книги из ГПНТБ / Руководство к лабораторным занятиям по физике учеб. пособие

от многих факторов: от внутреннего трения жидкости, от формы тела, от характера обтекания и т. д. Стоксом было получено строгое решение задачи о ламинарном обтекании шарика безграничной жидкостью. В этом случае сила сопротивления F определяется формулой

где т] — коэффициент внутреннего трения жидкости, ѵ — скорость шарика, г — его радиус.

Гидродинамический вывод формулы Стокса довольно сложен. Мы ограничимся поэтому анализом задачи с помощью теории раз­ мерностей.

Прежде чем применять теорию размерностей, нужно на осно­ вании физических соображений и опыта установить, от каких параметров может зависеть сила сопротивления жидкости. В на­ шем случае, очевидно, такими параметрами являются г\, ѵ, г и плотность жидкости рж. Искомый закон следует искать в виде степенного соотношения

F — Лт]*г-ѵржУа,

где А — безразмерный множитель, а а, х, у и z — подлежащие определению показатели степени. Выбор показателей степени опре­ деляется из того требования, что размерности левой и правой частей должны совпадать х). Поскольку размерность выражения определяется степенями при длине, времени и массе, мы получаем три уравнения для нахождения четырех неизвестных а, х, у и г. Легко видеть, что поставленная таким образом задача однозначного решения не имеет. Опыт показывает, что при больших скоростях движения (точнее говоря, при больших числах Рейнольдса) сила сопротивления пропорциональна второй, а при малых скоростях (малых числах Рейнольдса) — первой степени скорости. При достаточно медленном движении, таким образом, а = 1. Прирав­ нивая показатели степени при массе, длине и времени в левой и в правой частях уравнения, получим

1 = х + 2 , 1 = — x + 1 + г/ —Зг, — 2 = — х — 1 ,

откуда

X — 1, у = 1, 2= 0.

Таким образом,

F = Ач\гѵ.

Безразмерный множитель А не может быть определен из сообра­ жений размерности; строгое решение задачи дает для этого мно­ жителя значение 6 я.

0 Размерность коэффициента внутреннего трения жидкости легко устано­

вить из формулы Ньютона Р = г\ 3 ^ ; она Равна [ML~lTЛ -

нам приходилось предполагать, что скорость движения «достаточно мала». Никакой численной оценки «малости» при этом не было и не могло быть получено. Вопрос о том, лежат ли наблюдаемые на опыте скорости в области применимости формулы Стокса, должен поэтому быть решен с помощью эксперимента. Коль скоро, однако, будет установлена применимость формулы, она может быть исполь­ зована для определения коэффициента внутреннего трения жид­

и сила сопротивления, зависящая от скорости.

Найдем уравнение движения шарика в жидкости. По второму

где V — объем шарика, р — его плотность, рж — плотность жид­ кости, а g — ускорение силы тяжести.

Решая это уравнение, найдем

Как видно из (3), скорость шарика экспоненциально прибли­ жается к установившейся скорости ѵусг. Установление скорости определяется величиной т, имеющей размерность времени и назы­ вающейся временем релаксации. Если время падения в несколько раз больше времени релаксации, процесс установления скорости можно считать закончившимся.

Измеряя на опыте установившуюся скорость падения шариков

следующей из (4).

Описание установки. Для измерений используется стеклянный цилиндрический сосуд, наполненный исследуемой жидкостью (гли­ церин, касторовое масло). Диаметр сосуда ~ 3 см, длина ^ 40 см (точные размеры указаны на установке). На стенках сосуда нане­

сены две метки на некотором расстоянии I друг от друга. Верхняя метка должна располагаться ниже уровня жидкости с таким рас­ четом, чтобы скорость шарика к моменту прохождения этой метки успевала установиться. Измеряя расстояние между метками с по­ мощью линейки, а время падения с помощью секундомера, опре­ деляют скорость шарика иуст.

Для измерений плотности жидкости используются весы Вест­

Плотность жидкости в этом случае равна 1,862 г/см3. Теорию весов Вестфаля студентам предлагается разобрать самостоятельно.

Весы являются тонким и чувствительным прибором и требуют осторожного обращения.

Радиусы шариков измеряются с помощью измерительного микроскопа МИР-1, снабженного поперечными микрометрическими салазками. Для каждого шарика рекомендуется измерить несколько различных диаметров и вычислить среднее значение. Такое усред­ нение целесообразно, поскольку в работе используются шарики, форма которых может несколько отличаться от сферической. Плот­ ность шариков р определяется из таблиц или находится по весу и объему.

