книги из ГПНТБ / Руководство к лабораторным занятиям по физике учеб. пособие

всего использующий всю полученную информацию и, по возмож­ ности, простой и наглядный. Поскольку математический уровень студентов, заканчивающих физический практикум, неизмеримо выше уровня новичка-первокурсника, методы обработки результатов при­ шлось изложить дважды: в начале книги и в приложении IV, с кото­ рым следует ознакомиться' перед практикумом по ядерной физике.

Работы, описанные в Руководстве, задуманы и поставлены не только нами. Мы выражаем искреннюю благодарность заведующе­ му Кафедрой общей физики С. П. Капице, заведующему Физи­ ческим практикумом Московского физико-технического института

В.Е. Скороварову, сменившему на этом посту безвременно умершего

К.А. Рогозинского. Мы благодарны всем преподавателям и сот­ рудникам Кафедры общей физики МФТИ, вложившим свой труд в постановку лабораторных задач.

Мы рады случаю с признательностью отметить труд О. И. Замша, которая прочла книгу в рукописи и сделала ряд важных замечаний, и работу Т. Л. Шерман, потратившей много сил на подготовку рукописи к печати.

Авторы

В В Е Д Е Н И Е

ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ. СОВЕТЫ И УКАЗАНИЯ

§ 1. Измерения и погрешности измерений

Физика — наука экспериментальная. Это означает, что физи­ ческие законы устанавливаются и проверяются путем накопления

опыте основные физические явления, воспроизвести их самому и научиться правильно анализировать.

Физика — наука количественная. Результаты физических экспе­ риментов представляются чаще всего набором некоторых чисел. Выведенные в результате исследований физические законы форму­ лируются в виде математических формул, связывающих между собой числовые значения физических величин.

Цель физического практикума заключается в том, Чтобы научить правильно измерять числовые значения физических величин и пра­ вильно сопоставлять их с формулами. Эта простая на первый взгляд задача оказывается на самом деле далеко не простой.

Разберем следующий пример. Возьмем две пластины А и В и взвесим их сначала порознь, а потом вместе. Пусть масса пласти­ ны А равна М А, масса пластины В равна Мв и масса обеих пластин

Попробуем подтвердить эту формулу на опыте. Пусть взвешивание (на технических весах) пластины А дало 11,8 г, пластины В дало 8,7 г, а обеих пластин вместе — 20,4 г. В этом случае М А + М в = = 20,5 г, в то время как М А+В = 20,4 г. Таким образом, М А + М в почти равно, но все-таки не вполне точно равно М А+В. Заранее нельзя сказать, с чем связано наблюденное расхождение: с ошиб­ ками взвешивания или с неточностью формулы (В.1).

Чтобы определить в чем тут дело, заменим технические весы аналитическими и произведем более точные измерения. Измерения

не десятые, а тысячные доли грамма, но не перестает существовать.

12 ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ.'СОВЕТЫ И УКАЗАНИЯ

Чтобы разобраться в причинах расхождения, произведем не­ сколько измерений массы пластины А и найдем, что в разных изме­ рениях она оказывается разной: один раз 11,824 г, другой раз 11.823 г, а в третий раз даже 11,827 г. Неточность весов (и методов взвешивания) вызывает, таким образом, разброс в измеренных значениях, составляющий 1 -ь 2 мг. Обнаружив это, мы вынуж­ дены будем сделать еще один вывод: даже если измерение приведет к точно одинаковым значениям М А + М в и М А+В, мы не можем быть вполне уверены в том, что это совпадение является истинным, а не представляет собой случайную игру ошибок...

Вернемся теперь к формуле (В.1). Подтвердили ли мы ее с помо­ щью наших опытов или опровергли? Ясно, что мы еще не имеем ответа на этот вопрос. (Заметим, что справедливость формулы (В.1) не так «самоочевидна», как кажется на первый взгляд. Мало того, теория относительности утверждает, что эта формула попросту неверна. Различие между левой и правой частями (В.1) лежит, правда, в нашем случае в очень далеких знаках и не может быть обнаружено с помощью обычных весов.)

Попробуем сформулировать некоторые выводы.

Физические формулы (в нашем случае формула (В.1)) устанав­ ливают некоторые соотношения, которые ‘должны существовать между измеренными величинами. Проверка этих соотношений не может быть проведена с абсолютной точностью, так как экспери­ ментальные результаты всегда содержат некоторые ошибки, свя­ занные с условиями опыта, с несовершенством методов измерения и физических приборов. Возможные ошибки опыта играют карди­ нальную роль при сравнении результатов с теоретическими фор­ мулами.

