книги из ГПНТБ / Руководство к лабораторным занятиям по физике учеб. пособие

20 ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ. СОВЕТЫ И УКАЗАНИЯ

известную цифру. Никаких следующих цифр (которые могут возни­ кать при вычислениях) писать ни в коем случае не следует.

Приведем пример: пусть при проверке массы двухграммовой гири оказалось, что ее масса равна 2 г. И пусть эта проверка про­ изводилась один раз с точностью 1 мг, другой раз с точностью 10, третий раз — 100 мг. Результат опыта следует записать в первом случае 2,0000 ±0,0010 г, во втором 2,000 ±0,010 г и в третьем 2.00 ± 0 ,1 0 г. Другой пример: при взвешивании вагона на желез­ нодорожных весах оказалось, что его масса равна 68 т (±0,5 т). Не следует писать, что масса вагона равна 68 000 кг, так как это означало бы, что последние три цифры (или по крайней мере две из них) действительно являются нулями, в то время как о них ничего сказать нельзя. Следует поэтому писать 68 т или, лучше, 68.0 т, или 6,80 ПО4 кг, или, наконец, 0,680-ІО8 г, но не 68 000 кг и не 68 000 000 г и т. д.

Во многих случаях предпочитают указывать величину ошибки в процентах от измеренной величины. Вес двухграммовой гири

Погрешность, выраженная в долях измеряемой величины, носит

При рассмотрении погрешностей измерений мы до сих пор огра­ ничивались случаями, когда интересующая нас физическая вели­ чина непосредственно получалась в результате измерения. Это не всегда имеет место. Так, для измерения плотности чаще всего изме­ ряют массу тела М и его объем V, а саму величину плотности р находят путем вычисления

Как найти ошибку в измерении р, если ошибки измерения М и V известны? Как вычислить ошибку в других подобных случаях? Ответ на этот вопрос снова дает теория вероятностей; мы приведем его здесь без вывода.,

Наилучшее значение х находится при этом путем сложения наилуч­ ших значений А, В, ... по формуле (В.10), а стандартная ошибка х, которую мы будем обозначать ах, связана со стандартными ошиб­

Стандартные отклонения аА, ап и т. д. могут быть при этом либо получены из опыта (если значения А, В и т. д. непосредственно измерены), либо найдены путем вычисления (если значения А, В, ...

сами получены в результате расчетов).

II с л у ч а й . Пусть искомая величина х связана с другими величинами А, В, С и т. д. с помощью формулы

где а, ß, у — любые числа, целые или дробные, положительные или отрицательные. Теория вероятностей показывает, что наилучшее значение х снова вычисляется с помощью (В. 12) через наилучшие значения А ср, Вср, Сср и т. д., т. е.

а ошибка измерения находится по формуле

Как и в первом случае, при этом безразлично, получены величины оА, ов и т. д. прямо из опыта или найдены путем расчета из других, уже непосредственно измеренных величин.

Рассмотрим в качестве примера формулу (В.9) для нахождения плотности р. С помощью (В. 14) находим

Заметим, что формулы (В.11) и (В.14) очень похожи одна на другую: складываются всегда квадраты ошибок. Но в том случае, когда искомая величина получается из измеренных путем суммиро­ вания или вычитания, складывать следует квадраты абсолютных ошибок ад, ов и т. д., а когда искомая величина является про­ изведением или частным непосредственно измеренных, — суммиру­ ются квадраты относительных ошибок оJ A , ав/В и т. д.

О б щ и й с л у ч а й . Укажем для справок общую формулу для вычисления погрешностей. Пусть искомая величина х является

и т. д., а оа, aß и т. д. — стандартные отклонения для величин А, В, С, ... Частные производные вычисляются при наилучших зна­

чениях А, В, С и т. д.

Точность вычисления погрешностей. Как уже было выяснено выше, стандартное отклонение о или полная ошибка АП0Лн характе­ ризуют реальные ошибки опыта лишь по порядку величины. При вычислении о и Аполн достаточно поэтому производить расчеты с точностью 10—20%. Более точное вычисление погрешностей не имеет никакого смысла и потому само является ошибкой.

Формулы (В.11), (В.14) и (В.17) позволяют не только правильно оценить погрешности опыта, но и правильно построить измерение.

