книги из ГПНТБ / Сегал, В. М. Исследование пластического формоизменения металлов методом муара

14ВЫ Ч USA=US1+X. (US2— US1) VSA=VS1+ X. (VS2— VS1)

15ВЫ Ч USO=(l : 2). (USM+USA) VSO=(l : 2). (VSM+VSA)

14ПОВ 63 J = IT

15ВЫ Ч :X M = X M + 1

16ЕСЛИ : XM) MS TO 65

14ВЫ Х О Д

1570. ПОДПР ВЫ БОР KSI

192

14В Ы Ч Н =0

1596. В Ы Ч FR2= V .H + FR 1

16НАП НА БПМ FR2

15ВЫ Ч : Y N = Y N + 1

16ЕСЛ : YN ) NS ТО 84

09ВЫЧ DUY/l/= VS1/1/.US1/1/: DVX/1/ DUX/1/=(DUX/1/.VSl/i/: DVX/l/).4

10ПЕР 102

14ВЫЧ DUY/I/=VS1/1/.US1/I/ : DVX/I/ DUX/I/=(DUX/I/.VS1/I/ : DVX/I/).4

15ПЕР 104

16105. ВЫЧ DUY/I/=DUY/I—1/ DUX/I/=DUX/I—1/

09ПОВ 106 I= IN.K=IT

10108. ВЫЧ : XM=2

: DVX/I/). 4

15ПЕР 111

16ПО. ВЫЧ DUY/I/=(DUY/K/+DUY/J/) : 2 DUX/I/=(DUX/K/+DUX/J/) : 2

10ВЫЧ FR=2.DUY/1/—DUY/2/

11115. ВЫЧ : IN=XM 1T=IN+MK

12 ВЫЧ X = X + 1 H=F1.X : FO

13 114. ВЫЧ FR1 = (H.(DUY/J/—DUY/J—l/)+DUY/I/—DUY/J/) : FO FR2= (H.

15ВЫЧ US/J/=US/J—1/—F VS/J/=US/J/—DUX/J/

16ПОВ 114 I=IT .J = IN

194

ПРИЛОЖЕНИЕ II

О вариационно-разностном методе обработки экспериментальной информации

Метод муара, как и другие методы экспериментальной механики, можно рас­ сматривать с общих позиций кинематической постановки задач. Поля смещений, скоростей, деформаций при экспериментальном задании могут быть выявлены с огра­ ниченной точностью, определяемой точностью экспериментального метода. Кроме того, при последующей обработке полученной информации обнаруживается ряд воз­ мущающих факторов, связанных с неполной эквивалентностью экспериментального и математического моделирования. Хотя имеются неограниченные возможности ус­ ложнения механических моделей тела, учета граничных условий и эффектов дефор мации, на практике всегда приходится делать некоторые приближения, чтобы по­ строить математические модели и воспринимать результаты экспериментального исследования. Это обстоятельство позволяет применять при обработке эксперимен­ тальной информации не только эмпирические принципы, но и общие принципы ме­ ханики.

В рассмотренном методе сглаживания используется принцип гладкости экспе­ риментального поля скоростей (смещений). Этот принцип позволяет отделить слу­ чайные ошибки и существенно улучшить результаты обработки. Однако остается неясным, насколько гладким должно быть поле скоростей и какого класса следует выбрать аппроксимирующие функции. Как неоднократно отмечалось, действитель­ ные поля скоростей пластического течения не являются достаточно гладкими и могут включать области больших градиентов, близких к разрывам.

Имеется ряд других причин, которые побуждают развивать методы математиче­ ской обработки экспериментальной информации. В частности, кинематическое со­ стояние деформируемого тела должно удовлетворять всем уравнениям и граничным условиям для скоростей и быть согласованным с выполнением соответствующих урав­ нений и условий для напряжений. Весьма желательно получать сведения о напря­ женно-деформированном состоянии в определенных областях с любой степенью под­ робности и не быть связанными с ограничениями в выборе шага сетки (см. с. 119).

Кроме того, структура картин муара свидетельствует о том, что выбор узловых точек при оптимальном проведении вычислительного процесса должен быть нерав­ номерным — эти точки должны образовать достаточно густую сетку вблизи границ области, линий разрыва скоростей, особых точек, и соответствовать редкой сетке в жестких областях и в областях с малыми градиентами скоростей. Очевидно, любая система регулярной сетки не может обеспечить указанное разбиение. Далее приведен общий метод обработки экспериментальной информации, который удовлетворяет пере­ численным требованиям. Этот метод основан на использовании вариационных прин­ ципов механики и конечно-элементной дискретизации сплошной среды.

Будем считать, что экспериментальное поле скоростей соответствует действитель­ ному полю, определенному с некоторой погрешностью. Очевидно, идеальный способ обработки должен устранить эту погрешность и привести от исходного поля к дей­ ствительному. Соответствующий принцип устанавливается вариационными теоре­ мами об экстремальных свойствах действительного поля скоростей. Для вязко­ пластического материала запишем вариационный функционал в виде

Здесь k, p, — пластическая константа и вязкость материала; Hi — интенсивность скоростей деформации сдвига;

тк, [vs ] — трение и разрыв касательной скорости вдоль границы Sp, на ко­ торой заданы внешние силы;

196

cr —•гидростатическое давление; имеет смысл неопределенного множи­ теля Лагранжа, накладывающего на непрерывное поле скоростей условие несжимаемости (2).

Функционал (1) совместно с выражением (2) определен заданием поля скоростей и поверхностного трения. Метод сглаживания экспериментального поля скоростей состоит в том, что последнее используется в выражениях (1), (2) в качестве начального поля и варьируется таким образом, чтобы обеспечить минимум функционала (1). При этом варьирование скоростей на границах, вдоль которых заданы условия для скоростей, выполняется в соответствии с этими условиями.

В качестве значений тк на контакте могут быть использованы величины, полу­ ченные непосредственно по картинам муара (см. с. 123).

Как следует из вариационных теорем [33], соответствующее поле напряжений удовлетворяет условиям равновесия, пластичности и изотропии, а граничные условия для напряжений являются естественными для функционала (1).

Таким образом, рассматриваемый метод сглаживания аналогичен вариационно­ разностному методу [79], в котором в качестве граничных условий и начального поля скоростей используются экспериментальные величины. Последнее обстоя­ тельство играет существенную роль для жесткопластического тела, так как одноз­ начно определяет класс искомого решения. Практическую реализацию метода рас­ смотрим на примере плоскодеформированного состояния.

Разобьем область течения на некоторое число четырехугольных элементов т произвольной геометрии и размеров. Вершины элементов образуют узловые точки. Пусть число элементов равно М, а число узлов— N. Поле скоростей и(х, у), v(x, у)

заменим дискретным множеством скоростей ип , vn в узлах элементов, которое яв­ ляется искомым. С целью упрощения алгоритма вычислений вместо выражений (1),

(2) введем функционал

решение в классе функций, сколь угодно близко приближающихся к выполнению условий несжимаемости (2). Заменяя уравнение (3) на сумму соответствующих чле­

нов по элементам и и их границам Sm, будем иметь

где wт— площадь элементов.

Величины в функционале (4) с индексом т являются средними значениями по элементу. Эти величины легко выразить через скорости в узлах элемента и коорди­ наты узлов. Используя интегральное определение частных производных, будем иметь

197