книги из ГПНТБ / Антонов В.М. Теоретическая механика (динамика) учеб. пособие

L]Z(t)= Jzco,

где со — угловая скорость, которую имеет 'трубка в момент вылета шарика;

+ — момент инерции трубки АВ относительно осп z. Так как трубка составляет постоянный угол с осью z, то

момент инерции трубки относительно оси z в процессе враще­ ния трубки не изменится. Поэтому

Llz<l>= 0,255ш. (г)

Определим момент количества движения шарика относи­ тельно оси г при вылете его из трубки.

В момент вылета шарик находится в точке В (на рассто­ янии ВК от оси вращения).

Момент количества движения его при вылете относитель­ но оси г будет равен (см. рис. 62а, б):

Ь 2г(б = т 2 У а Ь а

или (см. рис. 626)

L2z(t)=m 2ve ■BK.+m2vr • 0,

где vr — относительная скорость шарика (скорость движе­ ния шарика по трубке);

ve — переносная скорость шарика (скорость вращения шарика вместе с трубкой вокруг оси г).

Переносная скорость шарика равна (см. рис. 626): ve=co-BK.

Тогда

Р

L2z<6 = -m2 ш • ВК2 - ~zr ш(I sin 30°)2 =

» S

(а), получим:

2,04+0 = 0,2550+0,38со.

Отоюда

2,04 10 = 0,255 + 0,38 = 3)22 сек Х■

Таким образом, при вылете шарика М из трубки АВ уг­ ловая скорость трубки уменьшается с 8 сект! до 3,22 сек~].

110

Г ла в а VIII. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

§32. Кинетическая энергия твердого тела

имеханической системы

Кинетической энергией твердого тела называется скаляр­ ная величина, равная арифметической сумме кинетических энергий точек, составляющих данное тело:

J-!

В этом случае все точки тела имеют одинаковые скоро­ сти, равные скорости центра масс тела.

Так как для любой точки тела Vk = vc, по формуле (151) получим:

111

Таким образом, кинетическая энергия тела, совершающего поступательное движение, равна половине произведения мас­ сы тела на квадрат скорости центра масс этого тела.

щ е г о в р а щ а т е л ь н о е д в и же н и е .

Пусть какое-либо тело вращается вокруг оси г с угловой скоростью о (рис. 64).

Скорость любой k-ой точки этого тела равна:

vk = со hk .

Подставив значение Vk в формулу (151), получим:

Учитывая, что 2michk2 представляет собой момент инер­ ции тела относительно оси z, окончательно будем иметь: '

Таким образом, кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг какой-либо оси г, равна половине произведения мо­

112

пусть в данный момент времени мгновенный центр скоростей (МЦС) этого тела находится в точке Р (рис. 65).

Тогда, представляя плоское движение тела в данный мо­ мент времени как чисто вращательное его движение вокруг МЦС (точки Р), можно записать:

1

Выражение (154) определяет величину кинетической энер­ гии тела, совершающего плоское движение.

В выражении (154) представим Jp (согласно теореме о моменте инерции тела относительно параллельных осей) в

дящими через точки Р и С тела.

Подставив зависимость (155) в (154), получим:

Таким образом, кинетическая энергия тела, совершающего плоское движение,'равна кинетической энергии поступатель­ ного движения тела, со скоростью его центра масс vc, сло­ женной с кинетической энергией вращательного движения этого тела вокруг его центра масс С.

Для нахождения кинетической энергии тела, совершаю­ щего плоское движение, можно использовать либо зависи­ мость (154), либо зависимость (156).

перемещаясь, например, по наклонной призме В, которая в свою очередь перемещается по неподвижной горизонтальной плоскости (,рнс. 66).

Абсолютная скорость тела А будет равна:

или по модулю (рис. 66)

va —v vr2 -|- ve2 + 2vrve ■cos a.

V У S S У / / — / / /

Рис. 66

114

Найдем кинетическую энергию данного тела А, рассмат­ ривая его абсолютное движение:

Если рассматривать отдельно относительное и переносное движеннячтела А, то будем иметь:

Т0тв = -^ -m v r2 .

