книги из ГПНТБ / Сегал, В. М. Исследование пластического формоизменения металлов методом муара

по картине частных производных при механическом дифференци­ ровании деформированного растра. Изменение функции тока между последовательными линиями растра равно

растра (155) сохраняется постоянной. Как известно, такие растры называются зональными решетками Френеля [28, 82] и находят применение в некоторых специальных случаях.

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Исследование нестационарных процессов отличается разнооб­ разием постановки задач и методов обработки результатов. Так как процессы зависят от времени или другого параметра, то дефор­ мирование производится поэтапно и при определенных значениях параметра фиксируются изображения деформированных растров. Накладывая изображения деформированных растров с исходными, получаем картину полос муара — линий равных смещений; накла­ дывая изображения растров для двух последовательных моментов, находим картину полос муара — линий равных скоростей на этапе. По картинам полос может быть задан закон движения в переменных Эйлера в виде поля смещений:

Во многих случаях в качестве переменных Эйлера может быть использована специальная система координат a, (J, причем функция Ф (Р), определяющая преобразование уравнений (91), (95), будет зависеть от параметра t и должна определяться по геометрии области течения на каждом этапе.

Чтобы получить экспериментальную информацию в переменных Лагранжа, необходимо в исходном состоянии нанести на плоскость

руется одновременно с изображениями растров и оказывается нало­ женной на картины муаров. Значения смещений и скоростей в ее узлах, как и в случае сетки а, (3, находятся путем интерполяции. При этом для полных смещений используется конечное положение

§0

узлов, а для скоростей — среднее положение узлов на этапе. Таким образом, будем иметь:

Основное достоинство метода муара при исследовании нестацио­ нарных процессов состоит в том, что способы задания движения по уравнениям (156)—(161) могут быть использованы одновременно и независимо друг от друга, а параметры деформированного состоя­ ния вычислены по экспериментальной информации наиболее про­ стым образом. При этом необходимо учитывать, что для нестацио­ нарных процессов объем исходной информации возрастает даже в случае двумерных течений и ее запись с помощью изображений деформированных растров оказывается весьма эффективной.

В то же время экспериментальные возможности метода муара при исследовании нестационарных процессов ограничены трудно­ стями фотографирования растров, шаг которых меньше 0,05 мм, и невозможностью наблюдения картины полных смещений при больших деформациях, когда эффект муара исчезает в некоторых областях. Поэтому в зависимости от специфики рассматриваемой задачи может быть выбрана определенная форма описания движения

то для несжимаемого плоского течения скорости находят по форму­

Скорости деформации равны:

I dybxt bXy(i[ byaxt, \y bxyat -j- bxayt' dxyb{ - axbyi,

Цху = ayybt -f aybyt — byyat — byayt + bxxat +

+ bxaxt — axxbt — аА л

Компоненты тензоров конечной деформации вычисляют из выра­ жений (12), (13).

Для осесимметричного состояния соответствующие формулы при­

\

Ь = {brat — аА ) + -i- (br2at +bra2t — arzbt — aA/).

Л« = ~ (aA —МЛ + -Jr (a' ~ T") —aA) H-

-I- ~ lA* — flrr) b, + {brr — &«) a, + a2b2t — aA / -f brarl — M M

2. Если закон движения задан в форме уравнений (159), (160), то для несжимаемого плоского течения, согласно данным [11], имеем:

и = х ( , v = уь

(162)

Конечные деформации находят из уравнений (10), (11), причем:

3. Если закон движения задан в форме уравнений (161), то для плоского течения текущие координаты фиксированных точек тела находят из уравнений

~ — и(а, b, t), %L = v{a, b, t)

откуда

о

(165)

о

82

Дифференцирование последних выражений дает:

Аналогичные соотношения справедливы для осесимметричного те­ чения:

Анализируя рассмотренные случаи, нетрудно видеть, что каждая из форм описания движения [см. уравнения (156)—(161)] является равнозначной и полностью определяет кинематику нестационарного процесса. Однако при вычислении определенных параметров дефор­ мированного состояния предпочтительней пользоваться определен­ ной формой описания движения:

а) компоненты тензора конечных деформаций Грина (10), (11) находят из уравнений (159), (160) путем прямого дифференцирования по координатам а, Ь\

б) компоненты тензора конечных деформаций Альманси (12), (13) находят из уравнений (156), (158) путем дифференцирования по координатам х, у\

в) поле скоростей находят по полю смещений (159) путем диф­ ференцирования по параметру t\

г) скорости деформаций (20) находят по полю скоростей (158) путем дифференцирования по координатам х, у,

д) поле ускорений находят по полю скоростей (161) путем диф­ ференцирования по параметру t\

е) накопленные деформации для отдельных материальных частиц находят по полю скоростей (161) путем интегрирования по пара­ метру i.

Кроме того, при выборе способа описания движения необходимо учитывать, что фиксирование процессов по параметру t обычно не является настолько подробным, чтобы дифференцирование по пара­ метру t обеспечивало такую же точность, что и дифференцирование по координатам х, у или а, Ь, а повторного дифференцирования следует избегать во всех случаях. Поэтому формы (156), (159) или (158), (160) следует применять только при вычислении конечных параметров деформированного состояния. Задание поля скоростей в переменных Эйлера (157) весьма удобно при вычислении скоростей деформации, однако определение конечных характеристик при этом связано с интегрированием системы (167), которое должно быть выполнено численно. Использование переменных Лагранжа в форме (161) целесообразно во многих случаях, так как мгновенные пара­ метры деформированного состояния находятся дифференцированием поля скоростей по координатам а, Ь, а конечные — интегрирова­ нием по параметру t, которое выполняется в квадратурах и повышает точность вычислений. Использование материальных координат а, Ь, связанных с одними и теми же точками тела, позволяет также легко определить накопленные деформации:

t

ЕИ= \\ ц М -

о

Кроме того, в переменных Лагранжа геометрия области течения сохраняется в любой момент времени.

После того как способ описания нестационарного процесса вы­ бран, экспериментальная информация должна быть сглажена по переменным х, у, t или a, b, t. Конечные смещения могут быть сгла­ жены без учета несжимаемости по формулам (104), (107), (108), где пространственная координата k для трехмерного случая должна

для двумерного нестационарного течения. С этой целью этапное деформирование проводится при равных приращениях параметра At, принимаемого за единицу.

Сглаживание поля скоростей (157) в переменных Эйлера х, у, t или а, р, t может быть выполнено следующим образом. Вначале поле скоростей для каждого этапа ( t = const) сглаживается по координатам а, (5 (х, у) с учетом условия несжимаемости по фор­ мулам (115), (118), (119) для осесимметричных течений и по фор­ мулам (115), (120) для плоских течений. Исправленные значения

84

скоростей в фиксированных Точках а = const, |3 = const далее сглаживаются по параметру t. Так как число этапов деформирова­ ния обычно невелико и дифференцирование по параметру не выпол­

*

где ии — исходные значения скоростей перед сглаживанием по t. Исправленное значение в точке а = const, р = const для мо­

мента tn будет равно:

в каждой точке для всех этапов, и полученные значения вновь ис­ пользуются как исходные при сглаживании по а, р для t = const. Такая операция выполняется в цикле, пока разница между значе­ ниями скоростей для двух последующих приближений не умень­ шится до заданного числа.

Рассмотрим сглаживание поля скоростей (161) в переменных Лагранжа для осесимметричного течения. Как и в предыдущем случае, вначале выполним сглаживание по пространственным коорди­

В уравнение (171), кроме скоростей (161), входят координаты

гг (a, b, t), z — z (a, b, t),

определяющие метрику лагранжева пространства на физической плоскости. Координаты г, г фиксированных точек а = const, b = = const могут быть измерены непосредственно по геометрии дефор­ мированной координатной сетки. Однако для снижения трудоем­ кости эксперимента и повышения точности целесообразно ограни­ чить исходную информацию заданием поля скоростей (161), а ко­ ординаты г, z находить из соотношений (165).

