книги из ГПНТБ / Руководство к лабораторным занятиям по физике учеб. пособие

40 I. ОЗНАКОМЛЕНИЕ С МЕТОДАМИ ФИЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

Для сравнения различных распределений по ширине нужно выбирать такие масштабы по оси абсцисс, чтобы положения мак­ симумов у всех гистограмм совпадали (рис. 7). Чем уже распре­ деление, тем с большим основанием можно утверждать, что найден­ ное на опыте значение может быть отождествлено с искомым сред­ ним. Чем распределение шире, тем меньше оснований для такого отождествления.

Рис. 7. Сравнительное распределение результатов опыта при различных п0.

Для оценки точности измерений обычно применяют величину, называемую д и с п е р с и е й . Дисперсией о2 случайной вели­ чины называется среднее значение квадрата отклонения этой ве­ личины от ее среднего значения:

а2 = (п —п0)2.

Сама величина а (корень квадратный из дисперсии) называется с р е д н е к в а д р а т и ч н о й о ш и б к о й или с т а н д а р т ­

ны м о т к л о н е н и е м .

Втеории вероятностей показывается, что в 68 случаях из 100 (т. е. с вероятностью 68%) истинное среднее значение отличается от результатов измерения не более чем на одну среднеквадратич­ ную ошибку (±а); с вероятностью 95% — не более чем на две среднеквадратичные ошибки (± 2 а) и с вероятностью 99,7% — не больше чем на три среднеквадратичные ошибки (=ЬЗа).

Из теории следует также, что среднеквадратичная ошибка числа отсчетов счетчика за некоторый интервал времени равна корню из среднего числа отсчетов за тот же интервал: сг = У п0. Однако почти всегда истинное среднее значение измеряемой величины неизвестно (иначе для его определения не пришлось бы ставить опыты). Поэтому в формулу для определения стандартной ошибки отдельного измерения приходится подставлять не истинное среднее значение п0, а измеренное значение п:

Формула (1) показыват, что, как правило (с вероятностью 68%),

измеренное число частиц п отличается от искомого среднего не более чем на У п . Результат измерений записывается так:

Обратимся теперь к следующему важному вопросу. Пусть мы про­ вели серию из N измерений по t секунд, в результате которой полу­ чены числа частиц пъ п.ъ ..., п^. Эти результаты мы до сих пор ис­ пользовали для того, чтобы определить, как отличаются друг от друга значения, полученные в разных измерениях. Как уже отме­ чалось, этот вопрос важен главным образом для выяснения того, насколько достоверен результат, полученный в одном измерении. Но если было проведено несколько измерений, их результаты могут быть использованы и с другой целью: они позволяют определить среднее значение измеряемой величины лучше, чем это можно сделать, если произведено всего одно измерение. Пусть t — 10 с. При N измерениях среднее значение числа сосчитанных за 10 се­ кунд частиц равно, очевидно,

а стандартная ошибка отдельного измерения, по определению, равна

і= 1 В соответствии с формулой (1) следует ожидать, что эта ошибка будет близка к У п, т. е.

Величина п из формулы (3), полученная путем усреднения резуль­ татов по серии из N опытов, конечно, тоже не вполне точно совпа­ дает с истинным средним значением п0 и сама является случайной величиной, но отклонение величины п от п0, вообще говоря, суще­ ственно меньше, чем о0ТД.

Через минуту остановите счет, нажав кнопку «Стоп». Цифры, стоя­ щие около светящихся электродов, отсчитываются слева направо и определяют количество прошедших импульсов. Число импульсов должно быть равно 50 і = 3000 с отклонением не более 1 %. Повто­ рите измерение 2—3 раза.

4.Нажмите кнопку «Сброс», затем «Пуск» и засеките время. Прибор начнет считать импульсы, поступающие от счетчика.

5.Измерьте число частиц, проходящих через счетчик за интер­ вал времени, равный 10 секундам. Повторите измерение JV --- 400 раз.

Результаты опыта представьте в виде гистограммы W„ —'/ (п). Для этого по оси абсцисс отложите последовательные целые числа п, а по оси ординат — долю случаев, когда число отсчетов счетчика равнялось /?. Доля случаев Wn, характеризующая вероятность полу­ чить п отсчетов, определяется по очевидной формуле

6.Определите п — среднее число импульсов счетчика за 10 се­ кунд (по формуле (3)) и о0ТД — среднеквадратичную ошибку от­ дельного измерения по формуле (4).

7.Убедитесь в справедливости формулы (5).

