книги из ГПНТБ / Сегал, В. М. Исследование пластического формоизменения металлов методом муара

Качественный анализ позволяет выявить некоторые особенности напряженно-деформированного состояния. Во всех случаях характер­ ным является дискретное задание полей с помощью линий равного уровня. При наложении изображений исходного и деформирован­ ного линейных растров возникает картина полос муара — линий равных проекций U, V поля смещений. Значение смещения вдоль каждой полосы сохраняется постоянным и определяется уравнени­ ями (47). Нумерация полос муара производится из следующих сообра­ жений. При движении вдоль оси х или у от одной полосы к другой номер полос увеличивается на единицу, если соответствующие про-

ницу, если эти производные меньше нуля. Знак производных может быть установлен по механической схеме деформации для рассматри­ ваемой точки, когда известны’направления сжатия и растяжения, или определяется правилом поворота эталонной сетки. Удобно поле тече­ ния разбить на области постоянного знака производной. Для этого на полосах муара U w V выделяют точки, в которых касательные к полосам параллельны осям х и у. Очевидно, в таких точках произ-

ствующие точки, находят линии нулевого значения производных, которые разбивают плоскость течения на области различного знака производных. Таким образом, порядок всех полос U и V может быть выражен через номер произвольной полосы. Для определения по­ следнего используются граничные условия. Так как наложение жесткого смещения не влияет на деформированное состояние и не фиксируется картиной муаров, то имеется определенная свобода в выборе порядка одной из полос. Если поле смещения имеет оси сим­ метрии, то при наложении растров одна из полос совмещается с осью симметрии и ей присваивается нулевой номер.

На с. 142 приведены картины полос муара для плоской осадки полосы конечных размеров. Для смещений U нулевой порядок по­ лосы совпадает с осью у и возрастает вдоль оси х, где деформации являются растягивающими; для смещений V полоса нулевого по­ рядка совпадает с осью Ох и порядок полос уменьшается вдоль оси у, где деформации сжимающие. Аналогичная ситуация имеет место для поля смещений U в процессе плоского прессования (см. с. 170). Порядок полос V в этом случае находится из условия неразрывности пластического течения. Обозначим номер крайней полосы, которая совпадает с жесткой областью со стороны входа в очаг деформации, через п. Вдоль оси у деформации являются растягивающими и порядок полос V в этом направлении возрастает. Если число полос равно т, то номер крайней полосы, совпадающей с жесткой областью со стороны выхода из очага деформации, будет равен п + т. Приме­ няя условие неразрывности со стороны входа и выхода, имеем

п= (п -f т)/к,

откуда

п= т/(к — 1),

51

где X — вытяжка при выдавливании, равная отношению площадей поперечного сечения со стороны входа и выхода.

В некоторых случаях область пластического течения ограничена жесткими областями материала, которые можно рассматривать, как неподвижные. Тогда порядок ближайших к ним полос муара равен

± 1 в зависимости от направления смещений пластической области

(см. с. 162).

Если материал деформируется жестким инструментом, смещение которого известно, то из условия непротекания материала через стенку инструмента имеем

врассматриваемой точке;

р— шаг растра.

Например, для процесса выдавливания (см. с. 170) инструмент

Постановка эксперимента может соответствовать этапному (X = 0, ДХ <Х 1) или конечному (X > 0 , ДХ 1) деформированию линейных растров. В первом случае полосы муара — линии равных проекций скорости — образуются при наложении исходного и деформирован­ ного растров, во втором случае — при наложении деформированных растров для двух близких этапов. Нумерация полос остается такой же, как и для поля смещений, а цена полос становится равной р/ДХ.

По картинам муара — полю скоростей (малых смещений) — можно установить ряд важных особенностей деформированного со­ стояния:

1. В жестких областях, где деформации равны нулю, полосы му­ ара не возникают, если жесткая область неподвижна или переме­ щается поступательно, и имеют вид взаимно перпендикулярных прямых линий, если область вращается. В последнем случае необхо­ димо убедиться, что область является жесткой, для этого повора­ чивают эталонный растр относительно деформированного. Для жесткой области полосы муара двух семейств одновременно исчезают при повороте на угол вращения.

2. В областях однородного деформированного состояния полосы муара также являются прямыми линиями.

52

3.Если вращение незначительное, то неоднородность деформи­ рованного состояния тем сильнее, чем больше кривизна полос муара и неравномерность их распределения.

4.Жесткопластические границы являются огибающими крайних полос муара двух семейств, с точностью до шага этих полос.

5.Полосы муара двух семейств параллельны между собой, если совпадают с направлениями главных сдвигов, и перпендикулярны относительно друг друга, если совпадают с направлениями главных линейных деформаций.

6.Если поле скоростей имеет особую точку, то в эту точку стя­ гиваются полосы муара различного порядка.

7.На линиях разрыва скоростей полосы муара претерпевают

излом.

8. Направление относительного скольжения и сил трения на контакте определяется порядком выходящих на него полос. Действи­

тельно, разрыв касательной компоненты скорости вдоль контактной поверхности инструмента равен:

[ v ] = пх sin ф — пу cos ф — ~ ,

где Лт — смещение инструмента в тангенциальном направлении [остальные обозначения те же, что и для (88)].