Вернемся к рассмотренному выше случаю:

МА + МВ = 20,507 г, Мл+Д = 20,504 г.

Пусть, например, наш результат получен при точном взвеши­ вании на хороших весах, гарантирующих ошибку меньше 0,5 мг. В этом случае следует утверждать, что формула (В.1), несомненно, является ошибочной. Если же погрешность весов составляла не 0,5 мг, а, например, 5 мг, то мы скажем, что измерения не дают оснований сомневаться в справедливости (В.1).

Итак, один и тот же результат измерений при разной точности опытов приводит к совершенно противоположным выводам. Ясно поэтому, что результат измерений не может записываться в виде одного-числа: М А = 11,824 г, а должен, кроме того, содержать оценку возможных погрешностей. Грамотная запись результатов измерений имеет вид М А = 11,8240 ± 0,0005 г в первом и М А = = 11,824 ± 0,005 г во втором случае. Эга запись означает, что в результате измерений для массы пластины А получено значение 11.824 г и что истинное значение этой массы вряд ли отлича­

ется от измеренного больше, чем на величину порядка 0,5 мг или соответственно 5 мг.

Из рассмотренного примера видно, что умение оценивать погреш­ ности опытов столь же существенно, как и умение находить в ре­ зультате измерений достаточно близкие к истине результаты.

§ 2. Случайные и систематические погрешности

Ошибки, возникающие при измерениях, делятся на два больших класса: погрешности случайные и погрешности систематические. Для уяснения разницы между ними вернемся к нашему примеру со взвешиванием. При взвешивании разновес кладется обычно на правую чашку весов, а взвешиваемое тело — на левую. Правое и левое плечи весов не могут быть сделаны, конечно, в точности оди­ наковыми. Разница в длине плеч искажает результаты измерений и притом всегда одинаковым образом. Ошибки, сохраняющие ве­ личину и знак от опыта к опыту, носят название систематических.

К систематическим ошибкам принадлежат ошибки, связанные с неравноплечестью весов, с неправильным весом гирь, с неточной раз­ бивкой шкалы измерительных линеек и т. д.

Неравноплечесть весов и ошибки в калибровке гирь представ­ ляют собой не единственные причины погрешности взвешивания. Коромысло весов качается с некоторым трением. Поэтому даже при неизменной нагрузке весов оно останавливается не всегда в одном и том^же месте, а в разных местах, лежащих в области, размер которой определяется силой трения. Ошибки в этом случае от опыта к опыту не повторяются. Случайными ошибками назы­ ваются ошибки, которые непредсказуемым образом изменяют свою величину (и знак!) от опыта к опыту. Бывают случаи, когда слу­ чайные ошибки эксперимента не вызываются дефектами аппара­ туры, а лежат в существе изучаемого явления. Известно, напри­ мер, что интенсивность космического излучения на уровне моря (число космических частиц, падающих в минуту на каждый квад­ ратный сантиметр поверхности) составляет около 1 частица/см2 -мин. Будем измерять интенсивность излучения в течение ряда проме­ жутков по 1 минуте с помощью счетчика, имеющего площадь 20 см2. В этом случае количество отсчетов будет только в среднем рав­ няться 20 в минуту. В одних измерениях при этом мы будем полу­ чать 18, 17 или даже 12 отсчетов, в других — 23, 25, 27 отсчетов. Отклонение измеренного числа отсчетов от 20 носит в этом случае чи­ сто случайный характер и связано с характером изучаемого явления.

Разделение ошибок на случайные и систематические чаще всего не лежит в природе самих этих ошибок, а связано с методом изме­ рений, с применяемой аппаратурой. При измерении длины с по­ мощью линейки неточность нанесения штрихов на линейке прояв­ ляется всегда одинаково и носит характер систематической ошибки.

14 ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ. СОВЕТЫ И УКАЗАНИЯ

То обстоятельство, что попавшая в наши руки линейка имеет именно такие, а не какие-либо другие ошибки, связано при этом чаще всего со случайными погрешностями, возникающими при изго­ товлении линеек. Если мы будем производить измерения с по­ мощью нескольких линеек (лучше всего, изготовленных на раз­ ных фабриках), то ошибки, связанные с неточностью шкал, будут иметь разную величину и знаки и превратятся в случайные ошибки.

Из сказанного не следует, конечно, делать вывод, что раз­ личие между систематическими и случайными ошибками явля­ ется несущественным. Во всяком данном опыте эти ошибки резко отличаются друг от друга и ни в коем случае не должны сме­ шиваться. .