Рассмотрим два примера. Для определения удельного веса изме­ ряется объем и вес тела. Погрешности опыта вычисляются в этом случае по формуле (В. 15). Пусть тело имеет массу 50 г, объем 25 см3 и обладает неправильной формой. Для измерения объема поместим его в мензурку с водой. Пусть объем воды, вытесненный телом, определяется при этом с точностью 0,5 см3, т. е. оѵ/Ѵ = = 0,5/25 = 2%.

При идеально точном взвешивании погрешность в измерении

т. е. почти не изменится. Нет, следовательно, никакого смысла измерять вес тела с точностью лучше, чем 1 %, т. е. с ошибкой меньше 0,5 г. Измерять вес с помощью хороших аналитических весов было бы в этом случае напрасной тратой времени.

Другой пример. Измерим толщину стенок тонкостенной трубки большого диаметра. Можно измерить толщину стенок трубки непо­ средственно. Это нетрудно сделать микрометром с точностью 0,01 мм. Точность измерения стенки, имеющей толщину 0,5 мм, будет в этом случае равна 2%.

Можно попытаться измерить наружный диаметр трубки, затем ее внутренний диаметр и определить толщину стенки путем вычи­ тания. Легко видеть, однако, что такой способ совершенно непри­ годен для измерений. Прежде всего, наша тонкостенная трубка вряд ли является вполне круглой. Достаточно измерить внешний диаметр трубки в одном направлении, а внутренний — в другом, чтобы получить для толщины стенки, может быть, даже отрица­ тельные значения. Пусть, однако, трубка оказалась идеально круг­ лой. Обычные микрометры не позволяют измерять размеры, пре­ восходящие 25 мм, и не приспособлены для измерения внутренних диаметров. Если же измерять диаметры штангенциркулем, ошибка будет составлять не 0,01 мм, а несколько сотых, возможно 0,1 мм, и мы снова получим грубо неверный ответ.

Пусть, наконец, мы разыщем прибор, позволяющий измерять наружные и внутренние размеры с точностью до 0,01 мм. Ошибка

лабораториях. Полезно убедиться в том, что применяемые в опыте соединительные провода не вносят в результат' сколько-нибудь существенных ошибок, и т. д.

Сделаем несколько замечаний о погрешностях электроизмери­ тельных приборов.

Точность электроизмерительных приборов обычно определяется путем сравнения с эталонными приборами. Если эталонных прибо­ ров под рукой нет, погрешность приборов можно оценить с помощью простых контрольных опытов, например, включая в одну цепь два или три амперметра последовательно или несколько вольтметров параллельно. Трудно предположить, что все приборы имеют вполне одинаковые ошибки, расхождение их показаний служит поэтому хорошей мерой точности.

Все электроизмерительные приборы снабжаются указателем «класса точности» (цифра в кружке на шкале прибора). Класс точ­ ности определяется максимальной ошибкой прибора, выраженной в процентах от полной величины шкалы. Так, амперметр класса 1,5 с полной шкалой 1 А измеряет протекающий через него ток с ошиб-

кой, не превосходящей 15 1А = 15 мА. Легко видеть, что ошибка

15 мА составляет небольшую долю от измеренного тока лишь при измерении токов порядка ІА, т. е. при отклонении стрелки на всю шкалу. При отклонении стрелки на Ѵ2 шкалы ошибка составит уже 3% от измеряемой величины, а при измерении еще меньших токов может составить 10% или даже 20% от величины измеряемого тока. Поэтому если нужно произвести измерения с хорошей точ­ ностью, рекомендуется выбирать такой прибор, на котором измеряе­ мый ток вызовет отклонение больше чем на половину шкалы.

Приведенный способ определения ошибки прибора по его классу точности оговорен государственными стандартами и указывает ве­ личину максимальной погрешности, с которой прибор может быть выпущен с завода. Практически погрешности приборов всегда оказываются несколько меньше. Более того, обычно можно счи­ тать, что класс точности определяет ошибку не в долях полной шкалы, а в долях измеренного тока. Таким образом, при измерении тока величиной 0,5 А практически можно считать, что ошибка

Приведенное практическое правило позволяет оценивать ошибки электроизмерительных приборов при всех отклонениях, за исклю­ чением слишком малых (менее х/5 части шкалы), когда никаких разумных правил не существует (гарантированная стандартом ошибка намного превосходит реальную, а практическое правило становится ненадежным).

