книги из ГПНТБ / Руководство к лабораторным занятиям по физике учеб. пособие

дуемый стержень С. В середине стержня на призме В подвешена площадка П с грузами. Измерять стрелу прогиба можно, наблю­ дая в микроскоп за перемещением конца измерительного стержня /(.

Модуль Юнга Е материала стержня связан со стрелой прогиба у (т. е. с перемещением середины стержня) соотношением

Здесь F — нагрузка, вызывающая прогиб стержня, L — расстоя­ ние между призмами А, а — ширина сечения стержня, h — высота

Рис. 54. Схема установки для определения мо­ дуля Юнга по изгибу стержня.

сечения стержня (студент должен внимательно проследить за выводом этой формулы в учебнике).

Чтобы исключить ошибки, возникающие вследствие прогиба стола при изменении нагрузки на стержне, грузы перед началом эксперимента рекомендуется сложить на нижнюю полку опорной стойки.

Заметим, что формула (2) выведена в предположении, что ребра призм А находятся на одной горизонтали, а прогибающая сила приложена в середине балки. Читателю рекомендуется самостоя­ тельно выяснить, существенно ли изменится формула (2), если указанные выше условия будут нарушены в пределах точности проводимого эксперимента.

Измерения. 1. Измерьте расстояние между ребрами призм А. 2. Определите ширину и толщину балки. Для этого измерьте указанные параметры не менее чем в десяти различных точках. При расчетах используйте среднее из полученных результатов. 3. Исследуемую балку установите на стойке. Снимите зави­ симость стрелы прогиба у от величины нагрузки F. Измерения

проделайте как при возрастающей, так и при убывающей нагрузках. Проверьте, возвращается ли балка в первоначальное положение пос­ ле снятия нагрузки. Определите Е для каждого значения нагрузки.

'4. Проверьте, существенно ли зависит результат от точки

приложения изгибающей силы F. Для этого сместите призму В на 2—3 мм из точки, примятой за середину балки, и вновь измерьте модуль Юнга. Сравните полученное значение Е с прежним, най­ денным для нагрузки, приложенной в середине балки.

5.Сфокусируйте микроскоп на ребро одной из опорных призм

ипроверьте, насколько сильно деформируется стойка при увели­ чении нагрузки на балку. Если деформация превышает точность измерения стрелы прогиба, то ее необходимо учесть при расчетах.

6.Переверните балку так, чтобы при нагрузке она изгибалась в другую сторону, и повторите измерения. Сравните полученное значение модуля Юнга с предыдущим.

7.Определите указанным способом значение Е для двух-трех балок, изготовленных из одинакового материала. Сравните резуль­ таты измерений.

8.Измерьте модуль Юнга не менее чем для трех различных материалов.

9.Оцените точность эксперимента.

Контрольные вопросы

1.Постарайтесь выявить источники основных погрешностей экспериментов

иукажите возможные методы их устранения.

2.Вычислив погрешность экспериментов, оцените максимальную точность,

скоторой при данных условиях целесообразно измерять удлинение проволоки

истрелу прогиба бруска.

3.Выведите формулу (2).

§§105—108.

Ра б о т а 16. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ КРУЧЕНИЯ СТЕРЖНЕЙ

СТАТИЧЕСКИМ И ДИНАМИЧЕСКИМ МЕТОДАМИ

Если один из концов длинного однородного стержня закрепить, а к другому приложить закручивающий момент сил М, то этот конец повернется на угол ф, причем, согласно закону Гука,

Постоянная величина / носит название модуля кручения. Мо­ дуль кручения связан с модулем сдвига материала стержня G

II. Определение модуля сдвига при помощи крутильных колебаний

Принадлежности: проволока из исследуемого материала, грузы, секундо­ мер, микрометр, рулетка, масштабная линейка.

Экспериментальная установка состоит из длинной вертикально висящей проволоки, к нижнему концу которой прикреплен гори­ зонтальный металлический стержень с двумя симметрично распо­ ложенными грузами. Их положение на стержне можно фиксировать.

Верхний конец проволоки зажат в цангу и при помощи спе­ циального приспособления вместе с цангой может поворачиваться вокруг вертикальной оси. Таким образом в системе можно воз­ буждать крутильные колебания. Запишем для этого случая урав­ нение движения

Здесь М — момент сил, обязанный своим происхождением упругим деформациям, J — момент инерции стержня с грузами, <р — угол поворота стержня.