Легко видеть, что влияние случайных ошибок на результат измерений может быть существенно уменьшено при многократном повторении опыта. Трение коромысла весов приводит к тому, что в одних опытах для веса тела получаются завышенные значения, а в других — заниженные. Произведя измерения несколько раз и вычислив среднее значение веса тела, можно существенно улуч­ шить точность измерений, так как преувеличенные и преуменьшен­ ные значения будут встречаться одинаково часто и почти скомпен­ сируют друг друга.

Уменьшить вклад систематических ошибок путем повторения опыта, конечно, нельзя. Для этого нужно усовершенствовать прибор (например, уменьшить неравноплечесть весов) или изменить методику измерений (взвешивать, например, тело

шего качества, производить взвешивание с более точным раз­ новесом и т. д.).

§ 3. Вычисление погрешностей. I

Будем сначала предполагать, что приборы не вносят заметных систематических ошибок в результаты измерений, так что все ошибки можно считать случайными. Как было выяснено выше, прежде всего следует произвести измерения несколько раз, чтобы ошибки в сторону преувеличения и в сторону преуменьшения ре­ зультата встретились достаточное число раз и могли скомпенсиро­ вать друг друга. Пусть в результате измерений получено п, вообще говоря, разных-значений измеряемой величины аи а2, •••> При обработке полученных результатов возникают два вопроса: 1) как сконструировать из полученных значений наиболее вероятное зна­ чение измеряемой величины и 2) чему равна ожидаемая ошибка измерений? Ответ на эти вопросы дается теорией вероятностей. Мы здесь приведем его без вывода.

Наиболее вероятное значение аср измеряемой величины а равно среднему арифметическому значений, найденных в результате изме­ рений:

Физический смысл формулы (В.2) очевиден. При вычислении сред­ него арифметического ошибки в сторону преувеличения и преумень­ шения результата наилучшим образом компенсируют друг друга.

Обратимся теперь ко второму вопросу: к оценке ошибок изме­ рений. Не следует думать, что ошибки измерений могут быть най­

число случаев, когда ошибка попала в данный интервал. По­

фики называют гистограммами) с максимумом в области неболь­ ших ошибок (чем ошибки больше, тем они обычно встречаются реже; очень большие ошибки при разумной постановке опыта про­ исходят крайне редко или никогда не встречаются). Высота кривой, а следовательно, и площадь, расположенная под кривой, для каж­ дого интервала ошибок пропорциональны числу случаев, в которых данная ошибка наблюдалась. Гистограмма рис. 1 может служить для выяснения и более сложных вопросов. Можно, например, выяснить число случаев, когда ошибка лежит в I и —I интерва­ лах. Легко видеть, что это число определяется площадью, заклю­ ченной под кривой на участках I и —I. Число случаев, когда ошибка выходит за пределы I и —I интервала, равна площади всей гисто­ граммы, за вычетом площадей, принадлежащих участкам I и —I и т. д.

16 ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ. СОВЕТЫ И УКАЗАНИЯ

Будем теперь увеличивать число измерений и соответственно уменьшать ширину интервалов разбиения оси абсцисс. Гистограмма рис. 1 будет при этом стремиться к плавной кривой. Форму гисто­ граммы, получаемой при небольшом числе опытов, нельзя предска­ зать заранее. Но теория вероятностей позволяет вычислить форму предельной гладкой кривой, к которой стремятся гистограммы при неограниченном увеличении числа опытов. Эта предельная кривая носит название кривой Гаусса (рис. 2). Ее аналитическое выраже­ ние приведено в приложении IV. Кривая Гаусса имеет вид коло­

под соответствующим участком кривой. Проведем на рис. 2 на оди­ наковых расстояниях от оси ординат две вертикальные прямые так, чтобы между ними уместилось 68% площади, заключенной под всей сплошной кривой. Эти прямые отсекают на оси ошибок от­ резки —о. Найденная таким образом величина <т ндсит название с т а н д а р т н о г о о т к л о н е н и я или с т а н д а р т н о й о ш и б к и. Как это ясно из построения, в 68 случаях из 100 фак­ тическая ошибка опыта окажется меньше, а в 32 случаях — больше чем стандартная ошибка. В качестве ожидаемой ошибки опыта принято указывать именно величину стандартного отклонения.

.заметим для справок, что ошибки опыта в 95% случаев лежат в интервале±2а и в 99,7% случаев не превосходят ± 3 а . Иногда этот результат выражают другими словами: говорят, что с вероятностью 68/о. величина ошибки лежит в интервале ± а , с вероятностью

18 ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ. СОВЕТЫ И УКАЗАНИЯ

Эта ошибка определяет пределы, внутри которых измеряемая ве­ личина лежит с вероятностью 50% (в 50% случаев). В настоящее время для определения погрешности измерений почти исключи­ тельно пользуются стандартной ошибкой о.

