Возможные перемещения механической системы

Если какую-либо механическую систему, находящуюся в равновесии, мысленно переместить из заданного положения в положение, бесконечно близкое к заданному, то такое пе­ ремещение называется возможным перемещением системы.

Бесконечно малые перемещения, которые при этом полу­ чат точки механической системы, называются возможными перемещениями точек системы.

Если, например, кривошип ОА механизма (см. рис. 89) мысленно повернуть на бесконечно малый угол бср, то в ре­ зультате этого механизм займет положение, бесконечно близ-

167

кое к исходному, а все точки этого механизма получат воз­ можные перемещения. Точка Ладанного механизма получит возможное перемещение 6SA, точка В — перемещение 6Sb и т. д.

Возможное перемещение в отличие от действительного пе­ ремещения dS принято обозначать аимволом 6S.

Возможные перемещения точек механической системы (как бесконечно малые перемещения) можно считать прямо­ линейными и совпадающими с направлениями скоростей этих точек (рис. 89).

Если механической системе можно сообщить только одно возможное перемещение, то такая оистема называется систе­ мой с одной степенью свободы. В этом случае возможные пе­ ремещения всех точек системы зависят друг от друга и по­ этому их можно выразить через возможное перемещение ка­ кой-либо одной точки данной системы.

Если механической системе можно сообщить п независи­ мых друг от друга возможных перемещений, то такая систе­ ма называется системой с п степенями свободы.

Я.

Механическая система, изображенная на рис. 90, имеет

две степени свободы. Данной системе можно сообщить два независимых друг от друга возможных перемещения:

1)перемещение, получаемое от сообщения ползуну В воз­ можного поступательного перемещения 6Sb;

2)перемещение, получаемое от сообщения стержню АВ возможного поворота вокруг оси В на угол б<р.

168

§42. Принцип возможных перемещений для механической системы

Любая механическая система представляет собой сово­ купность бесконечно большого количества точек. Движение или равновесие каждой точки механической системы можно рассматривать отдельно, отбросив от точки связи и заменив действие связей на точку реакциями связей. Разделим все силы, действующие на точки механической системы, на актив­ ные силы и реакции связей.

К а к т и в н ы м с и л а м механической системы отнесем все те силы, которые вызывают или стремятся вызвать дви­ жение точек и тел в системе.

Введем понятие об идеальных связях.

Если связи в механической системе будут таковы, что при элементарном (бесконечно малом) перемещении системы сумма работ реакций этих связей равна нулю, то такие свя­ зи называются идеальными.

Рассмотрим механическую систему, которая под действи­ ем всех приложенных к ней сил находится в равновесии. Бу­ дем при этом связи для всех точек системы считать идеальны­ ми.

Выделим произвольную точку Вк системы и обозначим ра­ внодействующую всех приложенных к ней активных сил че­ рез Fka, а равнодействующую всех реакций связей — через Nk. Так как точка Вк вместе со всей системой находится в равно­ весии, Fka+Nk = 0 или Fka= —Nk. Следовательно, при любом возможном перемещении точки Вк возможные работы бАка и 6Акг приложенных к ней сил Fka и Nk равны по модулю и противоположны по знаку и в сумме дадут нуль:

6Aka+6Akr = 0.

Аналогично рассуждая, получим подобные равенства для всех точек системы. Сложив эти равенства, получим:

S6Aka+ 26A kr = 0.

Так как связи для всех точек системы являются идеаль­ ными, вторая сумма, согласно определению идеальных свядей, равна нулю.

Следовательно, и

Таким образом, мы доказали, что если механическая си­ стема с идеальными связями находится в равновесии, то сум­

169