8.Определите процент случаев, когда отклонения от среднего значения превышают аогд, 2аотд, Заотд, и сравните найденную из опыта долю таких случаев с теоретическими оценками. При срав­ нении теоретических оценок с экспериментальными данными сле­ дует помнить, что при конечном, а тем более при небольшом числе опытов точного согласия между ними быть не может. Эксперимен­ тальные данные содержат в себе элемент случайности, которого нет

втеоретических оценках. Согласия экспериментальных результа­ тов с теоретическими оценками следует ожидать лишь по порядку величины.

9.Разбейте результаты измерений в порядке их получения на группы по 4 и с их помощью постройте гистограмму распределения среднего числа отсчетов за 40 секунд. Определите среднее число импульсов и среднеквадратичную ошибку для этого распределения.

Для наглядности гистограммы распределений среднего числа отсчетов за 10 и 40 секунд следует строить на одном графике. При этом для второго распределения цена деления по оси абсцисс должна быть увеличена в 4 раза, чтобы положения максимумов распреде­ лений совпадали. По оси ординат в обоих распределениях отклады­ ваются вероятности Wn (см. рис. 7).

10.Определите стандартное отклонение величины н, используя всю совокупность измерений (по формуле (6)). Найдите относитель­ ную ошибку этого результата по первому равенству (7) и по послед­ нему равенству (7). С какой точностью совпадают эти результаты? Насколько точно они должны совпадать?

44 I. ОЗНАКОМЛЕНИЕ С МЕТОДАМИ ФИЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

Р а б о т а 2. ИЗМЕРЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ РАЗМЕРОВ И ОБЪЕМОВ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Принадлежности: технические весы, разновес, линейка, штангенциркуль, микрометр, мерный стакан, тонкая проволока, химический стакан, специальный столик для гидростатического взвешивания, набор тел, подлежащих измерению.

Нониус и микрометрический винт. Представим себе две линейки, сложенные вместе, как указано на рис. 8. Пусть цена деления (длина одного деления) верхней линейки равна Іи а цена деления нижней линейки — /2. Линейки образуют нониус, если существует такое целое число k, при котором

У линеек, изображенных на рис. 8, k = 4. Верхний знак в фор­ муле (1) относится к случаю, когда деления нижней линейки

6 — 0,1 мм. Как видно из рис. 8, при совпадении нулевых делений нижней и верхней шкал совпадают, кроме того, k-e деление ниж­

Начнем постепенно сдвигать верхнюю линейку вправо. Нулевые деления линеек разойдутся и сначала совпадут первые деления линеек. Это случится при сдвиге /2 — Іъ равном точности нониуса 6. При двойном сдвиге совпадут вторые деления линеек и т. д. Если совпали т-е деления, можно, очевидно, утверждать, что их нуле­ вые деления сдвинуты на тд.

Высказанные утверждения справедливы в том случае, если сдвиг верхней линейки относительно нижней не превышает одного деления нижней линейки. При сдвиге ровно на деление (или на несколько делений) нулевое деление верхней шкалы совпадает уже не с нулевым, а с первым (или n-м) делением нижней линейки. При небольшом дополнительном сдвиге с делением нижней линейки совпадает уже не нулевое, в первое деление верхней и т. д.

В технических нониусах верхнюю линейку делают обычно ко­ роткой, так что совпадать с нижними может лишь одно из делений^ этой линейки. В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что нониусная линейка является в этом смысле короткой.

46 I. ОЗНАКОМЛЕНИЕ С МЕТОДАМИ ФИЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

на 0,5 мм. Барабан, связанный со стержнем, разбит на 50 делений. Поворот на одно деление соответствует смещению стержня на 0,01 мм. С этой точностью обычно и производятся измерения с по­ мощью микрометра.

Определение размеров и объемов твердых тел правильной формы.

Прежде чем приступить к выполнению этого упражнения, ознакомь­ тесь с устройством штангенциркуля и микрометра. Определите точ­ ность нониуса штангенциркуля и цену деления микрометра. Про­ делав несколько предварительных измерений линейных размеров какого-либо тела, научитесь работать с этими приборами. При работе следует иметь в виду, что результат измерения зависит от того, с какой силой сжимается измеряемый объект штангенцирку­ лем или микрометром. Это в первую очередь относится к микрометру и притом по двум причинам. Во-первых, винт с малым шагом пре­ вращает незначительные усилия руки, поворачивающей барабан микрометра, в большие силы, действующие на предмет; во-вторых, точность микрометра обычно на порядок выше точности штанген­ циркуля и небольшие деформации предмета становятся более заметными. Чтобы уменьшить ошибку, связанную со слишком сильным (и неодинаковым в разных опытах) сжатием изме­ ряемых предметов, рукоятка микрометра снабжена специальной головкой (а на рис. 11), позволяющей создавать при измерении небольшое постоянное в разных опытах давление на измеряемый объект.