На первый взгляд может показаться, что при беспредельном увеличении числа измерений ошибка опыта может быть сделана сколь угодно малой. Это, конечно, не так. Сколь угодно малыми могут быть сделаны только случайные ошибки опыта, но отнюдь не систематические ошибки, которыми мы до сих пор пренебрегали. Сколько бы мы ни делали измерений неверно сделанной линейкой, точного результата при этом получить нельзя. А ведь всякая ли­ нейка изготовлена не вполне точно!

Из сказанного следует, что вопрос о количестве измерений, которые нужно произвести, должен быть тщательно обдуман. Никогда не следует ограничиваться однократным измерением. Всегда нужно сделать повторное контрольное измерение. Если результаты измерений совпали, на этом обычно следует остано­ виться. Если же между результатами обнаружилось различие, измерения нужно произвести еще 2—3 раза, чтобы понять в чем тут дело: в том, что одно из измерений было произведено непра­ вильно, или в том, что результаты измерений расходятся из-за слу­ чайных ошибок. В первом случае нужно просто вычеркнуть невер­ ное измерение, а во втором следует попытаться понять причину расхождения результатов. Если эта причина может быть устранена путем регулировки прибора (смазки трущихся частей, устранения люфтов и т. д.), это обязательно нужно сделать. Если же устранить причину расхождения результатов не удается, то следует предпри­ нять целую серию повторных измерений с тем, чтобы сделать слу­ чайную ошибку достаточно малой (меньше систематической или меньше, чем допустимая ошибка при необходимой в данной работе точности измерений).

Математических формул, позволяющих определить системати­ ческие ошибки, не существует. Никакие формулы не могут, напри­ мер, предсказать, насколько точно сделан купленный вами разно­ вес. Систематическую ошибку следует оценивать исходя из разных соображений: из сравнения прибора с прибором лучшего качества (эталоном), из простого сравнения нескольких приборов (например, линеек), из технических или технологических соображений. Пре­ делы, в которых может быть заключена систематическая ошибка, иногда указываются на самих приборах (например, на электроизме­ рительных приборах).

Сделаем еще одно замечание. Систематическая ошибка прибора (например, неправильность разбивки шкалы линейки или ампер­ метра) является вполне определенной величиной, которая в прин­ ципе всегда может быть измерена путем сравнения с эталоном и учтена в виде поправки. Этого, однако, при обычных измерениях

не делают и оценивают величину систематической ошибки так, как если бы ее точную величину и знак узнать было невозможно. Погрешность измерений при этом несколько возрастает, но про­ должительность эксперимента существенно сокращается.

Более подробно к вопросу об определении систематических оши­ бок мы вернемся несколько позднее.

Будем теперь предполагать, что систематическая ошибка опыта Дсист из тех или других соображений получена. Заранее нельзя сказать, сложится эта ошибка со случайной ошибкой а или вычтется из нее. Можно, однако, утверждать, что полная ошибка измере­ ния Дполн, наверное, заключена в пределах | о — Дсист | sg Дполн ^ «с; о + Дсист. Естественно оценивать точность эксперимента и в этом случае

спомощью некоторой средней ошибки.

Втеории вероятностей показы­ вается, что ожидаемое среднее значение Дполн следует вычислять по формуле

Учет систематических ошибок опыта заставляет вместо (В.6) писать

В заключение укажем, что в реальных опытах систематическая ошибка чаще всего оказывается больше случайной. Из рис. 3 и из формулы (В.7) видно, что вклад случайной ошибки оказывается несущественным уже в том случае, если Дсист — 2а. В этих слу­ чаях не следует предпринимать многократных повторных измере­ ний, а в качестве полной ошибки Дполн нужно просто указывать величину систематической погрешности Дсист.

§ 4. Запись результатов опыта

Скажем несколько слов о записи результатов измерения. Нали­ чие ошибки Д определяет точность, с которой имеет смысл произ­

в этом случае производить с точностью до второго знака после запятой или максимум до третьего знака. При ошибке 0,070 послед­ ние две цифры числа 2,86745 не означают ровно ничего. Этих цифр не следовало поэтому ни писать, ни вычислять. Грамотная запись результата была бы 2,87 ± 0,07 или, быть может, 2,867 ± 0,070.

При записи результатов опыта следует писать все известные цифры (даже если они нули!) и одну лишнюю, не вполне точно