Для неподвижного инструмента

[у] = n*/sin ф = — n j cos ф.

При дифференциальном методе муара, когда на образец наносится линейный растр с шагом р, а в качестве эталонного используется растр с шагом р' , полосы муара являются линиями равного уровня р' фиктивных полей смещений U', V . Действительные смещения вы­ числяются по формулам (71), (72), для чего необходимо измерить координаты точек х, у. Поэтому качественный анализ полей смеще­ ния и скоростей при дифференциальном методе муара затруднен.

Вто же время определение деформаций по формулам (73) не связано

сдополнительными трудностями, так как фиктивные деформации и вращения определяются шагом эталонной сетки и ее положением.

Из выражений (73) нетрудно видеть, что

щаются в нуль. Это имеет место в точках, где полосы дифференциаль­ ного муара параллельны осям х или у. Соединяя такие точки, находим линии равных значений производных, определяемых соотношениями (90). Используя различные эталонные растры и накладывая их с раз­ личными поворотами, можно найти семейства линий равных произ­ водных.

53

мой информации, особенностями экспериментального исследования, глубиной математической трактовки, природой рассматриваемых деформаций и др. Исследование деформированного состояния на ЭВМ обычно включает следующие этапы:

1) перевод исходной информации в узлы некоторой системы коор­ динат;

2) сглаживание исходной информации;

3)автоматическую аппроксимацию дискретно заданных величин функциями определенного класса;

4)аналитическое дифференцирование (или интегрирование ) ап­ проксимирующих функций;

5)вычисление параметров деформированного состояния.

В настоящей работе развит новый метод обработки эксперимен­ тальной информации на ЭВМ, который охватывает различные случаи применения метода муара и может быть широко использован в экспе­ риментальной механике. Этот метод обеспечивает оптимальное сохра­ нение исходной информации при ее математической обработке с уче­ том физических условий и особенностей исследуемых процессов. Погрешность вычисленных значений на всех этапах остается соизме­ римой с точностью исходных величин и основных предпосылок совре­ менной теории, что позволяет довести метод обработки до уровня использования стандартных программ. Ниже рассматриваются неко­ торые варианты разработанного метода.

ЭТАПНЫЕ И КОНЕЧНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ

Специальная система координат. Использование численных мето­ дов связано с введением определенной сетки, к узлам которой отно­ сятся вычисленные значения. Так как наиболее эффективно приме­ нение регулярных сеток, то в качестве последних используются спе­

неравномерность деформированного состояния возрастает в некото­ рых областях, то шаг сетки на плоскости течения в этих областях должен уменьшаться.

3. Система координат должна быть связана с системой измерения простым преобразованием, а сетка координат должна легко строиться на области течения.

56

Визвестных методах обычно используются декартовы координаты

вэйлеровом [12, 20, 78] или лагранжевом [13, 77] описаниях, которые удовлетворяют перечисленным требованиям только в част­ ных случаях. В методе муара исходные величины U, V также свя­ заны с декартовой системой, оси которой параллельны линиям исход­ ных растров. Так как параметры деформированного состояния в боль­ шинстве случаев имеют ясный физический смысл в такой системе, то

вдальнейшем они будут относиться к декартовым координатам, а вычисления выполняться в узлах специальной системы. Таким путем удается избежать сложных преобразований между компонентами векторных и тензорных величин, в особенности для косоугольных систем, и использовать преимущества специальных координат При переходе к специальной системе координат необходимо, чтобы яко­

биан преобразования не был равен нулю.

Как будет показано ниже, для большинства задач, рассматри­ ваемых в настоящей работе, большими преимуществами обладает

Здесь индексы обозначают дифференцирование по соответствую­ щей переменной. Отсюда якобиан преобразования (91)

фХф у Хфг

D — yfx f y f y ф б,

гф* 2фу ф

если две из функций ф, /, ф одновременно не равны нулю. Дифферен­ циалы переменных а, р, у будут:

57

система координат а, р, у образована плоскостями у = Р/В и ци­

58

система координат а, р, у образована плоскостями у — Р/S, цилин­ дрической поверхностью г = уЛр (у) и поверхностью х = а/ц> (у, г)

(рис. 18, г).

Построение системы координат а, р, 7 по геометрии области течения рассмотрим для случая (95), который имеет большое значе­ ние для плоского и осесимметричного состояний [79]. Так как коор-

ff

Рис. 19. Система специальных координат а , {3 для исследования плоскодеформированного состояния:

а — построения на плоскости х, у; б — построения на плоскости а , 3

динаты у и г связаны линейно, то достаточно ограничиться плоскостью (х, у). Пусть границами области течения являются (рис. 19, а)

х = F (у); F (0) = Хг] У = 0; у = у у, х = 0.

Выполним построение таким образом, чтобы координатные линии

Отсюда следует, что для построения сетки необходимо провести прямые у — (г/гр)/т до пересечения с границей области х = F (у) и разделить полученные отрезки на п равных частей. Полученные точки являются узлами сетки а, р. Разбиение области удобно про­ водить таким образом, чтобы Ау = Ар = 1, и в некотором сечении

у = const (рис. 19, а)

59