144 III. МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

Опыты по определению коэффициента внутреннего трения жидкости проводятся при нескольких температурах в интервале

температуры служит термостат с контактным термометром. Термо­ стат представляет собой водяную ванну с двумя нагревателями, один из которых (более мощный) включается экспериментатором

цепь нагревателя Я2. При понижении температуры нагреватель вновь включается в сеть. Второй нагреватель Нх служит для быстрого нагрева термостата; при работе автоматического терморе­ гулятора его следует выключать. '

Настройка терморегулятора на требуемую температуру произ­ водится с помощью постоянного магнита, расположенного в головке контактного термометра. Вращая магнит в ту или иную сторону, приводят во вращение винт, перемещающий вольфрамовую нить в капилляре.

Для перемешивания и охлаждения воды ко дну термостата подведен шланг с воздухом. Воздух должен быть включен на все время работы термостата. Для контроля за температурами иссле­

дуемой жидкости и воды в термостате служат ртутные термо-' метры.

Опы'у по измерению скорости падения шариков следует про­ водить только после установления термического равновесия системы, когда показания обоих термометров не отличаются друг от друга и практически постоянны во времени. При измерениях скорости падения шариков термометр, измеряющий температуру исследуемой жидкости, вынимается.

При каждом значении температуры следует провести несколько измерений с шариками различных диаметров. Плотность жидкости измеряют для каждого значения температуры. По полученным

щий. Шарики с разными радиусами движутся в жидкости с раз­ ными скоростями и с разными временами релаксации. Если во всем диапазоне встречающихся в работе скоростей и времен ре­ лаксации вычисленные по формуле (5) значения г] оказываются одинаковыми, то формула (1 ) правильно передает зависимость

надежности эксперимента.

Результаты опыта имеет смысл обрабатывать лишь в том случае,

свлиянием стенок сосуда.

Вэтом случае вместо формулы (5) следует использовать более точную формулу

146 III. МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

не приниматься во внимание. При желании его можно

учесть *).

Полезно исследовать применимость формулы Стокса не только экспериментально, но и теоретически. При выводе формулы Стокса предполагалось, что обтекание шарика жидкостью имеет лами­ нарный характер. Как известно, характер обтекания определяется значением числа Рейнольдса

Обтекание является ламинарным лишь при не очень больших значениях Re (<10). По результатам опыта следует вычислить числа Рейнольдса для разных размеров шариков и различных температур жидкости. Полезно также вычислить время релак­ сации т и путь релаксации s, который может быть найден посред­ ством интегрирования (3). Полагая для простоты ѵ (0) ~ 0 (что обычно выполняется с достаточной точностью), получим

(7)

Из формулы (7) легко найти, что s тоуст при t т.

Последнее неравенство определяет допустимое расстояние между границей жидкости и верхней меткой. Рекомендуется проверить, насколько хорошо это неравенство выполнено в условиях опыта.

Измерения. 1. Отберите 15-4-20 шариков различного размера и

спомощью микроскопа измерьте их средние диаметры.

2.Измерьте установившиеся скорости падения шариков и вы­ числите по формуле (5) коэффициент внутреннего трения ц. Изме­

рения выполните для Зч-4 значений температуры в интервале от комнатной до 50 °С. При этом для каждого значения температуры измерьте плотность жидкости рж с помощью весов Вестфаля. Проверьте, что измеренные значения г| не зависят от размера шарика.

3.Постройте график зависимости коэффициента внутреннего трения жидкости от температуры.

4.Вычислите для каждого из опытов значение числа Рейнольд­ са Re, оцените время релаксации т (по формуле (4)) и путь релак­ сации S . Проанализируйте применимость формулы Стокса в каждом эксперименте.

ЛИТЕРАТУРА

1. И. К. К и к о и н, А. К. К и к о и н, Молекулярная физика, Физматгиз, 1963, гл. VII, § 1.

2. Курс физики, иод ред. Н. Д. П а и а л е к с и, т. I, Гостехиздат, 1948, гл. X.

0 Формула (6) верна для шариков, движущихся вблизи осевой линии со­ суда.

Р а б о т а 21. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВЯЗКОСТИ

ВОЗДУХА ПО СКОРОСТИ ТЕЧЕНИЯ ЧЕРЕЗ ТОНКИЕ ТРУБКИ

Принадлежности: две металлические трубки, укрепленные на горизонталь­ ной подставке, газовый счетчик, микроманометр типа ММН, стеклянный баллон, секундомер.