Если амплитуда колебаний невелика, то для определения момента сил ЛК можно воспользоваться законом Гука в форме (1). Момент М в этом случае вызван деформацией проволоки и стре­ мится уменьшить, а не увеличить угол ср. В формуле (1) необходимо

Таким образом, ш является угловой частотой крутильных коле­

Следует заметить, что последняя формула получена для неза­ тухающих колебаний, в то время как на самом деле колебания стержня всегда затухают. Если, однако, затухание невелико, т. е. изменение амплитуды колебаний за период много меньше самой амплитуды, то формулой (6) можно пользоваться. Крите­ рием ее применимости служит неравенство

где п — число полных колебаний, после которого амплитуда умень­ шается в 2—3 раза.

Отметим, что период Т, как видно из формулы (6), не зависит от амплитуды (р0. Однако при больших амплитудах закон Гука нарушается и такая зависимость может проявиться. Таким обра­ зом, вторым условием применимости описываемого метода явля­ ется соблюдение равенства

в котором выполняется условие (8). Для этого укрепите грузы на некотором расстоянии от проволоки и возбудите в системе кру­ тильные колебания. Измеряя время нескольких (не менее десяти) полных колебаний, найдите период 7\. Уменьшив амплитуду вдвое, тем же способом найдите соответствующий период Т2- Если Ті = То, то для проведения измерений можно выбрать любую амплитуду не больше первой. Если же окажется, что Тг ф T.z, то амплитуду необходимо уменьшить до такого значения Ф, начиная

Определение величины f проведите для нескольких (не менее пяти) пар значений Lx и І 2. Величину f можно также найти из наклона прямой в графике, по осям которого отложены L2 и Т2. Разработку этого вопроса мы предоставляем читателю.

значениях М. Почему? Совпадут ли оба полученных таким образом результата, если трение в осях блоков Б будет значительным?

3. При определении модуля сдвига динамическим способом указывалось, что период колебаний не зависит от амплитуды только при сравнительно неболь-

ших значениях последней. Объясните качественно, как будет меняться период при возрастании амплитуды?

4.Какому методу определения G вы отдадите предпочтение на практике, статическому или динамическому?

5.Как при динамическом определении G измерять величины Lx и Lä? Имеет ли смысл выбирать их малыми?

6.Как оцепить ошибку измерений по графику зависимости Т2 от L2?

Принадлежности: гироскоп в кардановом подвесе, секундомер, набор грузов, штангенциркуль, отдельный ротор электромотора, цилиндр из материала извест­ ной плотности, крутильный маяі ник, измерительная линейка.

На рис. 56 изображен ги­ роскоп, укрепленный в кар­ дановом подвесе. Наружное кольцо А карданова подвеса может свободно поворачивать­ ся вокруг вертикальной оси аа. Внутреннее кольцо Б свя­ зано с кольцом А горизон­ тальной осью бб. В кольце Б укреплен гироскоп Г, ось вра­ щения которого вв перпенди­ кулярна оси бб. Центр тяжести гироскопа находится на пере­ сечении всех трех осей и при любом повороте колец сохра­ няет свое положение в прост­ ранстве.

Движение гироскопа с зак­ репленным центром тяжести описывается уравнением мо­ ментов

где М — момент внешних сил, N — момент количества движения гироскопа. Дальнейшие выкладки поясняются векторной схемой рис. 57; расположение гироскопа и обозначения осей те же, что и на рис. 56.

ростью со, так что N = J со == const (J — момент инерции гироскопа относительно оси вращения). Если затем к оси гироскопа прило­ жить вертикальную внешнюю силу Р, то возникнет момент сил УИ, лежащий в горизонтальной плоскости. Обратившись к уравнению

(1) и рис. 57 и 58, нетрудно понять, что векторы УИ и УѴортого­ нальны друг другу, а вектор dN направлен так же, как и УИ, поэтому сила Р, не изменяя величины вектора УѴ, заставляет его конец описывать окружность в горизонтальной плоскости. За

где а — угол, который вектор УѴ составляет с вертикалью. Таким образом, угловая скорость £2 вращения вектора УѴравна

Если ось гироскопа горизонтальна (рис. 58), то вместо (2) получим

В быстро вращающемся гироскопе направление вектора момента количества движения приблизительно совладает с направлением оси самого гироскопа. Поэтому под действием внешнего момента УИ

с угловой скоростью Ö, описывая в пространстве конус. Поскольку вектор М поворачивается вместе с N таким образом, что их взаим­ ное расположение не меняется со временем, вращение оси гироскопа при постоянной силе Р оказывается равномерным. Это вращение называется регулярной прецессией, а величина Q — угловой Скоростью прецессии.