1

Тпер = 2 mve2 • ■ (168)

Из сравнения выражений (157) и (158) заключаем, что

Таким образом, если тело совершает сложное движение, то его полная кинетическая энергия не будет равна сумме кинетических энергий относительного и переносного движе­ ний тела.

(рис. 67), кинетическая энергия равна арифметической сум­ ме кинетических энергий тел, входящих в систему:

Для данных на рис. 67 будем иметь:

Т = Тоа + T ab + Т сд + ТЕД ■

§ 33. Работа сил, приложенных к телу

Силы, приложенные к телу, при перемещении тела совер­ шают работу.

Вобщем случае работа сил находится по формулам, приведенным выше (см. § И).

В. настоящем параграфе рассмотрим случай определения работы сил, приложенных к вращающемуся телу.

Пусть на тело, которое может .вращаться вокруг оси z, действует сила F, приложенная к точке к тела (рис. 68а ).

Разложим силу F на две составляющие Fz и Fxy. Сила F* 'параллельна оси z, сила Fxy перпендикулярна оси z и лежит в плоскости вращения тела ху.

Разложим далее силу Fxy в плоскости ху «а составляющие Fn и F T. Силу Fn направим по радиусу ОК, силу F '— пер­

пендикулярно радиусу ОК-

Таким образом, силу F, приложенную к телу, представим в виде трех ее составляющих: Fz, Fn и F^-Из этих трех со­ ставляющих только одна F T вызывает вращение тела и производит при этом работу.

116

Найдем величину работы, которую совершает сила при повороте тела на бесконечно малый угол dcp (см. рис. 686).

Сила FT , приложенная в точке к тела, при повороте те­ ла на элементарный угол dcp переместится на элементарное расстояние dS. Поэтому

силы относительно оси вращения на элементарный угол по­

Мощность, передаваемая вращающемуся телу от силы, действующей на тело, равна произведению момента этой си­

117

лы относительно оси вращения на угловую скорость враще­ ния тела.

Из выражения (164) следует, что если вращающемуся те­ лу передавать одну и ту же мощность, то вращающий мо­ мент, действующий, на тело, будет тем больше, чем меньше угловая скорость вращения тела.

§ 43. Теорема об изменении кинетической энергии твердого тела и механической системы

Если рассматривать движение какой-либо точки движу­ щегося твердого тела, то-для этой точки можно записать

(СМ. § 11):

где Шк — масса к-ой точки тела; Vk— скорость k-ой точки тела;

SdAk — сумма элементарных работ всех сил, действу­ ющих на к-ую точку тела.

Составив такие уравнения для каждой точки тела и скла­

действующих на тело;

2dA‘ — сумма элементарных работ всех внутренних сил тела — сил взаимодействия между точками те­ ла.

Так как расстояния между точками приложения внутрен­ них сил тела при движении тела не изменяются, то сумма ра­ бот всех внутренних сил тела равна нулю.

Поэтому выражение (165) для твердого тела примет вид:

Зависимость (165а) представляет собой теорему об изме­ нении кинетической энергии твердого тела в дифференциаль­ ной форме.

118

Проинтегрировав обе части равенства (165а) в пределах, соответствующих перемещению тела из некоторого начально­ го положения, где кинетическая энергия равна Т0, в положе­ ние, где значение кинетической энергии тела становится рав­ ным Т, будем иметь:

Уравнение (166) выражает теорему об изменении кинети­ ческой энергии твердого тела в конечной форме:

изменение кинетической энергии твердого тела при неко­ тором его перемещении равно ,сумме работ на этом переме­ щении всех приложенных к телу внешних сил.

Зависимости (165 а) и (166) справедливы и для механи­ ческой системы, состоящей из группы твердых тел.

Однако в этом случае при определении суммы работ сил системы необходимо учитывать не только внешние силы, дей­ ствующие на систему, но и внутренние силы — силы взаи­

где Т — кинетическая энергия механической системы в рас­ сматриваемом положении системы;

Т0 — кинетическая энергия системы в начальном поло­ жении системы;

5Ае — сумма работ всех внешних сил, действующих на систему.

Неизменяемой называется система, в которой расстояния между точками приложения внутренних сил при движении системы не изменяются.

Л

119