Рассмотрим движение вязкой жидкости или газа по трубке круглого сечения. При малых скоростях потока движение оказы­ вается ламинарным (слоистым), скорости'частиц медленно меняются от точки к точке и направлены вдоль оси трубки. С увеличением скорости потока движение становится турбулентным и слои пере­ мешиваются. При турбулентном движении скорость в каждой точке быстро меняет величину и направление, сохраняется только

При ламинарном течении объем V газа, протекающий за время t

В этой формуле (Рі — р2) — разность давлений в двух выбранных сечениях 1 и 2, расстояние между которыми равно L. Величину Q обычно называют расходом. Формула (2) позволяет определять вяз­ кость газа по его расходу.

Выясним условия, при которых справедлива формула (2). Как уже было показано выше, для этого прежде всего необходимо, чтобы с достаточным запасом выполнялось неравенство Re < 1000. Необходимо также, чтобы при течении сквозь трубку не происхо­ дило существенного изменения удельного объема газа (при выводе формулы удельный объем считается постоянным). Для жидкости это предположение выполняется практически всегда, а для газа лишь в тех случаях, когда перепад давлений вдоль трубки мал по сравнению с самим давлением. В нашем случае давление газа равно атмосферному (ІО3 см водяного столба), а перепад давлений составляет не более 1 0 см водяного столба, т. е.*менее 1 % от атмос­ ферного. Формула (2) выводится для участков трубки, на которых закон распределения скоростей газа по сечению не меняется при движении вдоль потока.

148 III. МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

При втекании газа в трубку из большого резервуара скорости слоев вначале постоянны по всему сечению (рис. 6 8 ). По мере про­ движения газа по трубке картина распределения скоростей меня­ ется, так как сила трения о стенки тормозит прилежащий к ней слой. Характерное для ламинарного течения параболическое

Рис. 68. Формирование потока вязкой жидкости в трубе круглого сечения.

распределение скоростей устанавливается на некотором расстоя­ нии / от входа в трубку, которое зависит от радиуса трубки г и числа Рейнольдса по формуле

Градиент давления на участке формирования потока оказывается большим, чем на участке с установившимся ламинарным течением, что позволяет разделить эти участки экспериментально. Формула

(3) позволяет оценить длину начального участка теоретически. Описание установки. Измерения производятся на эксперимен­ тальной установке, схема которой изображена на рис. 69. Поток

Рис. 69. Схема установки для определения коэффициента вязкости воздуха.

воздуха под давлением, несколько превышающим атмосферное (на 10—15 см вод. ст.), через газовый счетчик ГС поступает в резер­ вуар А, к которому припаяны две тонкие металлические трубки. Примерные размеры трубок указаны на рисунке (точные размеры обозначены на самой установке). Все трубки на концах снабжены заглушками, не пропускающими воздух. Во время измерений заглушка открывается только на рабочей трубке; конец другой трубки должен быть надежно закрыт.

Для измерения давлений в трубках просверлен ряд миллимет­ ровых отверстий. На время опыта к двум соседним отверстиям подсоединяется микроманометр, а остальные плотно закрываются завинчивающимися пробками. Подача воздуха в установку регу­ лируется краном К-

В работе применяется м и к р о м а н о м е т р типа ММН. Микроманометр ММН изображен на рис. 70. Он позволяет изме­ рять разность давлений до 200 мм вод. ст. Для повышения чувстви­ тельности трубке маноіметра придано наклонное положение. Цифры

0,1; 0,2; 0,3 и 0,4, нанесенные на стойке 4, обозначают коэффи­ циент, на который должны быть умножены показания манометра при данном наклоне. Шкала микроманометра 2 проградуирована в миллиметрах водяного столба. Рабочей жидкостью является этиловый спирт. Установка мениска жидкости на нуль шкалы производится путем изменения уровня спирта в сосуде 1 с помощью цилиндра 6. Глубина погружения цилиндра в спирт регулируется винтом 5 и гайкой 7.

Микроманометр снабжен двумя уровнями 9, расположенными на плите 3 перпендикулярно один другому. Установка прибора по уровням производится двумя регулировочными ножками 10.

На крышке прибора установлен трехходовой кран 8, который имеет два рабочих положения (рис. 71). В положении I произво­ дится измерение разности давлений. При этом большее давление подается через штуцер (+) к резервуару 1. Меньшее давление через штуцер (—) подается в баллон Б (см. рис. 69), а затем к верх­ нему концу трубки 2. Баллон Б служит для того, чтобы при