Как уже отмечалось выше, приведенные рассуждения справед­ ливы лишь для быстро вращающегося гироскопа, т. е. при

инерции гироскопа относительно его собственной оси вращения. Тогда

Скажем несколько слов по поводу неравенства (3). Нетрудно видеть, что вектор полного момента количества движения гироскопа при наличии прецессии содержит две компоненты: Jw и J1Q (Jx — момент инерции гироскопа относительно его диаметра). Таким образом, вектор полного момента количества движения N, строго говоря, не совпадает по направлению с вектором угловой скорости (о (с осью гироскопа). Этим несов­ падением можно, однако, прене­

оказываются величинами одного порядка; в этом случае условием

новка (рис. 59) состоит из вы­ сокооборотного электромотора М, питающегося током повышен­

ной частоты ( ~ 400 Гц). Мотор укреплен в полукольце А и может поворачиваться вокруг горизонтальной оси. Гироскопом является ротор электромотора, представляющий собой массивный стальной

цилиндр. Изображенный на рис. 59 рычаг В является как бы про­ должением оси вращения ротора. Подвешивая к нему различные грузы Р, можно изменять момент внешних сил, действующих на гироскоп. Подвеска гироскопа снабжена двумя лимбами Лх и Л.2 и устройством С, служащим для балансировки.

До сих пор мы предполагали подвеску гироскопа идеальной и пренебрегали силами трения, которые существенно усложняют картину прецессии. Силы трения, возникающие при вращении кольца А, вызывают медленное опускание оси гироскопа. При этом несколько изменяется момент силы Р. Читателю рекомен­ дуется самостоятельно разобраться в механизме воздействия сил трения на движение гироскопа и оценить ошибки в определении о, связанные с опусканием оси гироскопа.

Измерения. 1. Сначала стойку, на которой укреплен карданов подвес с гироскопом, установите вертикально. Для этого служат установочные винты (на рисунке не показаны) у основания стойки.

2. При отсутствии внешней нагрузки гироскоп должен нахо­ диться в безразличном равновесии. Для его балансировки служит устройство С (рис. 59). Ось хорошо сбалансированного гироскопа при легком постукивании по стойке не должна поворачиваться.

3.Включите мотор гироскопа и выждите 4—5 минут, чтобы вращение якоря успело стабилизироваться.

4.Убедитесь в том, что гироскоп вращается достаточно быстро: при легком постукивании по рычагу В последний не должен изме­ нять своего положения в пространстве. Объясните причину устой­ чивости оси гироскопа.

5.Закрепив наружное кольцо А, повторите предыдущий экспе­ римент. Ось гироскопа в этом случае должна потерять устойчивость. Это случается со всяким гироскопом, не имеющим трех вращатель­ ных степеней свободы. Почему?

6. Освободив наружное кольцо А и поворачивая его вокруг

вертикальной оси, можно заметить, что ось гироскопа начинает поворачиваться вверх или вниз. При этом кольцо А оказывает «сопротивление» внешнему воздействию. Если ось гироскопа почти вертикальна, то поворот наружного кольца приводит или к пере­

в оси (в какой именно?) приводит к тому, что рычаг В начинает при этом медленно опускаться. Измеряя угловую скорость опус­ кания рычага (по времени поворота на некоторый угол), оцените момент силы трения.

8 . Направьте рычаг В несколько вверх от горизонтальной плоскости (на 5—6 °). Подвесьте к нему груз Р и с помощью секун­

домера измерьте угловую скорость й регулярной прецессии. Изме­ рение времени ведите до тех пор, пока рычаг не опустится на 5—6 ° ниже горизонтали. Повторите этот опыт не менее десяти раз. Усред­ ните полученные результаты.

9. Проделайте всю серию экспериментов, описанных в п. 8 , не менее чем для пяти различных грузов Р. Результаты изобра­ зите в виде графика й = й (М ).

10. Вычислите угловую скорость со собственного вращения гироскопа с помощью формулы (4). Для этого необходимо измерить входящий в формулу момент инерции якоря J . Измерения произ­ ведите на другом якоре, извлеченном из такого же электромотора. Якорь подвесьте к концу свободно висящей стальной проволоки и оп­ ределите период Т крутильных колебаний полученной системы (определение периода производится по времени 20—30 полных колебаний). Затем на ту же проволоку подвесьте однородный цилиндр, сделанный из ,известного материала. Для вновь полу­ ченного маятника измерите период крутильных колебаний. Как известно, периоды колебаний связаны с параметрами системы простыми формулами

(5)

где f — упругая постоянная подвеса Я- Исключив из уравнений /, найдем

этой оценки выясните, можно ли при вычислении <а пользоваться упрощенной формулой, которая получается из (4), если в ней положить sin а = 1 .

Р а б о т а 18. ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ И ГРАДУИРОВКА

ШКАЛЫ ЧАСТОТ ЗВУКОВОГО ГЕНЕРАТОРА Принадлежности: стойка со струной, звуковой генератор, разновес. I

В работе исследуются колебания натянутой струны. Схема экспериментальной установки изображена на рис. 60. Нижний

9 См. по этому поводу работу 16.

бп/р Л. Л. Гольдина