85

а поле скоростей аппроксимируем параболами в направлении t:

Так как поле скоростей должно быть сглажено с учетом условия несжимаемости (171), в котором г, z в свою очередь являются функ­ циями (165) поля скоростей, то вычисление коэффициентов аппрок­ симации (173), (174) в каждой узловой точке а = const, b = const для рассматриваемого момента времени t = const проводится ме­ тодом последовательных приближений.

скоростей в центральной точке (а0, Ь0) локальной системы коорди­ нат (i = j = 0) имеем:

Остается девять неизвестных коэффициентов аппроксимации: с0, си с2, с3, сх, d0, d2, d3, d4. Вычисляя невязки между значениями

ных отклонений имеем систему нормальных уравнений для вычисле­

86

Коэффициенты Спт этой системы составляют симметричную матрицу, приведенную в табл. 5, а коэффициенты Вт равны:

9

v\ — исходные (экспериментальные) значения. Решение системы (178) удобно находить методом определителей. Полученные значе­ ния уравнений (176) вновь используют в качестве начальных для приближения (п + 2), и операция повторяется в цикле, пока не будет достигнута требуемая точность. Кроме того, указанный метод может быть включен в цикл последовательного сглаживания для всех точек (а, Ь) области течения на этапе t = const. Сглаживание по координате t проводится по формулам (168)—(170), как было описано выше. Для плоскодеформированного состояния сглаживание поля ско­ ростей (161) выполняется также, как и для осесимметричного, при­ чем необходимые соотношения следуют автоматически из уравне­ ний (171)—(179) и данных табл. 5, если заменить г на х, г на у и при­ нять q = 0.

Т а б л и ц а 5

87

Кроме кинематических характеристик, меха­ ническое состояние де­ формированного тела описывается тензор­ ным полем напряже­ ний Та [29—33]. Ком­ поненты тензора напря­ жений crf/- удовлетворя­ ют общему соотноше­

нию, которое вытекает из закона сохранения количества движения и определяет условия движения или равновесия сплошной среды. В дифференциальной форме для декартовой системы координат это условие записывается в виде:

Во многих случаях влиянием массовых и инерционных сил можно пренебречь и в уравнениях (180), (181) положить:

р. = g, = 0, i = (х, у, г).

В пластическом состоянии компоненты тензора напряжений, кроме того, должны удовлетворять определенному условию пластич-

88

ности [31—33, 83]. Критерий пластического состояния является симметричной функцией инвариантов девиатора напряжений

которое известно как условие пластичности Мизеса. В компонентах тензора напряжений для любой ортогональной системы координат условие (183) записывается в виде

Т] = (<х*. — оу,)2 + (аУ1— o j 2 + (aXt — а2,)2 +

текучести при сдвиге.

Для идеально пластических тел k = const. Для пластически упрочняющихся материалов k определяется историей и условиями деформирования. Обычно принимается условие изотропного упроч­ нения:

где qp = j dTp — параметр Одквиста (26), характеризующий интен­

сивность накопленных пластических деформаций; Т — температура;

Ht — интенсивность скоростей деформации.

Функция упрочнения (185) для различных материалов находится из опытов на простое нагружение — например, линейное растяжение, сжатие.

Как и при исследовании деформированного состояния, в даль­ нейшем компоненты тензора напряжений будут связаны с направ­ лениями декартовой или цилиндрической систем координат, но рассматриваться в специальных эйлеровых или лагранжевых си­ стемах, т. е. подобно выражению (3):

ои = ои (хъ уъ Zj) = atj(a, Ь, с).

При этом условие пластичности (184) сохраняется, а условия равновесия (180), (181) преобразуются к новым переменным с по­ мощью операторов дифференцирования. Для системы координат а, (5 из уравнений (95), (112), используя выражение (94), в случае пло­ ской деформации получим:

89-