Ознакомившись с устройством микрометра И штангенциркуля, измерьте с их помощью линейные размеры трех-четырех различных тел правильной формы (параллелепипеды, цилиндры и т. д.). Измерение каждого параметра (длины, высоты, диаметра) проведите на 5-f-lO различных участках тела. Сравните результаты, полученные при измерениях микрометром и штангенциркулем. Лежит ли расхождение результатов в пределах ошибок опыта? Совпадают ли между собой — в пределах ошибок опыта — изме­ рения одного и того же размера тела, произведенные на разных его участках? Вычислите объемы промеренных тел и оцените точ­ ность полученного результата. При вычислениях следует иметь в виду, что погрешности возникают как из-за несовершенства измерительного прибора, так и вследствие не вполне правильной формы измеряемых тел. Измерения одного и того же размера тела, проведенные на различных его участках, лучше всего при вычисле­ нии усреднять (см. Введение). Рекомендуем читателю подумать над тем, как можно установить, что отклонения формы измеряемых тел от правильной носят случайный или, наоборот, регулярный характер (т. е., например, является измеряемый цилиндр дей­ ствительно цилиндром или усеченным конусом, и т. д.). При

обдумывании этого вопроса полезно еще раз обратиться к Вве­ дению.

Измерение объемов твердых тел с помощью мерного стакана. Измерьте объемы нескольких твердых тел при помощи мерного стакана (мензурки). Для этого привяжите к измеряемому телу тонкую проволоку или нитку и погрузите его в наполненный водой (не доверху!) мерный стакан. По изменению уровня воды в стакане определите объемы тел. Оцените точность проведенных измерений. Зависит ли эта точность от объема исследуемого тела, от наклона стакана, от того, смачиваются ли водой стенки стакана и поверх­ ность тела? При измерениях следует иметь в виду, что стаканы кали­ бруются довольно грубо.

Проверить точность калибровки можно следующим простым способом. Измерив при помощи мерного стакана объемы двух (или нескольких) тел порознь, погрузите их затем в стакан одновременно и проверьте, равен ли (в пределах точности опыта) суммарный объем этих тел сумме их объемов. Такой метод позволяет, конечно, про­ контролировать только одинаковость делений мерного стакана, но не цену каждого деления. Для проверки цены деления можно вос­ пользоваться одним из тел, объемы которых известны из первого упражнения.

Технические весы. В следующем упражнении нам придется применять при измерениях технические весы. Познакомимся по­ этому с их устройством. Устройство технических весов в основных чертах совпадает с устройством аналитических весов, изображенных на рис. 12. Отличие заключается в том, что технические весы имеют более грубую, массивную конструкцию. У технических весов отсут­ ствует штанга, передвигающая рейтер, сам рейтер и защитный стеклянный ящик.

Основной частью весов является подвижное коромысло К , к концам которого на призмах ММ подвешены чашки ЧЧ. Приз­ мой О коромысло опирается на подушку Я, укрепленную на ко­ лонке Б. В нерабочем состоянии весы необходимо арретировать. Арретирование достигается поворотом ручки А. При этом подушка Я опускается и коромысло ложится на колонку Б, а чашки — на подставку весов, и все опорные призмы и подушки освобождаются от нагрузки.

положение установочными винтами ВВ.

Работа на весах требует осторожности. Не следует двигать весы

тельно арретировать. Изменение нагрузки на чашках также про­ изводится при арретированных весах. Арретировать весы нужно плавно, без толчков.

Другим «врагом» точного взвешивания является грязь. Весы должны содержаться в «хирургической» чистоте: нельзя взвешивать

48 I. ОЗНАКОМЛЕНИЕ С МЕТОДАМИ ФИЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

грязные предметы, разновески надо брать не руками, а специальным

пинцетом и т. д.

При работе на весах рекомендуется придерживаться следующего

порядка:

1. Проверьте горизонтальность положения весов. Проверка про­ изводится по отвесу на колонке весов или с помощью уровня.

Рейтер

Рис. 12. Схема устройства аналитических весов.

2.Освободите весы от арретира (ручка А на рис. 12). В исправ­ ных весах коромысло (а значит,' и стрелка С) после освобождения начинает плавно качаться около положения равновесия (положение равновесия может и не совпадать с нулевым делением шкалы).

3.Определите нулевую точку весов, т. е. то деление шкалы, которое соответствует положению равновесия. Положение равно­ весия нужно определить при качающемся коромысле весов, когда сухое трение меньше всего искажает результаты опыта. Это делается следующим образом. Пусть при первом колебании вправо стрелка С достигла деления шкалы пъ при первом колебании влево — деле­ ния п2, при втором колебании вправо п3 и т. д. Тогда (подумайте,