Система контрольных опытов, которая должна сопутствовать измерениям, сильно зависит от рода физического эксперимента, от

26 ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ. СОВЕТЫ И УКАЗАНИЯ

точности, с которой необходимо произвести измерения, от имею­ щейся аппаратуры и от ряда других причин. В каждой работе эти опыты изменяются. В первых работах практикума контрольные опыты чаще всего будут предлагаться в самих описаниях, в даль­ нейшем придумывание и описание этих опытов будет постепенно перекладываться на плечи студентов. Следует помнить, что без контрольных опытов (хотя бы самых простых) достоверных ре­ зультатов получить нельзя.

В заключение укажем еще один вид систематических ошибок: систематическую ошибку отсчета на глаз. На глаз часто прихо­ дится оценивать доли деления шкалы приборов. Опытный экспери­ ментатор делает такие отсчеты с точностью до десятой доли деления. При этом возникают ошибки, как случайные (один раз 0,4 прини­ мается за 0,3, а другой раз — за 0,5), так и систематические (многие наблюдатели 0,2 всегда принимают за 0,1 или 0,8 за 0,9). Величина случайной и систематической ошибок сильно зависит от навыка

в обращении с приборами. Всякий опытный экспериментатор знает,

скакой точностью он умеет работать. Студент должен приобретать навык в отсчете на глаз и изучать совершаемые им при этом ошибки.

§ 7. Средние величины

Выше были рассмотрены случаи, когда случайные ошибки опыта приводят к разбросу результатов измерения вокруг истинного зна­ чения. При этом было выяснено, что наилучшим значением изме­ ряемой величины является среднее (арифметическое), вычисленное из результатов измерения. Не всегда, однако, разброс результатов связан с ошибками измерения. Пусть, например, мы хотим изме­ рить диаметр проволоки, сечение которой не является вполне точ­ ным кругом или толщина которой несколько меняется по длине. Разброс результатов связан в этом случае не с погрешностями из­ мерения, а с несовершенством формы проволоки. Имеет ли в этом случае смысл вычислять средние значения, например средний диа­ метр проволоки?

Рассмотрим кусок проволоки, состоящий из двух участков, слегка отличающихся по диаметру. Пусть диаметр левого участка проволоки равен 10,0, диаметр правого участка равняется 10,2 мм, а длины участков равны 5 см. Объем проволоки V равен, очевидно,

V = y^hiD l + 1linh2D\ —Ѵ4я • 5 • (1,002 + 1,022) см3.

Будем измерять диаметр проволоки штангенциркулем. В ре­ зультате измерения будут получаться разные цифры: то 10,0 мм, то 10,2 мм. Мы можем не обратить внимания на то, что результат 10,0 мм получается всегда при измерениях на левом конце, а ре­ зультат 10,2 мм — при измерениях на правом конце проволоки, и приписать разброс результатов случайным ошибкам опыта. Мы

будем считать в этом случае, что проволока имеет всюду одинаковое сечение, и вычислим ее средний диаметр dc? — 10,1 мм. При этом объем проволоки Ѵх окажется равным

Ѵ1 = 1/4л ■10 (1,01)2. ' Сильно ли мы ошибемся? Заметим, что

(1,00)2 + (1,02)2 = 2,0404, 2(1,01)2 = 2,0402.

Расхождение составляет, таким образом, всего 0,01%!

Пусть измерения диаметра производились при этом с точностью 0,05 мм. Применяя формулу (В. 14), найдем, что погрешность в из­ мерении V равна

АѴ/Ѵ = 2M/d = 2 • 0,05/10 = 1 %.

Наше расхождение лежит, следовательно, в существенно более далеких знаках, чем ошибка опыта, и не играет никакой роли. Расхождение наших результатов станет существенным только в том случае, если измерения диаметра сделаны с точностью х/2 -0,01 % = = 0,005%, т. е. с точностью 0,0005 мм. Ступенчатая форма про­ волоки при такой точности измерений, конечно, обязательно будет обнаружена.

Пусть теперь тонкий участок проволоки имеет длину 2 см, а толстый участок — длину 8 см. Истинный объем проволоки равен

V = y tn [2- 1,002 + 8- 1,022] = Ѵ4я10,3232 см3.

Предположим теперь, что при измерениях наличия ступеньки не было обнаружено. Если измерения проводить достаточно много раз по всей длине проволоки, то результат 10,2 мм будет встречаться в 4 раза чаще, чем 10,0, и среднее значение диаметра окажется рав­ ным 1/&(1 -10,0 + 4 *10,2) = 10,16 мм.

Для объема проволоки найдем при этом

Ѵх = 1/Іп • 10 • (1,016)2 = 74л • 10,32256 см3.

Расхождение между результатами составляет в этом случае 0,006%, что снова существенно меньше погрешности измерений.

Мы приходим, таким образом, к неожиданному выводу. Во многих случаях (практически почти всегда) при не очень большом разбросе результатов нет нужды устанавливать, в чем лежит при­ чина разброса: в неточности измерений или в несовершенстве изме­ ряемого объекта. В обоих случаях усреднение результатов приводит нас к правильному ответу.

Сформулированный выше вывод справедлив, конечно, только в том случае, если методика измерений является правильной. В на­ шем случае следует промерять диаметр проволоки равномерно по

28 ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИИ. СОВЕТЫ И УКАЗАНИЯ

всей ее длине. Измерения одного правого или одного левого конца немедленно приведут к ошибочному результату.

Как мы видели выше, усреднение результатов является полез­ ным методом, позволяющим существенно улучшить точность ре­ зультатов. Не всякое, конечно, усреднение имеет смысл. Полезно вычислить средний диаметр почти однородной проволоки, но не имеет никакого смысла вычислять средний диаметр мотков прово­ локи, имеющихся на складе, или средний вес гирь разновеса.

§ 8. Графические методы обработки результатов

Очень важным методом обработки результатов опыта является

представление их в виде графика.

Вернемся к примеру об измерении термического коэффициента

Как определить а из этих данных?

Для определения двух неизвестных а и R0, входящих в фор­ мулу (В. 18), достаточно измерить сопротивление при двух какихнибудь температурах. Измерения, сделанные при трех темпера­ турах, приводят к трем уравнениям, из которых нужно определить два неизвестных. Из-за неизбежных ошибок опыта эти три урав­ нения обычно оказываются несовместными. А у нас имеется 11 из­ мерений. Что же с ними делать? Прежде всего ясно, что несовмест­ ность наших 11 уравнений является кажущейся и произошла из-за ошибок опыта. При обработке результатов ошибки опыта следует по возможности исключить. Искомое значение а должно учитывать не какие-то два, а всю совокупность данных, т. е. нужно найти такое значение а, которое лучше всего удовлетворяет всем имею­ щимся экспериментальным данным.

Формулы, позволяющие решить эту задачу, довольно сложны, и мы рассмотрим их в приложении IV. Здесь мы укажем графиче­ ское решение задачи.

Приведенные в таблице экспериментальные данные изображены на рис. 4 крестами, размер которых определяет величину стандарт­ ной ошибки измерения температуры (по горизонтали) и сопроти­ вления (по вертикали).

Масштаб графика выбран так, чтобы получить примерно равные размеры по длине и высоте. Рассмотрение результатов, прежде всего, показывает, что при температуре 40° С величина сопротивле­ ния, по-видимому, измерена неверно. Эту точку следует переме­ рить. Ошибку можно было бы найти и без графика при вниматель­ ном рассмотрении таблицы, однако на графике она проявляется значительно отчетливее. Желательно поэтому строить графики непосредственно во время ра­ боты. Если ошибка обнару­ жена слишком поздно, когда повторить измерения уже нельзя, точку нужно обяза­ тельно нанести на график, но не следует принимать во вни­ мание при обработке.

Теоретическая зависимость (В. 18) должна иметь на на­ шем графике вид прямой ли­ нии. Рассмотрение результа­ тов показывает, что точки до­ статочно хорошо (в пределах ошибок опыта) ложатся на прямую, изображенную на рис..4. Проводить прямую сле­ дует так, чтобы она лежала

возможно ближе к точкам и чтобы по обе ее стороны оказывалось приблизительно равное их количество. Величину а следует опреде­ лить, исходя из наклона проведенной прямой. Решение задачи о том, как это лучше сделать, мы предоставляем читателю.

Нахождение температурного коэффициента сопротивления а с помощью графика является одним из способов решения задачи об одновременном использовании всех имеющихся эксперименталь­ ных данных. Это решение имеет существенные преимущества перед расчетными методами. При построении графика мы смогли быстро обнаружить ошибку и исключили ее влияние на результат. Пост­ роение графика убедило нас в том, что наши данные не противоре­ чат структуре формулы (В. 18), предсказывающей прямолинейный вид зависимости R от t. Наконец, мы смогли без сложных вычисле­ ний определить значение а (наклон кривой), учитывающее одно­ временно всю совокупность экспериментальных данных.

Обработка данных с помощью графика рис. 4 существенно облегчилась благодаря тому, что искомая зависимость имеет